Omschreven regelmatige veelhoeken
Jos Groot
% Begin met een cirkel met straal 1. Teken hieromheen een regelmatige
% *drie*hoek die de cirkel met al zijn zijden raakt, en hieromheen weer
% een cirkel die de driehoek op al zijn hoeken raakt. Teken vervolgens
% hieromheen weer een *vier*kant die de cirkel met al zijn zijden raakt,
% en hieromheen weer een cirkel die het vierkant op al zijn hoeken raakt.
% Hieromheen gaat weer een regelmatige *vijf*hoek en een cirkel, een
% *zes*hoek, etc. etc. met oplopende regelmatige veelhoeken die om beurten
% met cirkels omschreven worden.
% Wat is de straal van de grootste cirkel die in deze tekening voor kan
% komen (in de limiet van het tekenen van oneindig veel cirkels eigenlijk)?
Die straal is 1/( (cos(pi/3) * cos(pi/4) * cos(pi/5) * ...)
Er is mij geen analytische uitdrukking bekend. De limiet lijkt door meenemen
van een groot aantal (2E6) termen rond de 8.7 te zijn. Met het gegeven
dat cos(x/n)<(1-4/n^2) voor n>2 valt in ieder geval hard te bewijzen
dat de waarde kleiner is dan
(pi^2*(1-pi^2/2)*(1-pi^2/8)) / (sqrt(2)*sin(pi^2/sqrt(2))) ~ 10.013.
Wie kan er (analytisch) een kleinere bovengrens vinden?
Jos Groot
Dave Langers
> % *drie*hoek die de cirkel met al zijn zijden raakt, en hieromheen weer
> % een cirkel die de driehoek op al zijn hoeken raakt. Teken vervolgens
> % hieromheen weer een *vier*kant die de cirkel met al zijn zijden raakt,
> % en hieromheen weer een cirkel die het vierkant op al zijn hoeken raakt.
> % Hieromheen gaat weer een regelmatige *vijf*hoek en een cirkel, een
> % *zes*hoek, etc. etc. met oplopende regelmatige veelhoeken die om beurten
> % met cirkels omschreven worden.
>
> % Wat is de straal van de grootste cirkel die in deze tekening voor kan
> % komen (in de limiet van het tekenen van oneindig veel cirkels eigenlijk)?
> Die straal is 1/( (cos(pi/3) * cos(pi/4) * cos(pi/5) * ...)
Oke, ik noem dit getal p.
> Er is mij geen analytische uitdrukking bekend. De limiet lijkt door meenemen
> van een groot aantal (2E6) termen rond de 8.7 te zijn. Met het gegeven
> dat cos(x/n)<(1-4/n^2) voor n>2 valt in ieder geval hard te bewijzen
> dat de waarde kleiner is dan
> (pi^2*(1-pi^2/2)*(1-pi^2/8)) / (sqrt(2)*sin(pi^2/sqrt(2))) ~ 10.013.
Kun je daar een paar tussenstapjes voor geven? Ik kom met jouw gegevens
bijvoorbeeld op
(Notatie: PROD[.] = product)
p = PROD[1/cos(pi/n)]
= 1/PROD[cos(pi/n)] > 1/PROD[(1-4/n^2)]
= 1/(1/6) = 6
dus dat geeft een *onder*grens voor de gevraagde limiet van 6.
> Wie kan er (analytisch) een kleinere bovengrens vinden?
Ondergrens ook goed?
cos(x) = (1-4*x^2/pi^2)*(1-4*x^2/pi^2/9)*(1-4*x^2/pi^2/25)*...
cos(pi/n) = (1-4/n^2)*(1-4/n^2/9)*(1-4*n/n^2/25)*...
Dan is
p = PROD[1/cos(pi/n)] = PROD[1/(1-4/n^2/m^2)]
met n = 3,4,5,... en m = 1,3,5,...
Dit geeft vervolgens
ln(p) = ln(PROD[1/cos(pi/n)]) = SUM[ln(1/(1-4/n^2/m^2))]
= -SUM[ln(1-4/n^2/m^2)]
Nu is ln(1-x) = -x-x^2/2-x^3/3-x^4/4-... hetgeen geeft
ln(p) = SUM[4/n^2/m^2+16/2/n^4/m^4+64/3/n^6/m^6]
Voor de individuele termen kunnen we oplossingen vinden
SUM[4/n^2/m^2] = 4*SUM[1/n^2]*SUM[1/m^2]
= 4*(pi^2/6-5/4)*(pi^2/8)
SUM[16/2/n^4/m^4] = 8*SUM[1/n^4]*SUM[1/m^4]
= 8*(pi^4/90-17/16)*(pi^4/96)
SUM[64/3/n^6/m^6] = 64/3*SUM[1/n^6]*SUM[1/m^6]
= 64/3*(pi^6/945-65/64)*(pi^6/960)
etc...
Wat na het afkappen van de som oplevert
ln(p) > 4*(pi^2/6-5/4)*(pi^2/8) +
8*(pi^4/90-17/16)*(pi^4/96) +
64/3*(pi^6/945-65/64)*(pi^6/960)
(Vul aan met meer termen naar wens; ze zijn allemaal oplosbaar als een
uitdrukking met breuken en machten van pi.)
Numeriek komt dit neer op
ln(p) > 1,9489215021526872995984708491362 +
+ 0,16091359809638050592034138013828 +
+ 0,03670502723870990360958170803665
ln(p) > 2,1465401274877777091283939373111
Dus
p > 8,5552072058379443225063656515516
Maar willekeurig veel beter kan natuurlijk. ;-)
--
M.vr.gr.
Dave
("d-dot-langers-at-wxs-dot-nl")
Dave Langers
> p > 8,5552072058379443225063656515516
> Maar willekeurig veel beter kan natuurlijk. ;-)
Voor de wiskundig geinteresseerden nog een vlot addendumpje met 100
cijfers achter de komma als vooralsnog onbevestigd resultaat:
De somtermen gaan dus volgens de vorm
ln(p) > SUM[ (2/(m*n))^(2*q) / q ]
met n = 3,4,5,...; m = 1,3,5,...; q = 1,2,3,...
Met 350 somtermen in q (en oneindig gesommeerd over m en n) komt mijn
electronische abacus na wat protesteren uit op
p >
8.70003662520819450322240985911300497119329794974289209215966727868342996411402515911854441400924952855..
En da's met vrijwel alle cijfers in overeenstemming met de gegevens van
http://www.cecm.sfu.ca/cgi-bin/isc/lookup?number=8.7000366&lookup_type=simple
waar ik aantref:
p = 8.700036625208194
of nog beter volgens het wat dubieus aandoende maar blijkbaar correcte
http://www.recoveredscience.com/const306outerlimit.htm met
p = 8.7000366252081945
(Een bron preciezer dan dat heb ik helaas nergens kunnen vinden.)
Om een idee van de fout te krijgen de volgende redenering:
De grootste term als functie van q is
(4/9)^q/q
Voor q voldoende groot raken de andere termen met dezelfde q (maar
andere m,n) verwaarloosbaar klein t.o.v. deze term. Dus als we termen
tot en met q=Q meenemen, ontbreekt er nog een bijdrage van de orde
SOM (4/9)^q/q { q = (Q+1)..oo }
Dat wil zeggen dat de resterende fout per keer ongeveer halveert. Met
350 termen mogen we dus wel meer dan honderd cijfers juist verwachten.
Ter controle, honderd somtermen zou zo'n dertig cijfers correct moeten
geven - natte-vinger-werk - en inderdaad krijg ik dan
p > 8.7000366252081945032224098591130049707796..
hetgeen na 36 cijfers begint af te wijken van de eerdere preciezere
benadering.
Jos Groot
Excuses, ik had de gebruikte ongelijkheid verkeerd onthouden. Correct is:
cos(pi/n) > 1 - pi^2/(2*n^2)
Samen met sin(x)= x(1-x^2/pi^2)(1-x^2/(4*pi^2))(1-x^2/(9*pi^2)) ...
volgt hieruit mijn bovengrens.
> > Wie kan er (analytisch) een kleinere bovengrens vinden?
> Ondergrens ook goed?
Eh, nee. Het produkt wordt groter met het toevoegen van elke term omdat
1/cos(pi/n) > 1 voor n>=3. Het is dus makkelijk om een ondergrens te vinden.
Voorbeeld: een ondergrens voor e is 2.5 (de som van de eerste drie termen van
de Taylor ontwikkeling e^x; alle overige termen zijn positief). Maar bewijs
maar eens dat e<2.8.
Nogmaals sorry voor de fout. Ik blijf benieuwd naar een scherpere
bovengrens dan de mijne...
Jos Groot
Dave Langers
> cos(pi/n) > 1 - pi^2/(2*n^2)
> Samen met sin(x)= x(1-x^2/pi^2)(1-x^2/(4*pi^2))(1-x^2/(9*pi^2)) ...
> volgt hieruit mijn bovengrens.
Oke, ik heb de redenering kunnen reproduceren geloof ik. Kwestie van x =
pi^2/sqrt(2) invullen in de productontwikkeling van sin(x), en de eerste
drie factoren weer expliciet wegdelen.
>>>Wie kan er (analytisch) een kleinere bovengrens vinden?
Ik neem de handschoen op, maar vertel er vast bij dat ik hier maar een
geringe verbetering geef. Weliswaar is ie vast weer te generaliseren tot
een nog weer betere, maar de limiet van 8.7.. kun je er bij lange na
niet mee benaderen.
Het idee is soortgelijk aan dat van jou, alleen neem ik wat meer termen
van de cosinus mee.
cos(pi/n) > 1-(pi/n)^2/2+(pi/n)^4/24-(pi/n)^6/720 >
> (1-(pi/n)^2/2)*(1+(pi/n)^4/360)
Hier is al zichtbaar dat, behalve de hogere-orde-termen, ook de
vierdemachtsterm helaas niet helemaal kan worden meegenomen. Maar goed,
voor een bovengrens kan het. Die tweede factor in het laatste resultaat
gaat voor een marginale verbetering zorgen.
p = 1/PROD[cos(pi/n)] < 1/PROD[(1-(pi/n)^2/2)*(1+(pi/n)^4/360)]
p < 1 / PROD[(1-(pi/n)^2/2)] * 1 / PROD[(1+(pi/n)^4/360)]
Die eerste factor had je zelf al geevalueerd en was gelijk aan
(1-pi^2/2)*(1-pi^2/8) * (pi^2/sqrt(2)) / sin(pi^2/sqrt(2))
De tweede factor is ook analytisch te evalueren en gelijk aan
(1+pi^4/360)*(1+pi^4/5760)*(pi^4/Q)/(cosh(pi^2/sqrt(Q))-cos(pi^2/sqrt(Q)))
waarin ik even de waarde Q = 3*sqrt(10) heb gebruikt.
Numeriek zijn deze te benaderen met
1 / PROD[(1-(pi/n)^2/2)] = 10.0131924709405968948..
1 / PROD[(1+(pi/n)^4/360)] = 0.99465679025986813414..
met als product
p < 9.95968988340..
Hetgeen een kleine verbetering van de bovengrens is.
>>Ondergrens ook goed?
> Eh, nee. Het produkt wordt groter met het toevoegen van elke term omdat
> 1/cos(pi/n) > 1 voor n>=3. Het is dus makkelijk om een ondergrens te vinden.
Oke, maar een ondergrens die een beetje vlot convergeert naar de juiste
limiet, da's wat anders.
> Voorbeeld: een ondergrens voor e is 2.5 (de som van de eerste drie termen van
> de Taylor ontwikkeling e^x; alle overige termen zijn positief). Maar bewijs
> maar eens dat e<2.8.
Kan het niet laten... ;-)
1/e = exp(-1) = 1-1+1/2-1/6+1/24-1/120+.. > 1-1+1/2-1/6+1/24-1/120 =
11/30 > 10/28 = 1/2.8 <-> e < 2.8
> Nogmaals sorry voor de fout. Ik blijf benieuwd naar een scherpere
> bovengrens dan de mijne...
Een betere manier om het aan te pakken dan hierboven is door dezelfde
methode te nemen volgens welke ik een ondergrens verkreeg, en dan een
bovengrens te schatten van de resterende termen van de afgekapte som.
Deze benadering kan namelijk ook weer willekeurig dicht in de buurt
komen van de ware limiet door maar voldoende termen mee te nemen.
Jos Groot
>
> > Excuses, ik had de gebruikte ongelijkheid verkeerd onthouden. Correct is:
> > cos(pi/n) > 1 - pi^2/(2*n^2)
> > Samen met sin(x)= x(1-x^2/pi^2)(1-x^2/(4*pi^2))(1-x^2/(9*pi^2)) ...
> > volgt hieruit mijn bovengrens.
>
> Oke, ik heb de redenering kunnen reproduceren geloof ik. Kwestie van x =
> pi^2/sqrt(2) invullen in de productontwikkeling van sin(x), en de eerste
> drie factoren weer expliciet wegdelen.
Klopt.
Ik heb het niet precies nagerekend, maar ik kan het volgen.
Een kleine verbetering, maar goed gedaan!
> >>Ondergrens ook goed?
> > Eh, nee. Het produkt wordt groter met het toevoegen van elke term omdat
> > 1/cos(pi/n) > 1 voor n>=3. Het is dus makkelijk om een ondergrens te vinden.
>
> Oke, maar een ondergrens die een beetje vlot convergeert naar de juiste
> limiet, da's wat anders.
Hoe weet je dat het de juiste limiet is als je de bovengrens
maar op ~9.96 kunt stellen? De termen die jij meegenomen hebt
zijn precies een fractie 0 van het oneindige aantal dat je mee moet
nemen. Misschien dat je uit jouw argument dat "de resterende
fout per keer ongeveer halveert" (van jouw productreeks) ook een
bovengrens kunnen halen? Hm, bij nader inzien denk ik van niet, want
je moet een schatting hebben van de fout na een aantal termen,
maar daar heb je de limiet (~8.7) zelf weer voor nodig.
> > Voorbeeld: een ondergrens voor e is 2.5 (de som van de eerste drie termen van
> > de Taylor ontwikkeling e^x; alle overige termen zijn positief). Maar bewijs
> > maar eens dat e<2.8.
>
> Kan het niet laten... ;-)
> 1/e = exp(-1) = 1-1+1/2-1/6+1/24-1/120+.. > 1-1+1/2-1/6+1/24-1/120 =
> 11/30 > 10/28 = 1/2.8 <-> e < 2.8
Ok, maar mijn punt was alleen maar dat een ondergrens van een monotoon
stijgende reeks makkelijker te bepalen is dan een bovengrens. Voor
een ondergrens heb je genoeg aan beschouwing van een paar eerste termen, voor
een bovengrens niet.
> > Nogmaals sorry voor de fout. Ik blijf benieuwd naar een scherpere
> > bovengrens dan de mijne...
>
> Een betere manier om het aan te pakken dan hierboven is door dezelfde
> methode te nemen volgens welke ik een ondergrens verkreeg, en dan een
> bovengrens te schatten van de resterende termen van de afgekapte som.
> Deze benadering kan namelijk ook weer willekeurig dicht in de buurt
> komen van de ware limiet door maar voldoende termen mee te nemen.
Ik zie niet zo gauw een fundamenteel verschil tussen het bepalen van een
bovengrens voor de termen 3*4*...*oneindig en voor de termen
n*(n+1)*...*oneindig, met n>3. Zou deze aanpak werekelijk wat opleveren?
Het blijft in ieder geval fascinerend, dit soort simpel uitziende reeksen
dat zich moeilijk (of niet) analytisch laat bedwingen.
Jos Groot
Dave Langers
> maar op ~9.96 kunt stellen? De termen die jij meegenomen hebt
> zijn precies een fractie 0 van het oneindige aantal dat je mee moet
> nemen. Misschien dat je uit jouw argument dat "de resterende
> fout per keer ongeveer halveert" (van jouw productreeks) ook een
> bovengrens kunnen halen? Hm, bij nader inzien denk ik van niet, want
> je moet een schatting hebben van de fout na een aantal termen,
> maar daar heb je de limiet (~8.7) zelf weer voor nodig.
Hmmm, ik denk toch van wel. Laat ik een poging doen op basis van mijn
reeds geposte *onder*grens met drie expliciete termen. Ik had toen:
ln(p) > 4*(pi^2/6-5/4)*(pi^2/8) +
8*(pi^4/90-17/16)*(pi^4/96) +
64/3*(pi^6/945-65/64)*(pi^6/960) =
= 2,1465401274877777091283939373111..
Om de som exact te krijgen had eigenlijk nog de reeks
SUM [ (2/(m*n))^(2*q) / q ]
m = 1,3,5,...
n = 3,4,5,...
q = 4,5,6,...
opgeteld moeten worden, maar deze waren dus afgekapt (de uitgeschreven
som komt namelijk overeen met de termen q = 1,2,3).
Nu ga ik voor die extra oneindige som een bovengrens proberen te
bepalen. Omdat m*n >= 3 voor alle (m,n)-combinaties, geldt:
SUM [ (2/(m*n))^(2*q) / q ] < SUM [ (2/(m*n))^6*(2/3)^(2*q-6) / q ] =
= SUM [ (2/(m*n))^6 * (3/2)^6 * (4/9)^q / q ]
= SUM [ (3/n)^6 * (1/m)^6 * (4/9)^q / q ]
Nu kan de som worden opgesplitst in sommen over de drie indices
afzonderlijk:
SUM [ (3/n)^6 * (1/m)^6 * (4/9)^q / q ] =
= SUM [ (3/n)^6 ] * SUM [ (1/m)^6 ] * SUM [ (4/9)^q / q ]
Die kunnen allemaal analytisch worden bepaald, hetgeen leidt tot:
SUM [ (2/(m*n))^(2*q) / q ] <
< pi^6 * (-61425+64*pi^6) * (-1252-2187*ln(5/9)) / 174182400 =
= 0,01920672915253169206489222959900479142196
Combineren we dat met de ondergrens die we al hadden, dan
ln(p) < 4*(pi^2/6-5/4)*(pi^2/8) +
8*(pi^4/90-17/16)*(pi^4/96) +
64/3*(pi^6/945-65/64)*(pi^6/960) +
pi^6*(-61425+64*pi^6)*(-1252-2187*ln(5/9))/174182400 =
= 2.1465401274877777091283939373111.. +
0.0192067291525316920648922295990.. =
= 2.1657468566403094011932861669101..
Zodat
p < 8.7211129062456768514561684907088..
Hetgeen maar een kwart procent overschat is. Met meer dan drie termen in
de oorspronkelijke reeks kom je natuurlijk nog verder.
> Zou deze aanpak werkelijk wat opleveren?
> Het blijft in ieder geval fascinerend, dit soort simpel uitziende reeksen
> dat zich moeilijk (of niet) analytisch laat bedwingen.
> Jos Groot
Zonder meer! Ik ben ook blij dat je 'm geherpost hebt, want ik had 'm
nog niet goed zelf bekeken en vind 'm nu zelf weer des te leuker. :-)
Jos Groot
>
[...]
> p < 8.7211129062456768514561684907088..
>
> Hetgeen maar een kwart procent overschat is. Met meer dan drie termen in
> de oorspronkelijke reeks kom je natuurlijk nog verder.
Goed gedaan, bedankt.
Jos Groot
AJ de Jong
In de onderstaande Matlab code wordt een boven en ondergrens geschat.
Het product wordt voor N termen exact berekend en de rest wordt geschat
door expansie van de cosinussen met 1 resp 2 termen. Door
herrangschikken van de reeksen kom je tot de gebruikte formules en kun
je laten zien dat Pboven en Ponder keiharde boven en ondergrenzen zijn
voor de limiet.
Groeten, ArdJan
%---------------------------------------------------------------
% Estimate the infinite product cos(pi/3)cos(pi/4)cos(pi/5)...
% AJ de Jong, March 2004
%---------------------------------------------------------------
N = 100000;
P1 = 1;
for J=3:N
P1 = P1 * cos(pi/J);
end
P2 = pi^2 / 6;
P3 = pi^4 / 90;
for J=1:N
P2 = P2 - 1/J^2;
P3 = P3 - 1/J^4;
end
Pboven = 1/(P1*(1-(1/2)*pi^2*P2));
Ponder = 1/(P1*(1-(1/2)*pi^2*P2+(1/24)*pi^4*P3+(1/8)*pi^4*(P2^2-P3)));
fprintf( 'Upper Limit = %18.15f\n', Pboven );
fprintf( 'Lower Limit = %18.15f\n', Ponder );
fprintf( 'True value = 8.7000366252081945...\n' );
Dave Langers
> Het product wordt voor N termen exact berekend en de rest wordt geschat
> door expansie van de cosinussen met 1 resp 2 termen. Door
> herrangschikken van de reeksen kom je tot de gebruikte formules en kun
> je laten zien dat Pboven en Ponder keiharde boven en ondergrenzen zijn
> voor de limiet.
> Groeten, ArdJan
Yep, mooi. Ik heb iets soortgelijks geprobeerd in Mathematica om de
limiet in wat meer cijfers te berekenen. Met de code hieronder kom je in
een fractie van een seconde al tot zo'n honderd decimalen. Het draait
erom de termen (2/((2*m-1)*n))^(2*q)/q te groeperen zodanig dat je de
grootste termen allemaal in een oneindige som krijgt die analytisch
omgevormd kan worden tot hetzij een product van cosinussen of
sinc-achtige functies, hetzij een product met Riemann-zeta-termen.
------------------------------------------------------------------
nn=20;
mm=20;
qq=20;
CosProd=Product[Product[(1-(2/((2*m-1)*n))^2),{m,1,Infinity}],{n,3,nn-1}];
SinProd=Product[Product[(1-(2/((2*m-1)*n))^2),{n,3,Infinity}],{m,1,mm-1}];
FiniteProd=Product[Product[(1-(2/((2*m-1)*n))^2),{n,3,nn-1}],{m,1,mm-1}];
ZetaSum=Sum[Sum[Sum[(2/((2*m-1)*n))^(2*q)/q,{n,nn,Infinity}],{m,mm,Infinity}],{q,1,qq}];
N[FiniteProd/(SinProd*CosProd)*Exp[ZetaSum],100]
N[(SinProd*CosProd)/FiniteProd/Exp[ZetaSum],100]
8.700036625208194503222409859113004971193297949742892092159667278683429964114025159118544414009249529
0.1149420448532962007010401574695987428307953372008635168440233965189660128253530511779407724849858370
------------------------------------------------------------------
Met iets meer moeite ben ik tot 10.000 cijfers achter de komma gegaan;
ik neem niet aan dat jullie daarom zitten te springen, maar aangezien ik
op heel internet niets naders heb kunnen vinden, voor de liefhebber:
p=8.7000366252081945032224098591130049711932979497428920921596672786834299641140251591185444140092495285503772331870046947934597603078203888288512550868222463969455445945120341277644948095294660195101726735248899315917964079582399553095222674925820053230370866478383763158361086806839017778494404074044510996591365215831222454896157470977103713235108795397799427366657912863015942315004677549942295059013531668478100107826872636927008766677954482429029256826165434901804623059292170680553308854366438267233115984029318059424510162793541390180000320655315598547465658221561734889777121653586450559565113470717703881949159409949720680615224086733579120400904834612430420467551093929641998113284046731077108750893934176487145044982626607856781646405325197645335515891822674182905052321760375941166009638683449106113712332390850954611723470927410511671632706958464356986076232326143468255418577272970378677137353202396510808299554776202945573531131515531912750216479692381367568691389698833133
097793988876462253625398727939845314606976435061393756792126945736521774419699814089998388299675533411716355420624823804914869523382166376919187382663024593272019974557918382656169348924714597190945891142115836828452102821080836122852632029065673898051432019666395662080347721963857641395891089178471893116418238718512699315061683805616273790629228053232474757311199874174153944737769870884827840905453951035215911002349900309898738602316751234468268739245382621438039497773196219632039060886896679133226912205387441038710988583802178769100078276978722879915250033565928493073684733227021244252435761506799228362080638753644734477122869407141237552463195890641662745744244972303469612625952832945349963931709239407052369901726448432679685884469404287644246902175902295265595415594027030637333639873319385952048121122166464871956964696961263356040451951374617809808117497327670768845564298610291402006690631023854581425509898150705338591651381875514148098735831690011163608995491407040178633
121192769738952774136620714838016240182555269336528855548575868184898137875078744793063592844456697831097112928060374542139625415773148224381960035025100079492727567738400528309162912312235222435655550583819917450962737470318590189243095581437152881645246465178183799044904485289253064468197398442147150610485278880633250349116028131616256119669809821930371561059806026248042175831185491344802529741937669714862300550220800076915648625219266383078359499455847281015999520168201089735246855517665136110084140024130480748784830296712407469123883154650626043931611927332052863352151552135485008277822835266635725584241120494371651421185798444055586949730623587002783217652809073504855926881053413960725048019047594887797739035276524726248826691765055958930249976724914839471325623077255776431555114070550624720059240058865770811879648070873660180278499794468312634820450689684719151744301996544240055626527497540580201781078561073293440395540195892884164749676620528799091690807978425511746080
216623540397559256379578709431410188277135754353633576262138896462902641519601920855256423501191299843294468928787643214834909381612635739089948653735576813672167763888190336009745507666649197411980390312276732844536376296595036081255831316211240010391422602787528103298754517732393711535540679212010321332053109939095449874243624772325359883155704132061667166379673045625792934001211289031983274551311174464097028172128659716472046083352713202042553018375412912551909120195816490788937730799426093698837058168366470199126729453866960578771066523437085266625593755309270024204028487633675003910915488435258867130954361746546560403242458911342924638054045343364421096086674741747335926228286346920848742114554971758256602961578924825964816461327476264061902177981592973730597099768006978220764679651574320833011845625047444190647522637090851266446581234947595929403541093135791895975873051618567750746532286387947066364420122774000622789561986399473342487729826117700793349379826447186638785
302913340708664973482709471715899770951921131013101202151790668411649930947960337137292811175172814845590910931073477612401460389276510647896471754022076638135738305166130996094329800303945001766304041327938369746604543707845302711930893038145431053498914771777942443982233378373239316234092680978876668231234627459045363074498354458582031643675797323233216069656226550281809107826071222832059422126148823748404857834920791745685955834345952012915591764291799754723025596737097380448507629385827136000872338696012778408706545481107771801562895584906835395170930084910215316375302792306867691004386856231003351268301380984952449013947671143448851071537968665502403510867088673033809743675731943631861651073746526016386964095488241147485762758362007916240127700735600605608198513103511933905784110794211155863332247873162449531024984389903511569533950248787944684433556607251543747855505946391176200603699775944413411069782475186724584631170988947091211235933269425109859244613542978647151860
906495875307448189119906711505071176886791155340112340872562173715494475860261251790145931725976381621750393830946021652498095138837736645952947552366409672068856307262229611990024059208442992192256515632068256587271588141647024096633523139579646010165536642637836763349049972177152108953878139828116250835655532381788217875648571335553261721877165821196999795838061397113478721127843065187939690963831521299892934342611209584137117756316951266150343119865689777074424048894182995718749785052656131636794614400312314840220286092210572983585967371108111614425607136549878313315190453824099051093745873625472391005541087999288277903090610471488216896967066614178549998759973735312251465453042794164492383245367917989401257846046924126855346486395017832315699571235474154582190241357383210504644604930203423047573188479683041704490387043269922316601881984048043673554410057311022548201062039135838654536461478686601450378329045014660622908900270831756034442414586917659620180499138470617642838
164789879520266739990189069006889850110373978592688030377906524697254308731141970994367461705280818337090024444173091815160414484702200185502733984500493059629037022870639084940390681634170790088925160540235819933837653445748546110645264189892757278760550245399633203163560823967207622525132054572662118243346657233841024998997748731078694400190304968149994571746493102410541497734536944265957362170945453160444992285656669885465609626110639776441795996286516397104356597251900213496979060176572684956656305014569985250611475708308953673814025396979043807655318700636727544455333464918203659656472742247359531571809259148215226405186510157457267256277480260471431340546550674064400291515886858631380563271347156916998011765869491456327777091512252723469246424048052471066147305536423215473471910353079495661247164300621892276775557635824349186976889808591048766984458606379200679746355452296550637849273944041201704250252699007608113728936093829290631770098733418328767948934848317426365787
844805284276925675877907670347951637477805881942148775035055480213468596163498614550732662613610161663827012529838121111113598946030591881929361502136304181105320827466382846546596326472821431154815818413093276417885097149203550868983085275075111861044201698912808965834775663237838831356899325556040264972169935825738494710397063375425151814960778287008646444263267020023536236763310539539313699603825101072244047688629231349317768397025110779214857576753317234263244908309515699078176706544325306762985319757742721467320224903901201222312506658563416066164617852567566783947989657635987723199075383748045180843811957754135806073232141315180684640698918438118397860913207506265275314714966965041330651702587458770039712591009302169705299475797666207463815399962146965250644255492262349285308643941984493846808397889974773727492802904993956593878470396531692248706065916793614129621112564402913488726309832483699160294370639526693257706009746313251847066013867355267227515926435627333016522
495117229396962936026902230763116851556069124892655536946705986274926089393020221129938483493659930943969253607616374181673982199068165117835641755946850162572141588704754807494256710923723245150433448251509829996036563910430432725036657311488461144763114534021404079064759036143126140993243586114360859128139694516259927117126007215779098726290784086844784571254469774974746714593907551956520898119125319215838130792209620330373875381654407978912936904471437497749525797192543954073227474878982282055575978085656493523771328240040694807566258973099791813829305180604918958236773161698433737768366881393354914833059374656368126055808205334482296216761215913503201636242015682968976865994054545022176036282391568613174621996831908292394054500867310057103244184370985183639600531314726978741603602002409878168782394722951163871813576440573270836074919920782843942659294598372852470819329375664064725809386752888107325063751891485124091094475267341753578082808760975474657057588339940146207020
703060147718602610451747291546471221316366201424267610055261494730432713786897689773404598585000351705594682850930388072158748511836001231662786540180526102438715979437379762390428614663109783533544032550663981284370103989993289841711227189999070422111921298344586149794685671702147783011171789716947634712104269413401558793488117657314070102406461623670737071983807507826787197215510049094062513972089203733472541078863991647553105101707994447303300431712524936968580965705612404365387383698916316516617011014668178111305371952698762969871004376710498199015192849667541209026542671032175752902403658151112810372354106570522286732143843585825737256065846761125726840577709516887275282096479223710747161384372677394040655000036092347708526965953790673819182584922077829760093278262336571571083690285399162755091199144399259081387737132518102439532023297806631455448527389154214132115074435802203117108074977800247035779623838918989249935075996637972828193347163299737762659775367806193288854
946084345524871749383724674244979340691632005879429449110971419181713752798903376098799462624072905020834
AJ de Jong
dag om aan te kondigen dat gebruik van een nieuwe expansie van de zeta
functies in het oneindige product leidt tot p=(1/2)*exp(pi*sqrt(2)).
> Met iets meer moeite ben ik tot 10.000 cijfers achter de komma gegaan;
> ik neem niet aan dat jullie daarom zitten te springen, maar aangezien ik
> op heel internet niets naders heb kunnen vinden, voor de liefhebber:
>
> p=8.700036625 etc.
PAM de Theije
gelijk aan 42.5098... Hier moet dus ergens een typefout in zitten.
Pascal
AJ de Jong
Beste groeten! Ardjan
PAM de Theije wrote:
>
> Volgens mijn rekenmachine is dit product, als je het uitschrijft, ongeveer
> gelijk aan 42.5098... Hier moet dus ergens een typefout in zitten.
>
> Pascal
>
> AJ de Jong wrote (on 1 april):