Integral von e-^|x| - kann jemand helfen???

[Christian Lanz]

Ein Freund von mir ist in einer Prüfung wegen des Integrals von e-^|x| (e
hoch minus Betrag von x) durchgefallen. Er konnte das nicht herleiten...
Daraufhin knobelten wir eine ganze Weile, ohne auf die Lösung zu kommen.
Kann vielleicht jemand die Lösung mit Herleitung oder wenigstens einen
Lösungsansatz geben?

Danke

CU Christian Lanz

[rg]

Lieber Christian,

Der Knackpunkt ist (wie so oft - und fast immer wenn ein Betragzeichen
auftritt) die Fallunterscheidung: Wann ist das Argument der Betragsfunktion
(der Term zwischen den |.|) null, wann negativ bzw. positiv? Das ist hier
einfach: Für x>=0 kann man die |.| weglassen.
Für x<0 ist |x| = -x, so dass sich insgesamt ergibt:
e^(-x) für x>=0
f(x) = {
e^x für x<0

Der Graph sieht also link der y-Achse aus wie gewohnt, rechts davon wird e^x
ersetzt durch e^(-x), so dass der Graph links der y-Achse an dieser einfach
gespiegelt wird. Es sollte mit diesen Überlegungen kein Problem sein, das
bestimmte Integral auf dem Intervall [a;b] zu berechnen: ist a<0<b, so kann
man erst von a bis 0 integrieren. Hinzurechnen muss man die Fläche von 0 bis
b, wegen der Symmetrie kann man genausogut noch einmal e^x von -b bis 0
integrieren.

Möchte man aber eine allgemeine Stammfunktion angeben, so ist diese für x<0
F1(x)= e^x + C (wie gewohnt); für x>0 muss man die Stammfunktion F2 zu e^(-x)
so um C' verschieben, dass die sich insgesamt ergebende Funktion bei 0 stetig
ist (also F1(0)=F2(0)). Wenn ich mich nicht irre (Kettenregel) ist
F2(x)=-e^(-x)+C', wegen e^0 = 1 muss C'=C+2 sein, wir erhalten
2 - e^(-x) + C = 2 - e^ -|x| + C für x>=0
F(x) = {
e^x + C = + 2^ -|x| + C für x< 0

Den ersten Teil (bestimmtes Integral) hat dein Freund sicher noch hinbekommen;
um sich klar zu machen, dass die Stammfunktion auch stetig (ohne Sprungstellen
oder Pole) sein muss, wenn man sie verwenden will, braucht es sicher etwas
länger (du kannst dir vorstellen, dass die untere Intervallgrenze a fest
vorgegeben ist, währen b=t mit der Zeit zunimmt. Die zu berechnende Fläche
wird breiter, und da f(x) überall positiv ist auch größer. Und das stetig: es
kann nicht sein, dass mit einem Schlag die Fläche unter der Kurve um einen
größeren Betrag (z.B. 2) anwächst, nur weil man b=t von -0,000001 auf
+0,0000001 erhöht hat.)

Hoffe dir geholfen zu haben
RG

Christian Lanz schrieb:

[Marcus Ohlhaut]

>Kann vielleicht jemand die Lösung mit Herleitung oder wenigstens einen
>Lösungsansatz geben?

Man mache eine Fallunterscheidung:

x>0: Betrachte \int_{x1}^{x2} e^{-x} dx
= [-e^{-x}]_{x1}^{x2}
= -e^{-x2}+e^{-x1}
= e^{-x1}-e^{-x2}

x<=0: Betrachte \int_{x1}^{x2} e^x dx
= [e^x]_{x1}^{x2}
= e^{x2}-e^{x1}

Soll man e^{-x} über einen Bereich integrieren, in dem das Vorzeichen
von x wechselt, integiere man in zwei Teilen und addiere diese.

- Marcus [www.ohlhaut.de,PGP]