Trigonometria Plana
Darth Sanderson
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O documento explica os conceitos bsicos de trigonometria no tringulo retngulo, incluindo o Teorema de Pitgoras e as definies de seno, cosseno e tangente. Ele tambm fornece uma tabela com os valores dessas funes para diferentes ngulos e apresenta exemplos numricos de como aplic-las.Read less
Hi ha evidncia que fins i tot els babilonis i els egipcis es van preocupar pels problemes de trigonometria esfrica fa 4.000 anys per poder calcular la trajectria de les estrelles, no obstant aix, no podien resoldre'ls. De fet, la histria de la trigonometria esfrica est tant estretament relacionada amb l'astronomia, que en el moment en qu els grecs van comenar a emprar-la per als seus clculs, aproximadament el 350 aC, es va convertir en la cincia base per ajudar els astrnoms a predir els moviments dels astres.[2]
El text ms antic sobre trigonometria esfrica data d'aquest perode, va ser el grec Autolykos de Pitane i cont frases sobre cercles esferoidals. Al voltant del 140 aC. Hipparc de Nicea, va fer estudis sobre mtodes, tant computacionals com grfics, per crear diagrames estellars i realitzar nous clculs astronmics. Menelau d'Alexandria, el 98 aC.va transferir les primeres frmules del triangle pla als triangles sobre l'esfera i va trobar que el valor de la suma dels angles d'un triangle esfric era 270.[3]
Entre el 125 i el 150 dC, Ptolemeu d'Alexandria va trobar els mtodes per a calcular triangles esfrics tant rectangles com oblics. Des de l'ndia, van arribar les primeres aproximacions a la frmula del cosinus. Entre els matemtics rabs que, basant-se en la recerca feta pels indis i grecs van continuar els estudis sobre la trigonometria esfrica, val la pena esmentar Al-Battan (al voltant de 900 n. Chr.) I Nasir Eddin Tusi (al voltant de 1250 n. Chr.), que va plasmar per primera vegada el teorema del sinus i el triangle polar en frmules matemtiques. Al segle xv, Johannes Mller regiomontanus va ampliar el coneixement grec, indi i rab amb la funci tangent les investigacions en trigonometria esfrica van facilitar els grans viatges de descobriment al poder determinar millor la posici d'un vaixell al mar, permetent traar les noves rutes martimes cap a l'ndia, Amrica i el Pacfic.[4]
Vieta es troba al segle xvi sobre el triangle polar Winkel kosinussatz. John Napier (Napier, 1550-1617) va portar les frmules trigonomtriques a regles fcilment aplicables (el Pentgon de Neper). Finalment Leonhard Euler (1707-1783), va redactar la trigonometria esfrica actual d'una forma clara.[5]
Desprs d'Euler molts altres matemtics han ampliat la trigonometria esfrica, establint noves relacions entre els costats i els angles d'un triangle esfric, entre altres: Simon L'Huilier (1750-1840), Jean-Baptiste Joseph Delambre (1749-1822), Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Adrien-Marie Legendre (1752-1833) i David Hilbert (1862-1943).[6] Grcies al treball d'aquest matemtics, que van descobrir nous mtodes, o en van aplicar d'antics, com els logaritmes de Napier, es va facilitar el desenvolupament de la geometria esfrica en camps com per exemple, la topografia de la terra o la cartografia moderna. En els segles XIX i XX tamb es van descobrir altres geometries no euclidianes que junt amb la trigonometria esfrica van trobar la seva aplicaci en la teoria de la relativitat.[7]
Si se situen dos punts sobre una superfcie esfrica, la corba ms curta sobre aquesta superfcie que els uneix s un dels dos arcs del cercle mxim que aquests dos punts determinen. Aquest cercle mxim queda perfectament determinat per dos punts diferents qualssevol sobre l'esfera. Cal recordar que tots els cercles mxims d'una esfera tenen el mateix radi que l'esfera.
Si tres punts de la superfcie esfrica sn units per arcs de cercle mxim menors a 180 , la figura obtinguda s'anomena triangle esfric. Els costats del polgon aix format s'expressen per convenincia com a angle (essent el vrtex el centre de l'esfera) i no per la seva longitud. Aquest arc mesurat en radians i multiplicat pel radi de l'esfera s la longitud de l'arc. En un triangle esfric els angles compleixen que: P 180
Des de les frmules dels cosinus, obtingudes en la secci anterior, es poden obtenir deimmediat un conjunt de diverses frmules conegudes com a "relacions del sinus pel cosinus"o tamb anomenades Frmules de Bessel, o tercera frmula de Bessel. Van ser dedudes per primera vegada pel granmatemtic Friedrich Wilhelm Bessel (Westflia, Alemanya, 1784 - Kaliningrad, Rssia, 1846):
En trminos generales, la trigonometra es el estudio de las razones trigonomtricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. La trigonometra se aplica a otras ramas de la geometra o la geometra analtica en particular geometra plana o geometra del espacio. En soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias ( y = y), series de Fourier usadas en ecuaciones en derivadas parciales.
Posee numerosas aplicaciones, entre las que se encuentran: las tcnicas de triangulacin, por ejemplo, son usadas en astronoma para medir distancias a estrellas prximas, en la medicin de distancias entre puntos geogrficos, y en sistemas globales de navegacin por satlites.
Los antiguos egipcios y los babilonios conocan los teoremas sobre las proporciones de los lados de los tringulos semejantes. Pero las sociedades prehelnicas carecan de la nocin de una medida del ngulo y por lo tanto, los lados de los tringulos se estudiaron en su medida, un campo que se podra llamar trilaterometra.
Los astrnomos babilonios llevaron registros sobre la salida y puesta de las estrellas, el movimiento de los planetas y los eclipses solares y lunares, todo lo cual requiere la familiaridad con la distancia angular medida sobre la esfera celeste. Sobre la base de la interpretacin de una tablilla cuneiforme Plimpton 322 (c. 1900 a. C.), algunos incluso han afirmado que los antiguos babilonios tenan una tabla de secantes. Hoy, sin embargo, hay un gran debate acerca de si se trata de una tabla de ternas pitagricas, una tabla de soluciones de ecuaciones de segundo grado o una tabla trigonomtrica.
Los egipcios, en el segundo milenio antes de Cristo, utilizaban una forma primitiva de la trigonometra, para la construccin de las pirmides. El Papiro de Ahmes, escrito por el escriba egipcio Ahmes (c. 1680-1620 a. C.), contiene el siguiente problema relacionado con la trigonometra:
La solucin al problema es la relacin entre la mitad del lado de la base de la pirmide y su altura. En otras palabras, la medida que se encuentra para la seked es la cotangente del ngulo que forman la base de la pirmide y su respectiva cara.
En la medicin de ngulos y, por tanto, en trigonometra, se emplean tres unidades, si bien la ms utilizada en la vida cotidiana es el grado sexagesimal, en matemticas es el radin la ms utilizada, y se define como la unidad natural para medir ngulos, el grado centesimal se desarroll como la unidad ms prxima al sistema decimal, se usa en topografa, arquitectura o en construccin.
La trigonometra es una rama importante de las matemticas dedicada al estudio de la relacin entre los lados y ngulos de un tringulo rectngulo y una circunferencia. Con este propsito se definieron una serie de funciones, las que han sobrepasado su fin original para convertirse en elementos matemticos estudiados en s mismos y con aplicaciones en los campos ms diversos.
Normalmente se emplean las relaciones trigonomtricas seno, coseno y tangente, y salvo que haya un inters especfico en hablar de ellos o las expresiones matemticas se simplifiquen mucho, los trminos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse
Adems de las funciones anteriores, existen otras funciones trigonomtricas. Matemticamente se pueden definir empleando las ya vistas. Su uso no es muy corriente, pero s se emplean, dado su sentido geomtrico. Veamos:
En trigonometra, cuando el ngulo se expresa en radianes (dado que un radin es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones recprocas se denominan con el prefijo arco, cada razn trigonomtrica posee su propia funcin recproca:
Dado que la recproca de una funcin no tiene que cumplir necesariamente la unicidad de imagen, solo las funciones inyectivas y biyectivas dan funciones recprocas con esta propiedad, esta situacin se repite para el resto de las funciones recprocas trigonomtricas.
A fin de garantizar el cumplimiento de la definicin de funcin, en cuanto a la unicidad de imagen, y que por tanto las funciones trigonomtricas recprocas cumplan los criterios de la definicin de funcin, se suele restringir tanto el dominio como el codominio, esta correccin permite un anlisis correcto de la funcin, a pesar de que no coincida exactamente con la recproca de la funcin trigonomtrica original. As tenemos que:
Del mismo modo que las funciones trigonomtricas directas recprocas, cuando el ngulo se expresa en radianes, se denomina arco a ese ngulo, y se emplea el prefijo arco para la funcin trigonomtrica recproca, as tenemos que:
Al igual que en las funciones directas, si aplicamos el criterio para obtener las funciones recprocas, dado que las funciones trigonomtricas inversas no son inyectivas, lo obtenido es la grfica de la derecha, que no cumplen la unicidad de la imagen, que forma parte de la definicin de funcin.
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