Fibonacci Formel

[Kerby Kolpack]

Tallflgen 1,1,2,3,5,8,13,... er bygd opp ved at hvert tall i flgen er summen av de to foregende tallene i flgen. Tallene i denne flgen kalles fibonaccitallene, og de dukker opp p de merkeligste steder...

Kaniner parer seg nr de er en mned gamle, og etter to mneder kan en hunn fde et nytt par kaniner. Anta n at vre kaniner ikke dr og at hunnene alltid fder et nytt par, en hann og en hunn, hver mned fra sin andre leve-mned.

Generelt vil vi etter hver mned ha alle parene fra forrige mned pluss noen nye par. De nye parene er ett par fra hvert av parene vi hadde to mneder tilbake (de nye parene vi fikk forrige mned fr ikke avkom fr neste mned). For finne ut hvor mange par vi har i slutten av en mned, m vi alts plusse sammen antall par vi hadde p slutten av de to foregende mnedene. Dette gir tallflgen

Et eksempel er honningbier. Hann-honningbier produseres fra dronningbiens ubefruktede egg, s hannene har bare en mor og ingen far. Hunn-biene har bde mor og far. Hvis vi dermed teller forfedrene til en hann-honningbie i hver generasjon fr vi:

For hver generasjon har vi alts to typer forfedre; de kvinnelige som har to foreldre, og alts "deler seg i to", og de mannlige som kun har en mor, og sledes ikke forgrener seg. Den slags oppfrsel modelleres nettopp av fibonaccitallene.

Hvis vi trekker nogenlunde rette horisontale streker mellom delingspunktene (der stilken forgrener seg), som er ca. i samme hyde, vil svrt ofte antall grener mellom disse strekene vre fibonaccitall. Nyserylliken er et slikt eksempel:

La oss n se litt nrmere p noen av alle de matematiske egenskapene til fibonaccitallene. Dem er det nemlig mange av. Det er ogs mange som har studert fibonaccitallene, og noen har funnet flgende mnster blant disse tallene: Hvis vi ser p det siste sifferet i hvert fibonaccitall, fr vi flgen

(Det er mange som bruker 0 som det frste fibonaccitallet.) Det viser seg at nr vi kommer til det 60. tallet i denne flgen av siste sifre, starter den p nytt, og repeteres for hvert 60. tall. Vi sier at det siste sifferet i fibonaccitallene har en sykel av lengde 60. Ser vi p de to siste sifrene (00,01,01,02,03,05,08,13,....), har vi en sykel av lengde 300. For de tre siste sifrene har vi en sykel av lengde 1 500, for fire 15 000, for fem 150 000 osv. Det ser ut til vre et mnster blant mnstrene i fibonaccitallene...

En annen kuriositet om primtall og fibonaccitall er at hvis vi ser p de naturlige tallene som kommer fr og etter et fibonaccitall er disse aldri primtall. Dette gjelder for alle fibonaccitall strre enn 8 (for 8 er naboene 7 og 9, og 7 er et primtall). lete etter primtall er "big business" i dag. I letingen kan vi iallfall utelukke naboene til fibonaccitallene.

Vi har nevnt mnstre som opptrer nr vi ser p de siste sifrene i fibonaccitallene, s vi spr n: Er det noen mnstre i de frste sifrene i fibonaccitallene? Hva er sannsynligheten for at et fibonaccitall begynner med sifferet 1? Hva med 4? Det viser seg at frste siffer i fibonaccitallene oppfrer seg ganske likt som for eksempel frste siffer i antall innbyggere i verdens land: Det mest "populre" sifferet i begge tilfeller er 1, deretter flger 2, helt ned til 9, som er det sifferet som dukker opp frrest ganger som frste siffer. Det er faktisk ca. en tredjedel av verdens land som har et antall innbyggere der frste siffer er 1. Dette er eksempler p samlinger av tall som flger Benfords lov.

Nr vi kaster en terning eller trekker et Lotto-tall er henholdsvis tallene 1-6 og 1-34 like sannsynlige. Her gjelder ingen potenslov. Men i tilfeller som fibonaccitallene, antall innbyggere i verdens byer eller land, strrelsene p verdens innsjer og prisene p aksjer p brsen har vi en potenslov. Fibonaccitallene forholder seg for eksempel til potenser av tallet "det gylne snitt" som ofte betegnes φ (uttales "fi", skrives "phi").

Tanken om "Det gylne snitt" gr tilbake til Pytagoras' tid, da man s p enkelte proporsjoner og forhold som penere enn andre. Tenk deg at vi har en strrelse som deles i to slik at den strste delen forholder seg til den minste slik hele strrelsen forholder seg til den strste delen. Da sier vi at strrelsen er delt etter det gylne snitt. La oss se hva forholdet, det gylne snitt, blir.

Fibonaccitallene dukker ogs opp i Pascals trekant. Pascals trekant er rader med tall som danner en trekant. Trekanten er bygd opp med 1-ere p kantene og der hvert tall innenfor disse er summen av de to tallene i raden over som er p hver side av tallet:

Til slutt tar vi en liten tur tilbake til fibonaccispiralen. P tilsvarende mte som vi lagde denne spiralen ved pusle sammen sirkelbuer der radiene var fibonaccitall, kan vi pusle sammen kvadrater der sidene er fibonaccitall og f rektangler:

Nr vi bygger et nytt rektangel ved legge til et kvadrat, blir den korte siden i rektangelet lik den lengste siden i det forrige rektangelet, og den lange siden blir summen av sidene i de to siste kvadratene vi la til.

Physical equations and useful formulas as quadrature of vector functions, parallel execution,viscosity, compressibility of water, scatteringLengthDensityCalc or sedimentationProfile.Use scipy.constants for physical constants.

Memoize caches results and retrieves from cache if same parameters are used again.This can speedup computation in a model if a part is computed with same parameters several times.During fits it may be faster to calc result for a list and take from cache.See also cache or lru_cache

These methods convolve a scaled window function with the signal.The signal is prepared by introducing reflected copies of the signal (with the window size)at both ends so that transient parts are minimized in the beginning and end part of the output signal.Adapted from SciPy/Cookbook.

The real valued signal is mirrored at left side, Fourier transformed, the high frequencies are cutand the signal is back transformed.This is the simplest form as a hard cutoff frequency is used (ideal low pass filter)and may be improved using a specific window function in frequency domain.

It should be noted that in the references reporting this equation the hydrodynamic radiusfrom DLS measurements is reported to be concentration dependent.This results from ignoring the structure factor effects(see hydrodynamicFunct()) and leads to misinterpretation of the disc radius.

Solvent with composition of H2O and D2O and additional components at temperature T.Ternary solutions allowed. Units are mol; 1l h2o = 55.50843 molBased on data from ULTRASCAN3 [1] supplemented by the viscosity of H2O/D2O mixtures for conc=0.

The prefactor \(p^2/3\) results from the conversion of the \(R_h\) as a sphere with equivalentvolume of the ellipsoid \(R_h=(3V_ellipsoid/4\pi)^1/3\)and \(V_ellipsoid=\frac4\pi3 ab^2 = \frac4pi3 a^3/p^2\) .

Approximate solution to the Lamm equation including the bottom equilibrium distributionwhich is not included in the Faxen solution. This calculates equ. 28 in [1].Results in particle concentration profile between rm and rb for time t with a equal distribution at the start.

Evaluation of the Mittag-Leffler (ML) function with 1 or 2 parameters by means of the OPC algorithm [1].The routine evaluates an approximation Et of the ML function E such that\(E-Et/(1+E) \approx 10^-15\)

The Voigt function is a convolution of gaussian and lorenzian shape peaks for peak analysis.The Lorenzian shows a stronger contribution outside FWHM with a sharper peak.Asymmetry of the shape can be added by a sigmoidal change of the FWHM [2].

Approximate the convolution integral as the discrete, linear convolution of two one-dimensional sequences.Missing values are linear interpolated to have matching steps. Values outside of X ranges are set to zero.

Function average over multiple distributed parameters with weights determined from probability distribution.The probabilities for the parameters are multiplied as weights and a weighted sum is calculatedby Monte-Carlo integration.

Calculation of an average over D multiple distributed parameters by conventional integration requires\(N^D\) function evaluations which is quite time consuming. Monte-Carlo integration at N pointswith random combinations of parameters requires only N evaluations.

Each parameter \(p_i\) is distributed along values \(x^h_i\) with probability \(w_i(x^h_i)\)describing the probability distribution with mean \(p_i\) and sigma \(s_i\).Intervals for a parameter \(p_i\) are choosen to represent the distributionin the interval \([w_i(x^0_i) = e^-4 \ldots \sum_h w_i(x^h_i) = 1-e^-4]\)

During fitting it has to be accounted for the information content of the experimental data.As in the example below it might be better to use a single width for all parameters to reducethe number of redundant parameters.

mean is the value in kwargs[parname]. mean is the expectation value of the distributed variableand sig are the variance as the expectation of the squared deviation from the mean.Distributions may be parametrized differently :

We use the cubature module written by SG Johnson [2] for h-adaptive (recursively partitioning theintegration domain into smaller subdomains) and p-adaptive (Clenshaw-Curtis quadrature,repeatedly doubling the degree of the quadrature rules).This function is a wrapper around the package cubature which can be used also directly.

The function to integrate.The return array needs to be an 2-dim array with the last dimension as vectorized return (=len(fdim))and first along the points of the parnames parameters to integrate.Use numpy functions for array functions to speedup computations. See example.

where the same rule is applied.The value and error in each interval is calculated from 7-point rule and difference to 5-point rule.For higher dimensions only the worst dimension is subdivided [3].This algorithm is best suited for a moderate number of dimensions (say, < 7), and is superseded forhigh-dimensional integrals by other methods (e.g. Monte Carlo variants or sparse grids).

Absolute and relative error to stop.The integration will terminate when either the relative OR the absolute error tolerances are met.abserr=0, which means that it is ignored.The real error is much smaller than this stop criterion.

c80f0f1006