Hola, lo primero es siempre trabajar las fechas como una variable tipo DATE así que tienes que cambiar
Dim Fecha As String por Dim Fecha As Date
Luego al copiar los datos de la hoja a la variable Fecha, indicarle que convierta el valor en una fecha de la siguiente manera:
Fecha = cdate(Sheets("Base").Cells(cont, 10))
Con lo que tu macro quedaría de la siguiente manera:
Sub transferirdatosotrahoja()
Dim PRO As String
Dim ORD As String
Dim REN As String
Dim Fecha As Date
Dim ART As String
Dim CANT As String
Dim Entrega As String
Dim NPED As String
Dim ultimafila As Long
Dim ultimafilaauxiliar As Long
Dim cont As Long
Dim palabrabusqueda As String
palabrabusqueda = Sheets("INDEX").Cells(7, 3)
palabrabusqueda = "*" & palabrabusqueda & "*"
ultimafila = Sheets("Base").Range("B" & Rows.Count).End(xlUp).Row
If ultimafila < 2 Then
Exit Sub
End If
For cont = 2 To ultimafila
If Sheets("Base").Cells(cont, 1) Like palabrabusqueda Then
PRO = Sheets("Base").Cells(cont, 1)
ORD = Sheets("Base").Cells(cont, 2)
REN = Sheets("Base").Cells(cont, 3)
Fecha = Cdate(Sheets("Base").Cells(cont, 10))
ART = Sheets("Base").Cells(cont, 11)
CANT = Sheets("Base").Cells(cont, 13)
Entrega = Sheets("Base").Cells(cont, 22)
NPED = Sheets("Base").Cells(cont, 46)
ultimafilaINDEX = Sheets("INDEX").Range("B" & Rows.Count).End(xlUp).Row
Sheets("INDEX").Cells(ultimafilaINDEX + 1, 2) = PRO
Sheets("INDEX").Cells(ultimafilaINDEX + 1, 3) = ORD
Sheets("INDEX").Cells(ultimafilaINDEX + 1, 4) = REN
Sheets("INDEX").Cells(ultimafilaINDEX + 1, 5) = Fecha
Sheets("INDEX").Cells(ultimafilaINDEX + 1, 6) = ART
Sheets("INDEX").Cells(ultimafilaINDEX + 1, 7) = CANT
Sheets("INDEX").Cells(ultimafilaINDEX + 1, 8) = Entrega
Sheets("INDEX").Cells(ultimafilaINDEX + 1, 9) = NPED
End If
Next cont
End Sub
Saludos.
David