தொல்காப்பியக் கட்டுரைகள் - 3 தொல்காப்பியத்தின் கட்டமைப்பு
Pandiyaraja
தொல்காப்பியத்தின் கட்டமைப்பு
முனைவர்.ப.பாண்டியராஜா
(புதுச்சேரியில் PILC – செம்மொழி நிறுவனம் சார்பில் திசம்பர், 2011-இல் ஆய்வாளர்/மாணவர்-களுக்காக நடந்த பயிலரங்கில் வாசித்தளிக்கப்பட்டது)
நிலஅளவையியல் எனப்படும் ஜியோமிதி
தேல்ஸ் (Thales) என்ற ஒரு கிரேக்க நாட்டு வணிகர், தன் வணிகம் தொடர்பாக எகிப்து நாட்டுக்குச் சென்றார். கட்டிடக் கலையில் மிகவும் சிறந்து விளங்கிய எகிப்தியர்கள், செங்குத்தான மதில்களை அமைக்கவும், சமநிலையில் தளங்களைப் பரப்பவும், அறைகளைச் சரியான சதுரமாகவும், செவ்வகமாகவும் அமைக்கச் சுவர்களை மிகச் சரியான செங்கோணத்தில் கட்டவும் பலவிதக் கருவிகளைப் பயன்படுத்திக்கொண்டிருப்பதை அவர் கண்டார். அந்த எளிய கருவிகளை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்று தெரிந்துகொண்ட தேல்ஸ், தன் நாடு திரும்பிய பின்னர், அந்தக் கருவிகள் ஏன் அவ்வாறு செயல்படுகின்றன என்று தீவிரமாகச் சிந்திக்கத் தொடங்கினார். அக் கருவிகளின் செயற்பாட்டின் பின்புலமாக அமைந்திருக்கும் கணிதவியல் கொள்கைகளை வெளிக்கொணர்ந்தார். அவற்றை முறைப்படத் தொகுத்தார். இவ்வாறு அவர் தொகுத்த நூலுக்கு என்ன பெயர் வைக்கலாம் என்று ஆய்ந்து, அக் கொள்கைகள் கட்டடம் கட்டுவதற்காக நிலத்தை அளவிடும் முறைகள் என்பதினால், அதற்கு நிலஅளவையியல் எனப் பெயரிட்டார். எகிப்தியர் உலகியல் வழக்காகக் கொண்டிருந்த உண்மைகள் அறிவியல் வழக்காக ஒரு கிரேக்கனால் மாற்றப்பட்டு, இன்றளவும் கணிதம் பயிலும் அனைத்து மாணவர்களாலும் பயிலப்படும் Geometry என்ற கணிதப் பாடமே அது. (geo = நிலம், metry = அளவை). கி.மு 500-வாக்கில் நடந்த வரலாற்று உண்மை இது. ஏறக்குறைய இதே காலகட்டத்தில் தமிழ் கூறும் நல்லுலகத்தில் தொல்காப்பியன் எனத் தன் பெயர் தோற்றிப் பல் புகழ் நிறுத்த படிமையோன், செந்தமிழ் இயற்கைச் சிவணிய நிலத்தின் முந்து நூல் கண்டு, அவற்றின் கருத்துகளை முறைப்பட எண்ணிப் புலம் தொகுத்தான் ஒரு போக்கறு பனுவல். அதுவே தொல்காப்பியம்.
மீ-கீழ் கட்டமைப்பு (Top-Down Structure)
தொல்காப்பியர் தான் கூறப்போகும் அனைத்துச் செய்திகளையும் திட்டமிட்டு முறைப்படுத்தினார். முதலில் இந்தச் செய்திகளை எழுத்து, சொல், பொருள் என மூன்று பெரும் பிரிவுகளாகப் பகுத்தார். ஒவ்வொரு பிரிவின் செய்திகளையும் ஒன்பது குறும்பிரிவுகளாக வகுத்தார். இக் குறும்பிரிவுகளின் தன்மைக்கேற்ப நூற்பாக்களை முறைப்பட அடுக்கினார். கணினி உலகில் இது Top-Down Programming எனப்படும். இந்த எளிய விளக்கப்படம் தொல்காப்பியத்தின் மீ-கீழ் கட்டமைப்பை (Top-Down Structure) விளக்குகிறது.
இவ்வாறு மொத்த அமைப்பையும் கட்டமைத்துக்கொண்டு, இதன் ஒவ்வொரு பகுதியையும் உருவாக்கத் தொல்காப்பியர் பின்பற்றிய முறை Bottom-up முறை எனத் தெரிகிறது. அடிமட்டச் செய்திகளைச் சேகரித்து, அவற்றைத் தொகுத்துச் சீராக்கி, அவற்றுக்கிடையே இணைப்பு உண்டாக்கி மேலெழும்பும் முறையே இது. தனக்குத் தேவையான செய்திகள் நாடக வழக்கிலும் உலகியல் வழக்கிலும் எவ்வாறு பொதிந்துகிடக்கின்றன என்று தோண்டித்துருவி ஆராய்ந்து, முந்தைய தமிழ் நூல்களையும் கண்டு, அவற்றில் உள்ள பல்வேறு தகவல்களைத் தொகுத்து அவற்றை முறைப்பட ஒவ்வொரு இயலிலும் வைக்கிறார் அவர். தேல்ஸுக்குப் பன்னெடுங்காலத்துக்குப் பின்னர் வந்த இன்னொரு கிரேக்க மாமேதை யூக்ளிடு (Euclid) என்பார் கி.மு 3-ஆம் நூற்றாண்டில் செய்த செயல் இது. அவர் இயற்றிய The Elements என்ற புத்தகம் இன்றளவும் கணிதவியல் மாணவர்களுக்கு அடிப்படை நூலாக இருப்பது மட்டும் அன்றி, ஒரு புத்தகம் எழுதுவது எப்படி என்பதற்கு இலக்கணமாகவும் விளங்குகிறது.
Axiomatic approach என்றால் என்ன?
கொடுக்கப்பட்டுள்ள ஒரு பாடத்திட்டத்திற்கு (Syllabus) ஏற்ப ஒரு பாடநூலை எழுதுவது எளிது. ஆனால், ஓர் ஆசிரியர் ஒரு தலைப்பின் கீழ் ஒரு நூலை எழுதுவது என்பது எளிதான செயல் அன்று. அந்த நூலைப் படிப்பவர்கள், அதில் கூறப்படும் கருத்துகளை எளிதில் புரிந்துகொள்ளும் வகையில் அதன் பல சொற்கள் விளக்கப்படவேண்டும். அடுத்தடுத்துக் கூறப்படும் கருத்துகள் இயல்பான முறையில் படிப்படியாக விளக்கப்பட வேண்டும். மொத்தத்தில் தெரிந்தவைகளைக் கொண்டு தெரியாதவைகளை விளக்கிச் செல்ல வேண்டும் (From the known to the unknown). இந்த முறையில், முதலில் நூலாசிரியர் தனது நூலுக்குத் தேவையான சில சொற்களை வரையறுத்துக் கொள்ள வேண்டும். அதன் பின் அந்த நூலுக்குத் தேவையான சில அடிப்படை உண்மைகளைக் கருதுகோள்களாகக் கொள்ளவேண்டும். இவற்றின் அடிப்படையில் புதிய கருத்துகளைக் கூறி நிறுவ வேண்டும். இதைத்தான், ஈராயிரம் ஆண்டுகட்கு முன்னர் யூக்ளிடு செய்தார். அவர் எழுதிய நூல் Geometry பற்றியது அல்லவா? முதலில் புள்ளி, கோடு, முக்கோணம், வட்டம் போன்றவற்றை வரையறுத்தார். (A Point is that which has no length and breadth. A line is that which has length only and no breadth) அதன் பின் தன் நூலுக்குத் தேவையான சில அடிப்படை உண்மைகளைக் கருதுகோள்களாகக் கொண்டார்.
‘கொடுக்கப்பட்ட இரு புள்ளிகளை இணைத்து ஒரே ஒரு நேர்கோடுதான் வரைய முடியும்’ என்பது அவற்றில் ஒன்று.
“இரண்டு புள்ளிகளை இணைக்கும் ஒரு நேர்கோட்டை எடுத்துக்கொள்ளுங்கள்” என்றால்,
“எந்தக் கோட்டை” என்று கேட்கக் கூடாது!
காரணம், இருப்பது ஒரு கோடுதான். (“there is a unique line joining two points”)
“அது எப்படி” என்றும் கேட்கக் கூடாது.
காரணம், இது ஓர் அடிப்படை உண்மை, ஆனால் இதனை நிறுவமுடியாது. இப்படிக் கேள்விகள் கேட்காமல் உண்மை என எடுத்துக்கொள்ளவேண்டியவைகளுக்கு Postulates என்று பெயர். இதற்காக, நிறுவக்கூடியது, நிறுவவேண்டியது அனைத்தையுமே உண்மை என்று எடுத்துக்கொண்டால் நூல் எழுதவேண்டிய தேவையே இல்லையே! எனவே இந்தக் கருதுகோள்கள் மிகக் குறைந்த எண்ணிக்கையில் இருக்கவேண்டும். அவற்றினின்றும் ஏனையவை தர்க்கமுறையில் நிறுவப்படவேண்டும். யூக்ளிடு தனது நூலுக்கு ஐந்து கருதுகோள்களை மட்டும் உண்மையென எடுத்துக்கொண்டார். இவற்றைத் தவிர, வேறு சில உண்மைகளும் அவருக்குத் தேவைப்பட்டன. இரண்டு கூடைகள் ஒவ்வொன்றிலும் பத்துப் பழங்கள் இருக்கின்றன. எனவே, கூடைகளின் பழங்கள் சம எண்ணிக்கையில் இருக்கின்றன. இப்பொழுது, கூடைகள் ஒவ்வொன்றிலும் இரண்டு பழங்களைப் போட்டால், மீண்டும் பழங்களின் எண்ணிக்கை சமமாகவே இருக்கும் (If equals are added to equals, the wholes are equal). மிகவும் சிறுபிள்ளைத்தனமாகத் தோன்றினாலும், இதனைக் கணிதவழியில் நிறுவ முடியாது. எனவே இது உண்மை என எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது. இவ்வாறு ஒரு நூலுக்கு மட்டுமன்றி, பொதுவாக அனைத்துக்கும் உண்மையாக இருக்கும் கருத்துக்கள் பொது உண்மைகள் (Common Notions) அல்லது Axioms எனப்படும். யூக்ளிடு தனக்குத் தேவையான Axioms என ஐந்தனை எடுத்துக்கொள்கிறார். இவற்றை வைத்துக்கொண்டு, இனி தான் கூறவேண்டிய அனைத்தையும் கணித முறைத் தர்க்கத்தினால் (mathematical Logic) நிறுவுகிறார். அவற்றையும் படிப்படியாக உயர்த்திக்கொண்டே செல்கிறார். இதனால்தான் இவரது புத்தகம் ஈராயிரம் ஆண்டுகட்கு மேலும் நிலையான புகழ்பெற்று விளங்குகிறது.
தொல்காப்பியர் செய்தது என்ன? நூன்மரபு எனப்படும் Postulates
தொல்காப்பியர் எழுத்ததிகாரத்தின் முதல் இயலை நூன்மரபு என அழைக்கிறார். பெரும்பாலான மற்ற குறும்பிரிவுகளை, பிறப்பியல், புணரியல், உருபியல் என அழைத்த அவர் இதற்குமட்டும் நூன்மரபு எனப் பெயரிட்டதன் காரணம் என்ன? நச்சினார்க்கினியர் கூறுகிறார்: “இத் தொல்காப்பியமென்னும் நூற்கு மரபாந் துணைக்கு வேண்டுவனவற்றைத் தொகுத்து உணர்த்தினமையின் நூன்மரபென்னும் பெயர்த்தாயிற்று1”. கிரேக்கர்களின் axiomatic approach என்ற கொள்கையுடன் இதை ஒப்பிட்டுப் பாருங்கள். இது மட்டும் அல்ல. சிவஞான முனிவர் கூறுகிறார்: “மலை, கடல், யாறு, குளம் என்றற்றொடக்கத்து உலக மரபு பற்றிய பெயர் போலாது, ஈண்டுக் கூறப்படும் எழுத்து, குறில், நெடில், உயிர், மெய் என்றற்றொடக்கத்துப் பெயர்கள் நூலின்கண் ஆளுதற்பொருட்டு முதல் நூல் ஆசிரியனால் செய்து கொள்ளப்பட்டமையின், இவை நூன்மரபு பற்றிய பெயராயின2”. புள்ளி, கோடு, முக்கோணம் போன்று, எழுத்து, குறில், நெடில் எனத் தன் நூலுக்குத் தேவையானவற்றை முதலில் வரையறுத்துக் கொள்ளும் தொல்காப்பியரின் நுண்மாண்நுழைபுலம் மாபெரும் அறிஞர் நாங்கள் என மார்தட்டிய அன்றைய கிரேக்கரின் அறிவுக்குச் சற்றும் இளைத்ததல்ல என்பது புரிகிறதா?
மொழிமரபு எனப்படும் Axioms.
தொல்காப்பியர் குறிப்பிடும் மொழிமரபு என்ற தலைப்பில் உள்ள மொழி என்பது சொல்லைக் குறிக்கும் எனத் தமிழண்ணல் அவர்கள் கூறுகிறார். “நூன்மரபு எழுத்துப் பற்றிய அடிப்படை இலக்கணம் என்றால், மொழிமரபு அவ்வெழுத்துத்தாலாம் சொல் பற்றிய அடிப்படை இலக்கணம்3”. ச.வே.சு அவர்களும் இவ்வாறே கருதுகிறார்: “மொழி என்பது சொல். சொல்லில் உள்ள எழுத்துக்களின் இலக்கணத்தைக் கூறுவது மொழிமரபு4”. தொல்காப்பியரும்,
ஓரெழுத்து ஒருமொழி, ஈரெழுத்து ஒருமொழி - தொல் 45
எனக் கூறும்போது மொழி என்பதைச் சொல் என்றே கொள்கிறார். ஆனால், மொழிமரபில் உள்ள மொழி என்பது சொல் என்றால், முதல் அதிகாரத்தை அவர் எழுத்துமரபு என்றுதானே சொல்லியிருக்கவேண்டும்? ஏன் நூன்மரபு என்கிறார்? எனவே இந்த மொழி என்பது இன்னும் சற்று விரிவான பொருளைக் கொண்டிருக்கிறது எனக் கருதலாம். அகத்தியலிங்கம் அவர்கள் இன்னும் சற்று நெருங்கிவருகிறார் எனலாம். அவர் கூறுகிறார்: “மொழிமரபு எழுத்துக்களின் சேர்க்கையால் சொற்கள் எவ்வாறு ஆக்கப்படுகின்றன என்பதைக் கூறுவது. ஒவ்வொரு சொல்லாக்கத்திலும் அந்தந்த மொழியின் மரபு அடங்கிக் கிடக்கும். எனவே மொழிமரபு எனப் பெயர் கூறுவது தொல்காப்பியரின் நுண்மாண்நுழைபுலத்தைக் காட்டும்5”. மேலும் அவர் கூறுகிறார்: “மொழி என்பது சொல் (word) என்று பொருள்படுவதுடன், பாஷை (language) என்றும் பொருள்படும். செய்யுள் மொழி, இழுமென் மொழி, பரந்த மொழி, தெரிந்த மொழி, ஓங்கிய மொழி போன்றவற்றால் குறிக்கப்படும் சொற்களும் அவ்வவ் சொற்களை மட்டும் குறிப்பிடாமல் மொழியமைப்பு முழுவதையும் குறிக்கும் பண்புடையவை6”. எனவே, மொழிமரபு என்பது பொதுவான கருதுகோள்கள் (common notions) என்ற பொருளில் தொல்காப்பியரின் நூலுக்கு மட்டுமல்ல, மற்ற நூல்களுக்கும் பொதுவான, ஆனால், தொல்காப்பியத்துக்குத் தேவையான மரபுகள் என்ற பொருள்படும் எனலாம். இந்த common notions என்பனவே கலைச்சொல்லாக axioms எனப்படுகிறது.
எனவே தொல்காப்பியர் குறிப்பிடும் நூன்மரபு அவரின் Postulates எனவும், மொழிமரபு அவரின் Axioms எனவும் எடுத்துக்கொள்ளலாம்.
தொல்காப்பியர், முதலில் தன் நூலான இலக்கணத்திற்குத் தேவையான எழுத்து முதலியவற்றைக் கூறிய பின்னர், அடுத்து அந்த எழுத்துகளால் சொற்கள் உருவாகும் மரபுகளைக் கூறுகிறார். இவை மொழியின் மரபுகள்தானே.
மெய்யொடு இயையினும் உயிர் இயல் திரியா - தொல் 10
மெய்யின் அளபே அரை என மொழிப - தொல் 11
ஆகியவை அவர் எடுத்துக்கொண்ட நூன்மரபின் Postulates ஆகும்.
மெய்யின் இயக்கம் அகரமொடு சிவணும் - தொல் 46
எ என வரும் உயிர்மெய் ஈறு ஆகாது - தொல் 71
ஆகியவை அவர் எடுத்துக்கொண்ட மொழிமரபின் Axioms ஆகும்.
தொல்காப்பியர் மகரக் குறுக்கத்தை மூன்று இடங்களில் குறிப்பிடுகிறார்.
அரை அளபு குறுகல் மகரம் உடைத்தே
இசையுடன் அருகும் தெரியுங் காலை - தொல் 13 (நூன்மரபு)
னகாரை முன்னர் மகாரம் குறுகும் - தொல் 52 (மொழிமரபு)
வகாரை மிசையும் மகாரம் குறுகும் - தொல் 330 (புள்ளி மயங்கியல்)
நன்னூலார், இந்த மூன்றனையும் ஒன்று சேர்த்து,
‘ண’, ‘ன’ முன்னும் வஃகான் மிசையும் ‘ம’ குறுகும் - நன்னூல் 96
என ஒரே நூற்பாவில் அடக்கிவிடுகிறார். இவ்வாறு சுருங்கச் சொல்லும் ‘திறன்’ தொல்காப்பியருக்கு இல்லையா?
முதலாவதாக, மகரக்குறுக்கம் என்று ஒன்று உண்டு எனவும் அதன் அளவையும் நூன்மரபில் குறிப்பிடுகிறார். இதனை ‘மகரம் உடைத்தே’ என அதன் existence பற்றிக் கூறுகிறார். இது அதன் வரையறை. எனவே, இது நூன்மரபில்தான் வரவேண்டும். அடுத்தது அவர் கூறுவது அதன் occurrence. மகரம் குறுகுவது அது வருமிடத்தைப் பொருத்தது - போன்ம், சென்ம் போன்ற மொழிவுகளில் வருவது. இது தமிழ் மொழியின் மரபு. எனவே இதனை மொழிமரபில் வைத்தார். இது பற்றிக் கூறும்போது வெங்கடராஜுலு ரெட்டியார் கூறுகிறார்: “வடமொழியில், சொல்லின் இறுதியில் இணைந்த மெய்யெழுத்துக்கள் இருப்பின், அவற்றுள் ஈற்றில் இருக்கும் மெய்யெழுத்துக் கெட்டுவிடும் - வடமொழியாளர் ஒலிக்காதே விடுதல் போன்ற இடங்களில் தமிழர் பாதியளவு ஒலிக்கின்றனர் என அறிக7”. என்ன பொருத்தமான விளக்கம்! மூன்றாவதாக, நிலம் வலிது, வரும் வண்ணக்கண் எனச் சொற்கள் சேரும்போது ஏற்படும் குறுக்கம். இதனை இன்னொரு மரபான தொகைமரபிலும் குறிப்பிடவில்லை. எனவே, இந்த மகரக்குறுக்கத்தை அவர் மரபாகக் கொள்ளவில்லை; சொற்களின் உச்சரிப்பின்போது மகர வகரங்களின் பிறப்பிடத்தைப் பொருத்து இது நிகழ்வதாகத் தொல்காப்பியர் எண்ணியிருந்திருக்கலாம்.
எனவே, மரபுகளாக எடுத்துக்கொள்ளப்பட வேண்டியவைகள் நூலுக்கு உரியனவா, மொழிக்கு உரியனவா என்பதையும், அம் மரபுகள் தேவையான அளவுக்கு மிகக் குறைந்த எண்ணிக்கையில் இருக்கவேண்டும் என்பதையும் தொல்காப்பியர் அறிந்திருக்கிறார் எனலாம்.
தொல்காப்பியரின் வரையறைகள்
தொல்காப்பியத்தின் முதல் நூற்பா, தமிழின் எழுத்துக்களைக் கூறுகிறது.
எழுத்தெனப்படுப
அகர முதல் னகர இறுவாய்
முப்பஃதென்ப - தொல் 1
யூக்ளிடின் புள்ளி போன்றது இது. ஆனால், யூக்ளிடு புள்ளி என்பதை நீளம், அகலம் இல்லாப் பொருள் என்கிறார். அவ்வாறு தொல்காப்பியர் எழுத்து என்றால் என்ன என்று சொல்லவில்லை. மாறாக எழுத்துக்கள் என்னென்ன என்கிறார். ஆனால், பவணந்தியார் இதனைச் செய்கிறார்.
மொழிமுதற் காரணமாம் அணுத்திரள் ஒலி
எழுத்து ----------- நன்னூல் - எழுத். 2
பவணந்தியார் செய்வது யூக்ளிடு போன்ற ‘அறிவியல் பூர்வமான’ முறை எனத் தோன்றுகிறது அல்லவா? ஆனால், ஒலிஅணு என்றால் என்ன?; அப்படி ஒன்று இருக்கிறதா?; அதனைத் திரட்ட முடியுமா? என்ற கேள்விகள் எழுகின்றன. எழுத்து என்பது ஓர் அடிப்படைக் கருத்து. அதனை வரையறுக்க முயன்றால், அப்புறம் ‘அணு என்றால் என்ன?’ என்ற கேள்வி பிறக்கும். அப்புறம் அணுவை விளக்கவேண்டும். இவ்வாறு ஒரு பொருளுக்குப் பொருள் கூறிச் செல்வது வரம்பின்றி நீண்டுகொண்டே செல்லும். இதையே, தொல்காப்பியர்,
பொருட்குப் பொருள் தெரியின் அது வரம்பின்றே - தொல் 874 (சொல்-உரியியல்)
என்று கூறுகிறார். அரிஸ்டாட்டில் என்ற இன்னொரு கிரேக்க மேதை கூறுகிறார்: “அடிப்படைக் கொள்கைகள் என்று நான் கூறுவது நிறுவ முடியாத உண்மைகளாகும். எனவே, அலகு (unit), கோடு, முக்கோணம் ஆகியவற்றை உள்ளவைகளாகக் கொள்ளவேண்டும். இவற்றைக் கொண்டு மற்றவற்றை நிறுவவேண்டும்8”. இதனை ஒட்டியே வெங்கடராஜுலுவும் கருத்துத் தெரிவிக்கிறார்: “தெரிந்த பொருளை நுதலித் தெரியாதவற்றைக் கூறுதலே முறையாகலின் நுதலிய பொருள் மாணாக்கர்க்குத் தெரிந்ததாயும், உணர்த்துவது தெரியாததாயும் இருக்கும். எழுத்து என்பது இஃது என்று மாணாக்கர் யாவரும் அறிவாராதலின், அதனை ஈண்டு உணர்த்த வேண்டுவதில்லை9”. எனவே, எழுத்து என்பதை வரையறுக்கும் பவணந்தியார் கூற்றும், புள்ளியை வரையறுக்கும் யூக்ளிடின் கூற்றும் ஒரே தன்மையுடையன - அவை குறையுடையவை. இந்தக் காரணத்தாலேயே யூக்ளிடின் மாபெரும் நூல் சிறிதளவு குறைவுபட்டது என்பது இன்றைய கணிதவியலார் கருத்து. எழுத்து என்றால் என்ன என்று கூறி, யூக்ளிடு போல் குறைவுபடாமல், எத்தகைய குறைபாடும் இல்லாமல் அப்பழுக்கின்றி ஒளிவீசித் திகழ்வது தொல்காப்பியமே!
எழுத்துக்கள் ஒரு கணம் (Alphabet is a Set)
பள்ளி மாணவர்க்கு, கணம் என்பது நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட சில பொருள்களின் தொகுப்பு (A set is a collection of well-defined objects) என அறிமுகப்படுத்தப்படுகிறது. நாம் முன்னர்க் கண்டது போல், இது குறைவுள்ள வரையறை. Object என்றால் என்ன?. Collection என்றால் என்ன? - எனப் பின்னிழுக்கும் கேள்விகளுக்கு இது இடமளிக்கும். எனவே, உயர்நிலைக் கணிதத்தில், இது வேறான முறையில் அறிமுகப்படுத்தப்படுகிறது. Paul.R.Halmos என்பவர் எழுதிய Naive Set Theory என்ற நூல் இவ்வாறு தொடங்குகிறது: “There exists a set. A pack of wolves, a bunch of grapes or a flock of pigeons are all examples of sets of things110”. “எழுத்தெனப்படுப, அகர முதல் னகர இறுவாய் முப்பஃதென்ப” என்று நம்முன் எழுதிக் காண்பிக்கும் தொல்காப்பியரின் கூர்த்த மதி இன்றைய மேனாட்டார் அறிவினும் சிறந்து விளங்கவில்லையா?
தற்செயலாகத் தொல்காப்பியர் சொல்லிச் சென்ற ஓர் எளிய நூற்பாவுக்கு வலிதின் முயன்று சிறப்புச் சேர்ப்பதாகச் சிலர் எண்ணக்கூடும். ஆனால் இது தற்செயல் நிகழ்வல்ல என்பதைத் தொடர்ந்து படிக்க உணரலாம்.
அவற்றுள்
எ, ஒ என்னும் அப்பால் ஐந்தும்
ஓரளபிசைக்கும் குற்றெழுத்தென்ப - தொல் 3
என்ற நூற்பாவில் தொல்காப்பியர் ‘ஓர் அளபு’ என்பதை வரையறுக்க முனையவில்லை. மாறாக இந்தக் குறில்களை ஒலித்துக் காட்டி, இதுவே ஓர் அளவு என்கிறார். ‘அலகு(unit) என்பதையும், அதன் அளவையும் உள்ளவைகளாகக் கொள்ளவேண்டும்’ என்ற அரிஸ்டாட்டிலின் கூற்றை மீண்டும் நினைத்துப் பாருங்கள். இது மட்டுமல்ல.
கண்ணிமை நொடி என அவ்வே மாத்திரை
நுண்ணிதின் உணர்ந்தோர் கண்ட ஆறே - தொல் 7
என்ற நூற்பா வழியாக மாத்திரையின் அளவை வேறு எடுத்துக்காட்டுக்களால் விளக்குகிறார்.
ஓர் அளவு என்பது தெரிந்தால், ஈரளவு, அரை அளவு என்பதுவும் தெரிந்ததுதானே! மூவளவு எழுத்து உண்டா என்ற கேள்வியை நாம் கேட்கும் முன்னரேயே அவர் அதற்கு விடையிறுக்கும் அழகைப் பாருங்கள்!
மூவளபு இசைத்தல் ஓரெழுத்து இன்றே - தொல் 5
நீட்டம் வேண்டின் அவ்வளபு உடைய
கூட்டி எழூஉதல் என்மனார் புலவர் - தொல் 6
சொல்லியும் எழுதியும் காண்பிக்கும் தொல்காப்பியர் தான் ஒரு தேர்ந்த தர்க்கவியல் (logic) அறிஞர் என்பதைத் தெள்ளத் தெளிவாக உணர்த்தி நிற்கிறார்.
தொல்காப்பியரின் நூற்பா வைப்புமுறை
யூக்ளிடு தன் புத்தகத்தில் செய்திருப்பது போலவே, தொல்காப்பியரும் நூன்மரபில் முதலில் தனக்கு வேண்டிய வரையறைகளை வகுத்துக்கொள்கிறார். அவர் கொடுத்திருக்கும் வரையறைகள் வருமாறு:
1. எழுத்து - நூற்பா 1
2. சார்பெழுத்து - நூற்பா 2
3. குற்றெழுத்தும் அவற்றின் அளபும் - நூற்பா 3
4. நெட்டெழுத்தும் அவற்றின் அளபும் - நூற்பா 4
5. மூவளபு இசைத்தல் - நூற்பாக்கள் 5,6
6. மாத்திரை - நூற்பா 7
7. உயிர் எழுத்து - நூற்பா 8
8. மெய்யெழுத்து - நூற்பா 9
உயிர், மெய் ஆகிய எழுத்துக்களைப் பற்றிய வரையறை சற்றே பின்னாக அமைக்கப்பட்டிருப்பதைக் குறையெனக் கொள்வர் சிலர். அகத்தியலிங்கம் அவர்கள் இதனைக் குறிப்பிட்டு, இந்நூற்பாக்கள் இருக்கவேண்டிய வரிசை என : எழுத்து, உயிர், மெய், சார்பெழுத்து, மாத்திரை அளபு, குறில், நெடில், நீட்டம் என்று வரிசைப்படுத்துவார்11. நன்னூலில் ஏறக்குறைய இவர் குறிப்பிடும் வரிசையில் நூற்பாக்கள் அமைந்திருப்பதையும் சுட்டிக்காட்டுவார். தொல்காப்பியர் ஏன் ‘இயற்கையான’ வரிசையில் எழுதவில்லை என்ற கேள்வியையும் எழுப்பி, அதற்கு விடை காணவும் அவர் முயல்கிறார். அவர் கூறுகிறார்: “தொல்காப்பியரின் நோக்கம் தமிழ்மொழி அமைப்பும் சமஸ்கிருத மொழியமைப்பும் வேறு வேறு என்பதைத் தெளிவாகக் காட்டுவதுதான்.. .. இதனால்தான் நூன்மரபில் மாத்திரைக்கும் அளபெடைக்கும் முக்கியமான இடத்தைக் கொடுத்து 3,4,5,6 ஆவது நூற்பாக்களில் இவற்றைக் கொண்டுவந்து வைக்கிறார்12”. இவர் குறிப்பிடும் வரிசைமுறையும், தொல்காப்பியரின் வரிசைமுறைக்கான காரணமாக இவர் கூறுவதும் ஆய்வுக்கு உரியவை. ஆனால், தொல்காப்பியரின் வரிசைமுறை மாறுபட்டது எனவும், அதற்கு நியாயமான காரணம் இருக்கவேண்டும் எனவும் தெரிகிறது. இப்பகுதி ஆழ்ந்த ஆய்வுக்கு உட்பட்டது.
ஒழுங்குசார் அமைப்புகள்
யூக்ளிடின் புத்தகம் கருதுகோள் அணுகுமுறையினைப் (axiomatic approach) பற்றிய இன்றைய கொள்கைகளுடன் பல வகைகளில் உடன்பட்டாலும், சில வகைகளில் உடன்பட்டதல்ல என்கிறார் Patrick Suppes. அவர் கூறுகிறார், “கருதுகோள்முறையில் ஜியோமிதியை அமைக்கவேண்டும் என்று எண்ணிய யூக்ளிடுக்கு, அம்முறை பிற சொற்களால் வரையறுக்கப்படாத சில கருத்துக்களைக் கொண்டுதான் தொடங்கப்பெறவேண்டும் என்பது தெரியவில்லை13”. இவ்வாறான குறைகள் இன்றி முற்றிலும் சட்டதிட்டங்களுக்கு உட்பட்ட ஒழுங்குமுறையைச் சார்ந்து உருவாக்கப்படும் ஓர் அமைப்பு ஒழுங்குசார் அமைப்பு (a formal system) எனப்படும். 1899-இல் இதனை ஆய்ந்து தெளிவாக்கிய David Hilbert கூறுகிறார், “ஓர் ஒழுங்குசார் அமைப்பு என்பது ஒரு மொழியைப் போன்றது. அதன் குறியீடுகள் (Symbols) மொழியின் எழுத்துக்களைப் போன்றவை. அதனை உருவாக்கும் விதிமுறைகள் (formation rules) மொழியின் இலக்கணத்தின் விதிகளைப் போன்றவை. அதன் உருமாற்ற விதிகள் (Transformation rules) மொழியைப் பேசுபவர் மொழியில் என்னவெல்லாம் செய்யக்கூடும் என்பதைப் போன்றவை14”. (A formal system should have the following components: Symbols, Formation Rules, Axioms, Rules of Transformation and Theorems. A formal system is like a language. Its symbols correspond to the letters of the alphabet. The formation rules are like the rules of grammar of the language. The transformation rules correspond to the various operations a person can do on the language).
ஓர் ஒழுங்குசார் அமைப்பு ஒரு மொழியைப் போன்றது என்ற இன்றைய கணிதவியலாரின் கொள்கைகளுடன் முற்றிலும் ஒத்துப்போகும் வகையில் ஈராயிரம் ஆண்டுகட்கு முன்னர் தமிழ் மொழியின் இலக்கணத்தை ஓர் ஒழுங்குசார் அமைப்பாக உருவாக்கியிருக்கும் தொல்காப்பியரின் திறம் எண்ணுந்தோறும் திகைக்கவைக்கிறது.
தொல்காப்பியர் எழுத்ததிகாரத்தைக் கருதுகோள் அணுகுமுறையையில் அமைத்திருப்பதைப் போலவே, சொல்லதிகாரத்தையும், பொருளதிகாரத்தையும் அமைத்திருப்பார் என்பது திண்ணம். பொருளதிகார அகத்திணையியலில் அவர்,
நாடக வழக்கினும் உலகியல் வழக்கினும்
பாடல் சான்ற புலனெறி வழக்கம் - தொல் 999
என்ற நூற்பாவில் குறிப்பிடும் நாடக வழக்கு என்பது பொருளதிகாரத்தின் Postulates எனவும், உலகியல் வழக்கு என்பது அதன் axioms எனவும் கருத இடம் உண்டு. எனவே, இந்த அணுகுமுறையினைக் கருத்தில் கொண்டு தொல்காப்பியத்தின் நூற்பாக்களையும், இயல், அதிகாரங்களையும் ஒரு மீள்பார்வை செய்யவேண்டியது அவசியம். இதனை, இலக்கண அறிஞர்கள், இலக்கிய வல்லோர், மொழியியலார், கணிதவியலார், தத்துவத்துறையோர் ஆகியோர் கூட்டாக அமர்ந்து செய்ய வேண்டும். அதனைச் செய்வதற்குரிய சூழ்நிலையை உருவாக்கித் தருவது அரசின் கடமை.
பார்வை நூல்கள்
1. தொல்காப்பியம் – எழுத்ததிகாரம் – நச்சினார்க்கினியம் – கழகம் - பக்-23.
2. தொல்காப்பியம் - உரைவளம் - நூன்மரபு, ஆ.சிவலிங்கனார் (பதிப்), உலகத் தமிழாராய்ச்சி நிறுவனம், சென்னை, 1981, பக்.12
3. தொல்காப்பியம் - எழுத்ததிகாரம் - முனைவர் தமிழண்ணல், மணிவாசகர் பதிப்பகம், சென்னை, மறு பதிப்பு, 1999.
4. தொல்காப்பியம் - தெளிவுரை - முனைவர் ச.வே.சுப்பிரமணியன், மணிவாசகர் பதிப்பகம், சென்னை, ஐந்தாம் பதிப்பு, 2003.
5. தொல்காப்பிய உருவாக்கம், அகத்தியலிங்கம் ச. மெய்யப்பன் தமிழாய்வகம், சிதம்பரம், 2001, பக்-87,88
6. மேற்படி - பக் 231
7. 1-இல் உள்ளபடி - பக்.102.
8. The Thirteen Books of Euclid’s Elements - (Ed.) Sir Thomas L.Heath - Vol I, Dover Publishing Inc, New York, Page 117.
9. 1-இல் உள்ளபடி, பக். 30,31
10. Naive Set Theory, Paul.R.Halmos, D.Van Nostrand Company Inc, 1967, Page 1.
11 4-இல் உள்ளபடி, பக். 92
12 4-இல் உள்ளபடி, பக். 98.
13 Introduction to Logic, Patrick Suppes, Van Nostrand Reinhold Co., 1968, Page 246.
14 A History of Mathematics, K.S.Narayanan and K.Narasimhan, Page 8.
N D Logasundaram
--
--
"Tamil in Digital Media" group is an activity of Tamil Heritage Foundation. Visit our website: http://www.tamilheritage.org; you may like to visit our Muthusom Blogs at: http://www.tamilheritage.org/how2contribute.html To post to this group, send email to minT...@googlegroups.com
To unsubscribe from this group, send email to minTamil-u...@googlegroups.com
For more options, visit this group at http://groups.google.com/group/minTamil
---
You received this message because you are subscribed to the Google Groups "மின்தமிழ்" group.
To unsubscribe from this group and stop receiving emails from it, send an email to mintamil+u...@googlegroups.com.
For more options, visit https://groups.google.com/d/optout.
Suba
திருவாளர் பாண்டியராசா அவர்களுக்குநல்லதொரு சீர்மையான படைப்பு பலரறிய இங்கு வைத்தமைக்கு மிக க நன்றிதிருமதி தேமொழி / சுபா அவர்கள் தன கருத்தின் படி இதனில் உள்ளதை சீரிய ஆவணமாகக் கருதி ஏற்று அதற்கானஆவண சேமிப்பில் வைப்பார் என நினைக்கின்றேன் கேட்டும் கொள்கிறேன் அதற்கு நீங்கள் உரிய அனுமதியும் அளிப்பீர்கள்எனவும் கொள்கிறேன்அன்புடன்
Oru Arizonan
2016-04-20 13:56 GMT+05:30 Pandiyaraja <pipi...@gmail.com>:
//முதலில் வரையறுத்துக் கொள்ளும் தொல்காப்பியரின் நுண்மாண்நுழைபுலம் மாபெரும் அறிஞர் நாங்கள் என மார்தட்டிய அன்றைய கிரேக்கரின் அறிவுக்குச் சற்றும் இளைத்ததல்ல என்பது புரிகிறதா?
எழுத்து என்பதை வரையறுக்கும் பவணந்தியார் கூற்றும், புள்ளியை வரையறுக்கும் யூக்ளிடின் கூற்றும் ஒரே தன்மையுடையன - அவை குறையுடையவை. இந்தக் காரணத்தாலேயே யூக்ளிடின் மாபெரும் நூல் சிறிதளவு குறைவுபட்டது என்பது இன்றைய கணிதவியலார் கருத்து. எழுத்து என்றால் என்ன என்று கூறி, யூக்ளிடு போல் குறைவுபடாமல், எத்தகைய குறைபாடும் இல்லாமல் அப்பழுக்கின்றி ஒளிவீசித் திகழ்வது தொல்காப்பியமே!
//இதனில் உள்ளதை சீரிய ஆவணமாகக் கருதி ஏற்று அதற்கான
ஆவண சேமிப்பில் வைப்பார் என நினைக்கின்றேன் கேட்டும் கொள்கிறேன் அதற்கு நீங்கள் உரிய அனுமதியும் அளிப்பீர்கள்
எனவும் கொள்கிறேன் //