கணிதமும் தமிழும்.

[Pandiyaraja]

(கொஞ்சம் பொறுமையாகப் படியுங்கள் – நிதானமாகப் படியுங்கள். நேரம் இல்லையென்றால் விட்டுவிட்டாவது படியுங்கள். கட்டாயம் படியுங்கள் – பெருமைப்படுவீர்கள்)

நான் 1959-’62 –இல் மதுரை அமெரிக்கன் கல்லூரியில் இளம் அறிவியல் கணிதம் பயின்றேன். (B.Sc Mathematics). அப்போது எனக்கு முதல் பாடமொழி ஆங்கிலம். இரண்டாம் பாடமொழி தமிழ். தமிழ் செய்யுள் புத்தகத்தில் பல சங்க இலக்கியப் பாடல்கள் இருந்தன. அவற்றை ஆசிரியர் வந்து நடத்தும் முன்னர் நானாகப் படித்துப் புரிந்துகொள்ள எண்ணி, கல்லூரி நூலகத்திற்குச் சென்று உரைநூல்களை எடுத்துப் படிப்பேன். அந்த உரைநூல்கள் பல ஆண்டுகளுக்கு முன்னர் அச்சிடப்பட்டவை. அதன் பக்கங்களில் பக்க எண்களைக் குறிப்பிடும் எண்கள் என்னவோ போல் இருந்தன. எனக்குத் தெரிந்த 1, 2, 3, 4, --- 10 என்ற குறியீடுகளில் இல்லாமல் தமிழ் எழுத்துக்களாக இருந்தன. அவற்றுள் பல தமிழ் எழுத்துக்களாக இல்லாமலும் விநோதமான குறியீடுகளாகவும் இருந்தன.

ஒரு தாளை எடுத்து, அவற்றைக் குறித்துவைத்தேன். அவற்றைப் புரிந்துகொள்ள முயன்றேன். எனக்கு ஓர் அட்டவணையைத் தயாரித்துக்கொண்டேன் - இதைப் போல:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 1000

௧ ௨ ௩ ௪ ௫ ௬ ௭ ௮ ௯ ௰ ௱ ௲

20 இவ்வாறு இருந்தது : ௨௰

369 இவ்வாறு இருந்தது : ௩௲௬௰௯

இவற்றைத் தமிழ் எழுத்துக்கள் என்று எப்படி எடுத்துக்கொள்வது?

௧ ௨ ௫ ௭ ௮ ௰ ஆகியவை முழுமையான தமிழ் எழுத்துக்கள்தான். ஆனால் ௩ ௪ ௬ ௯ ௲ ஆகியவை? அதிலும் 3 - ஐக் குறிக்கும் ௩. அதில் ஏன் கடைசியில் நெட்டுக்கோடு இல்லை? பின்னர், ஒரு கல்லூரியில் பேசும்போது குறிப்பிட்டேன். It is our ங without the compound wall !! 4 - ஐக் குறிக்கும் ௪ .அதில் அந்த நெட்டுக்கோடு தேவையில்லாமல் நீட்டிக்கொண்டிருக்கிறது.

நான் ஏற்கனவே என் நண்பர்களிடம் பெருமையாகச் சொல்வதுண்டு.

தமிழ் எண்களைச் சொல்லிப்பாருங்கள்.

ஒன்று, இரண்டு, மூன்று, நான்கு, ஐந்து, ஆறு, ஏழு, எட்டு, ஒன்பது, பத்து, நூறு.

என்ன தோன்றுகிறது உங்களுக்கு என்பேன். அவர்கள் விழிப்பார்கள்.

நான் சொல்வேன்: அனைத்துமே ‘உ’ – வில் முடிகின்றன. (ஆயிரம் – தமிழ்ச்சொல் அல்ல – சகஸ்ரம் என்ற வடசொல்லின் திரிபு)

அதுமட்டுமல்ல, ஏழு என்பதைத் தவிர அனைத்துமே குற்றியலுகரங்கள் என்பேன். 

எண்களின் பெயர்களிலேயே அத்துணை ஒருமைப்பாடு இருக்கும்போது, அவற்றின் குறியீடுகளில் இத்துணை குழப்பம் ஏன்?

எனவே, ’இவை தமிழ் எழுத்துகள் இல்லை. தமிழ் எழுத்துகள் போல் தோன்றுவனவும் தமிழ் எழுத்துகள் இல்லை’ என்ற முடிவுக்கு வந்தேன். ஆகையால், அவற்றின் வரலாற்றை ஆயும் முனைப்பும் உண்டானது.

எனவே, History of Mathematics என்ற புத்தகத்தைத் தேடி, அதில் History of Numerals என்ற பகுதியைப் படித்தேன். அதில் மிகவும் வியப்பான செய்திகள் இருந்தன.

அதுவரை zero என்பதைக் கண்டுபிடித்ததே நாம்தான் என்று பெருமையுடன் சொல்வேன். ஆனால், அதுமட்டுமல்ல, இன்று உலகம் முழுக்கப் பயன்படுத்தப்படும் எண்களையும் எண்முறையையும் முதலில் கண்டுபிடித்து உலகுக்குத் தந்தவர்கள் இந்தியர்கள் என்ற உண்மை தெரியவந்தது. அதில் தமிழர்களுக்கு ஓர் சிறப்பிடம் உண்டு என்பதுவும் தெரியவந்தது. அதைப் பின்னர் பார்ப்போம்.

இப்போது, ஒரு சிறுவனை அழைத்து ‘இருநூற்று இருபத்து இரண்டு’ என்று எழுது என்று சொன்னால், அவன், இதுகூடத் தெரியலயா என்று சொல்லி. 222 என்று எழுதிக்காண்பிப்பான். “ஏண்டா, நான் கேட்டது ” இருநூற்று இருபத்து இரண்டு”, நீ மூன்று முறை ‘2’ – ஐ எழுதிக்காண்பிக்கிறாய் என்று கேட்டால், அவன் தலையில் அடித்துக்கொண்டு, அந்த எண்களைத் தொட்டுக்காண்பித்து, “இது ஒன்று, இது பத்து, இது நூறு” என்பானா இல்லையா?. ஆமாம், நாம் எழுதும் ஒவ்வொரு எண்ணுக்கும் அதற்கென்று ஒரு மதிப்பு இல்லை. அவை வெறும் குறியீடுகள்தான். இந்த எண்குறியீடுகள் Numerals எனப்படும். இவற்றுக்கு மதிப்பு கிடையாது. அவை மதிப்பு பெறும்போது, எண்கள் – Numbers – எனப்படுகின்றன. ஒன்றாம் இடம், பத்தாம் இடம், நூறாம் இடம் என்று நம் தொடக்கப்பள்ளி ஆசிரியர்கள் நம் தலையில் ஆணியடித்துச் சொல்லித்தந்தவை.

இவ்வாறு எழுதும் முறைக்கு இடமதிப்புமுறை என்று பெயர். (Positional value system)

இதென்ன, சின்னப்பிள்ளைத்தனமாயிருக்கு என்று சிலர் முணுமுணுக்கலாம்.

ஆனால், இந்த முறையைத் தெரிந்துகொள்ள உலகத்திற்கு எத்தனை ஆயிரம் ஆண்டு காலம் பிடித்தது தெரியுமா?

உலகத்திற்கு அறிவியலை அறிமுகப்படுத்திய பெருமை கிரேக்கர்களைச் சேரும். அரிஸ்டாட்டில், ஆர்க்கிமிடீஸ், பித்தாகோரஸ், யூக்ளிட் போன்ற பெரும் அறிவியலாளர்களை உலகுக்குத் தந்தது கிரேக்கம்.  ஆனால் அந்த அறிவியல் மேதைகளுக்கும் இந்த இடமதிப்பு முறை தெரிந்திருக்கவில்லை. அவர்கள், எண்களைக் குறிக்க, தம் எழுத்துக்களையே பயன்படுத்தினர்.

α,β,γ,δ … (Alpha, Beta, Gamma, Delta…) என்பவையே 1,2,3,4 ஆகிய எண்களைக் குறிக்கப்பயன்பட்டன. Ι,κ,λ, μ (iota, kappa, lambda, mU… ) என்பவையே 10, 20, 30, 40 ஆகிய எண்களைக் குறிக்கப்பயன்பட்டன. Ρ,σ,τ,υ .. என்பவையே 100, 200, 300, 400 ஆகிய எண்களைக் குறிக்கப் பயன்பட்டன. இதன் முறையில் σκβ என்பதுதான் நமது 222. இந்த எழுத்துக்களை மாற்றிப்போட்டால் அர்த்தமே இல்லை !!

அடுத்து, உலகத்தையே தம் குடைக்கீழ் கொண்டுவந்து ஆளத் துடித்த ரோமானியர்கள் என்ன செய்தார்கள் தெரியுமா?

அவர்கள் எண்முறை ஓரளவு தெரிந்ததுதான்.

I II III IV V VI VII VIII IX X L C D M = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,50,100,500,1000

அவர்களின் முக்கிய குறியீடுகள் :

1, 10, 100 = I X C

5, 50, 500 = V L D

4 என்பது ஐந்திற்கும் ஒன்று குறைவு : IV

40 என்பது ஐம்பதுக்கும் பத்து குறைவு : XL

400 என்பது ஐநூறுக்கும் நூறு குறைவு : CD

444-ஐ அவர்கள் எப்படி எழுதியிருப்பார்கள் என்று எண்ணிப்பாருங்கள் !!

எண்களை எழுதுவதற்கே இத்தனை பாடு என்றால் அந்த எண்களை எழுதிக் கூட்டவோ, கழிக்கவோ அவர்கள் பெரும் சிரமப்பட்டனர் எனலாம்.

243 – ஐயும், 415 – ஐயும் எவ்வாறு கூட்டுவது?

இன்று, இவற்றை ஒன்றன்கீழ் எழுதி, எளிதாக நாம் கூட்டிவிடுகிறோம். 5-ம், 3-ம் 8. 1-ம் 4-ம் 5. 4-ம் 2-ம் 6. விடை 658.  ஆனால் ரோமானியர்கள் இதனை, CCXLIII + CDXV என்று எழுதுவார்கள். கிரேக்கர்களின் முறை இன்னும் கடினமானது. எனவே, அவர்கள் எண்களைக் கூட்ட ABACUS என்ற ஒரு கருவியைப் பயன்படுத்தினார்கள். இந்த ABACUS இல்லாமல் அவர்களால் வணிகம்செய்யவே முடியாது. ஆனால், அவ்ர்களுடன் வணிகம்செய்ய வந்த அரேபியர்கள், தங்கள் கொண்டுவந்த காகிதத்தில் (PAPYRUS) என்னமோ எழுதி, எளிதாக இந்த எண்களை அவர்கள் கூட்டிச் சொன்னார்கள். அவர்கள் பயன்படுத்தியது இன்று நாம் பயன்படுத்தும் எழுத்துமுறை. இதைக் கண்ட மேலைநாட்டினர் அதைப் பற்றி அறிந்து, அந்த முறையைக் கற்றுக்கொண்டு தாமும் அதனைப் பயன்படுத்தினர். அதற்கு அவர்கள் கொடுத்த பெயர் அராபிய எண்கள் (Arabic numbers). ஆனால், அந்த அராபியர்களும் இதனைக் கற்றுக்கொண்டது இந்தியர்களிடமிருந்துதான். எனவேதான், இன்று அந்த முறை HINDU ARABIC NUMBERS எனப்படுகிறது. இதில் HINDU எனப்படுவது நம் நாட்டைக் குறிப்பதாகும். மிகவும் பிற்காலத்திலேதான் அது ஒரு மதத்தைக் குறிக்கப்பட்டது.

எனவே, இன்று உலகம் முழுவதும் பயன்படுத்தும் எண்களும், எண்முறையும் இந்தியர்களின் பங்களிப்பாகும்.

இன்று, நாம் பயன்படுத்தும் எண்முறையில் மூன்று அம்சங்கள் உண்டு.

1. இந்த எண்முறையில் 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 என்ற பத்து குறியீடுகளைக் கொண்டு எந்த எண்ணையும் எழுதமுடியும்.

2. இது பத்தை அடியாகக் கொண்டது (10 based). அதாவது ஒன்று, இரண்டு, மூன்று, …. பத்து வரை புதுப்புதுப் பெயர்கள். அதற்கு மேல், பத்தும் ஒன்றும், பத்தும் இரண்டும், …  இரண்டு பத்து,  மூன்று பத்து,  எனப் பெயர்கள் பத்தின் மடங்காகவே இருக்கும். பத்துப் பத்து மட்டும் நூறு எனப்படும். உலகின் பல எண்முறைகள் பத்து என்ற எண்ணையே அடியாகக் கொண்டவை. ஆனால், பண்டை பாபிலோனியர்கள் 60-ஐ அடியாகக் கொண்டவர்கள். அதனால்தான் 60 விநாடிகள் = 1 நிமிடம், 60 நிமிடங்கள் = 1 மணி. தென் அமெரிக்காவின் மாயர்கள் 20-ஐ அடியாகக் கொண்டு, தம் எண்முறையை வகுத்தனர். ஆனால், பெரும்பாலானவை 10-ஐ அடியாகக் கொண்ட முறைகள்தாம். நம் முறையும் அதுதான்.

3. இதுதான் முக்கியமானது. இந்த எண்முறை இடமதிப்பு என்ற கொள்கையை உடையது. (Positional notation). நான் ஏற்கனவே குறிப்பிட்டபடி, எண்களை வரிசையாக எழுதி, அவற்றுக்கு வலமிருந்து இடமாக , ஒன்று, பத்து, நூறு, ஆயிரம் என்ற மதிப்பைக் கொடுக்கிறோம். அதாவது, 1234 என்பது நாம் ஒன்று-இரண்டு-மூன்று-நான்கு என்று படிப்பதில்லை. இதை ஆயிரத்து இருநூற்று முப்பத்து நான்கு என்றுதான் படிக்கிறோம். இங்குள்ள 1-க்கு ஆயிரம் என்ற மதிப்பு. 2-க்கு இருநூறு என்ற மதிப்பு உண்டு.

இதுதான் நாம் உலகுக்கு வழங்கிய புதிய முறை. இது இந்திய முறை.

இப்போது தமிழுக்கு வருகிறேன். மீண்டும் இங்கு அதைக் குறிப்ப்டுகிறேன்.

௧ ௨ ௩ ௪ ௫ ௬ ௭ ௮ ௯ ௰ ௱ ௲ = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 1000

௰௧ ௰௨ ௰௩ ௰௪ ௰௫ = 11 12 13 14 15

௨௰௧ ௨௰௨ ௨௰௩ ௨௰௪ ௨௰௫ = 21 22 23 24 25

௩௰௧ ௩௰௨ ௩௰௩ ௩௰௪ ௩௰௫ = 31 32 33 34 35.

நன்றாகப் பாருங்கள். இது இடமதிப்பு முறை அல்ல. நாம் எப்படி உச்சரிக்கிறோமோ அப்படியே எழுதுகிறோம்.

இரு (௨) பத்து (௰) மூன்று (௩). = ௨௰௩.

இதில் ஒரு வசதி உண்டு.

103  = ௱௩

1003 = ௲௩

எனவேதான் தமிழ்முறை இடமதிப்பு முறை அல்ல என்றாகிறது.

அப்படியானால், இந்த இடமதிப்பு எழுதுமுறை இந்தியாவில் எங்கு தோன்றியது. வடநாட்டில்தான். ஆனால், இந்திய எண்கள் அனைத்திற்குமே (தமிழ் உட்பட) மூலமாக இருப்பது பிராமி எண்கள் தான். இந்தப் பிராமி எண்கள்தான் இந்தியாவின் பல்வேறு மொழிகளிலுள்ள பல்வேறு எண்களின் உருவங்களின் மூலம் என்பது ஆய்வறிஞர் கல்வெட்டுகளின் அடிப்படையில் கண்டுபிடித்த உண்மை.

ஆனால், இந்தப் பிராமி எண் முறை இடமதிப்பு முறையில் அமைந்தது அல்ல. கிரேக்கர்கள் போல் பத்து, இருபது, முப்பது, நாற்பது போன்ற எண்களுக்கு வெவ்வேறு முழு எண்ணுருக்கள் பயன்படுத்தப்பட்டன.

ஒரு காலகட்டத்தில், இந்த முறை மாறி, திடீரென்று இடமதிப்பு முறையில் வடநாட்டிலும் எண்கள் எழுதப்படுகின்றன.

இதை மிகச் சுலபமாக விளக்கவிடலாம்.

தமிழில் ௨௰௧ ௨௰௨ ௨௰௩ ௨௰௪ ௨௰௫ = 21 22 23 24 25

என்று எழுதும்போது ஒன்றைக் கவனித்தீர்களா? இதில் பத்து என்ற எண்ணின் குறியீடு (௰) திரும்பத் திரும்ப வருகிறது. இதைத் தவிர்த்துவிட்டு ௨௧ ௨௨ ௨௩ ௨௪ ௨௫ என்று எழுதி, அந்த ௨ இருபது என்ற மதிப்பைப் பெறுகிறது என்று கற்பித்துவிட்டால், தமிழ் எழுத்துமுறை இன்றைய முறை ஆகிறது.

இதில் சில சிக்கல்கள் இருக்கின்றன.

1.  ௰௧ ௰௨ ௰௩ ௰௪ ௰௫ = 11 12 13 14 15

என்ற எண்களை எவ்வாறு எழுதுவது. அப்போது பத்து (௰) தேவைப்படுகிறது.

2. ௨௱௧ ௨௱௨ ௨௱௩ ௨௱௪ ௨௰௫ = 201 202 203 204 205

ஆகியவற்றில், நூறு என்ற எண்ணின் குறியீடான ௱ என்பதை நீக்கிவிட்டால், அது ௨௧ ௨௨ ௨௩ ௨௪ ௨௫ என்று ஆகி 21 22 23 24 25 என்று பொருள்படுமே! இதைத் தீர்ப்பது எப்படி? காட்டாக ௨௱௧ என்பதை ௨ . ௧ என்று எழுதி நடுவில் ஒரு புள்ளி வைத்தால், அந்தப் பத்தாவது இடம் காலி - ஒன்றுமில்லை - என்ற கற்பிதத்தை ஏற்படுத்திவிடலாம். இது யாரோ ஒரு இந்தியனுக்கு முதலில் தோன்றியிருக்கிறது. அந்தப் புள்ளிதான் நன்றாகக் கண்ணுக்குத் தெரியவேண்டும் என்பதற்காகக் கொஞ்சம் கொஞ்சமாகப் பெரிதாக ஆகி 0 என்ற வட்ட வடிவத்தைப் பெற்றிருக்கிறது எனலாம். இதற்கு அவன் வைத்த பெயர் வெறுமை - சூனியம் - SUNYA.

இதைக் கற்றுக்கொண்ட அராபியர்கள் இந்த SUNYA என்பதைத் தங்கள் மொழியில் cifr என்றார்கள். அதற்கு nothing என்று பொருள். இதுவே இன்றய ZERO, CYPHER ஆகிய சொற்களின் மூலச்சொல்.

இந்த முறைப்படி, தமிழர்களின் பத்துக்குரிய எழுத்து ௰ - என்பதுவே ௧0 என்றாகிறது.

ஆக, இன்று நாம் இந்திய முறை என்று பெருமையுடன் கூறிக்கொள்ளும் அனைத்துலக எழுத்துமுறைக்கு மிக மிக அண்மை வரைக்கும் நம் தமிழ் முறை வளர்ந்திருக்கிறது.

இதை HUMBOLT என்ற வரலாற்றறிஞர் இவ்வாறு குறிப்பிடுகிறார்.

The Tamul (Tamil) numerals have played a very important role in the evolution of the present position value number system in India.

ப.பாண்டியராஜா

இதைப் போன்ற பல கட்டுரைகள் என்னுடைய புத்தகமான “கணிதவியல் பொதுக்கட்டுரைகள்” என்ற புத்தகத்தில் உள்ளன.

வெளியீடு: தமிழ் மரபு அறக்கட்டளை - Commonfolks - இல் கிடைக்கும்.