Irreguläre Primzahlen (Definition?)
S.Nagele
Im Rahmen meiner Fachbereichsarbeit beschäftige ich mich im Moment mit der
FV und Primzahlen.
So bin ich auf die sogenannten Irregulären Primzahlen (zB 37,59,67)
gestoßen; in meinen Quellen wird nur darauf verwiesen, dass die Erklärung zu
umfangreich wäre, um sie darzulegen.
Ich weiß nur, dass ein Zusammenhang mit der eindeutigen
Primfaktorenzerlegung (un komplexen Zahlen?) besteht.
Kann mir jemand weiterhelfen ?!
lg
stefan
Axel Schmitz-Tewes
S.Nagele schrieb:
> Hallo!
>
> Im Rahmen meiner Fachbereichsarbeit beschäftige ich mich im Moment mit der
> FV und Primzahlen.
>
> So bin ich auf die sogenannten Irregulären Primzahlen (zB 37,59,67)
> gestoßen; in meinen Quellen wird nur darauf verwiesen, dass die Erklärung zu
> umfangreich wäre, um sie darzulegen.
Ein IMHO ausgezeichnetes Buch, was sich mit dem Zusammenhang von regulären
Primzahlen und der Fermatvermutung beschäftigt ist Borevic/Safarevic
Zahlentheorie.
\begin{gerüchteküche}
Ich habe mal vernommen, daß Kummer voller Begeisterung an Dirichlet einen Beweis
der Fermat'schen Vermutung geschickt haben soll, worauf ihm dieser geantwortet
habe, er wisse wohl nicht daß der Ganzzahlring des Kreisteilungskörpers nicht
immer Hauptidealring sei( i.e Klassenzahl 1 habe)
\end{gerüchteküche}
\begin{denksport}
wie hat Kummers Beweis wohl ausgesehen?
\end{denksport}
auf jeden Fall definiert Kummer eine Primzahl p als regulär, wenn Sie nicht die
Klassenzahl von Q(prim. p-te Einheitswurzel) teilt. Kummer gelang die Ableitung
eines einfachen Kriteriums mithilfe der Bernoullizahlen (!).
gruß,
axel
Axel Schmitz-Tewes
> ...Ich weiß nur, dass ein Zusammenhang mit der
> eindeutigenPrimfaktorenzerlegung (un komplexen Zahlen?) besteht.
Um sich ein bißchen im Bereich der algebraischen Zahlen aufhalten
können, ohne
vollständig den Boden zu verlieren.
zwei wichtige Bsp: (finden sich z.B. in Hardy/Wright)
Q(sqrt(-5)) Ganzzahlring : i.d.F. Z[sqrt(-5)]
1) 29 ist nicht prim, denn es ist nicht irreduzibel
29 = (3 + 2 sqrt(-5)) * (3 - 2 sqrt(-5))
aber was noch viel schlimmer (;-) ist....nicht jedes irreduzible
Element ist prim:
2)
6 = 2 * 3 = (1 + sqrt(-5)) (1 - sqrt(-5))
2 ist irreduzibel (!) aber kann nicht prim sein, denn 2 teilt 6 aber
nicht
notwendigerweise einen der Faktoren , denn 1 (+-) sqrt(-5) sind auch
irreduzibel
(!)
=> Z[sqrt(-5)] ist nicht faktoriell.
S.Nagele
Axel Schmitz-Tewes <uzs...@uni-bonn.de> schrieb in im Newsbeitrag:
384CBF08...@uni-bonn.de...
kann man das noch einfacher erklären oder ist das schon ziemlich primitiv ?
Mein Problem ist, dass ich als (noch?) nicht Mathestudent mit diesen ganzen
Begriffen wie Klassenzahlen, irreduzibel und Bernoullizahlen nichts anfangen
kann.
auf jeden fall mal danke
stefan
S.Nagele
einen Maturanten zu sein.
> Um sich ein bißchen im Bereich der algebraischen Zahlen aufhalten
> können, ohne
> vollständig den Boden zu verlieren.
>
> zwei wichtige Bsp: (finden sich z.B. in Hardy/Wright)
>
> Q(sqrt(-5)) Ganzzahlring : i.d.F. Z[sqrt(-5)]
>
> 1) 29 ist nicht prim, denn es ist nicht irreduzibel
29 ist doch prim, oder? und was bedeutet irreduzibel (nicht ableitbar) hier?
>
> 29 = (3 + 2 sqrt(-5)) * (3 - 2 sqrt(-5))
>
> aber was noch viel schlimmer (;-) ist....nicht jedes irreduzible
> Element ist prim:
>
> 2)
> 6 = 2 * 3 = (1 + sqrt(-5)) (1 - sqrt(-5))
>
> 2 ist irreduzibel (!) aber kann nicht prim sein, denn 2 teilt 6 aber
> nicht
> notwendigerweise einen der Faktoren , denn 1 (+-) sqrt(-5) sind auch
> irreduzibel
> (!)
>
> => Z[sqrt(-5)] ist nicht faktoriell.
diesen Terminus kenn ich leider nicht .... und was heißt faktoriell in
diesem Zusammenhang?
Helmut Richter
>Mein Problem ist, dass ich als (noch?) nicht Mathestudent mit diesen ganzen
>Begriffen wie Klassenzahlen, irreduzibel und Bernoullizahlen nichts anfangen
>kann.
>auf jeden fall mal danke
Es gibt zum FV einen netten Artikel von Edit Gyarmati (das 5.Kapitel des
Buches "Große Augenblicke aus der Geschichte der Mathematik" von Róbert
Freud; ein erschwingliches und lohnendes Taschenbuch ISBN 3-411-14471-8).
Der geht ein ganzes Stück in die Tiefe, ohne Algebrakenntnisse
vorauszusetzen. Das dürfte etwa das Niveau sein, mit dem du was anfangen
kannst.
Der Artikel wurde vor dem Beweis von Wiles geschrieben, hält also die FV
für ungelöst. Macht aber nix für die anderen Lösungsansätze.
Helmut Richter
[posted and mailed]
S.Nagele
Helmut Richter <Helmut....@lrz-muenchen.de> schrieb in im Newsbeitrag:
82l4ks$38t$1...@sparcserver.lrz-muenchen.de...
Vielen Dank, ich werd's mir besorgen!!!
stefan
>
>
Axel Schmitz-Tewes
S.Nagele schrieb:
> Ich hätte da noch ein paar Fragen. (Das scheint wirklich zu komplex für
> einen Maturanten zu sein.
>
> > Um sich ein bißchen im Bereich der algebraischen Zahlen aufhalten
> > können, ohne
> > vollständig den Boden zu verlieren.
> >
> > zwei wichtige Bsp: (finden sich z.B. in Hardy/Wright)
> >
> > Q(sqrt(-5)) Ganzzahlring : i.d.F. Z[sqrt(-5)]
> >
> > 1) 29 ist nicht prim, denn es ist nicht irreduzibel
>
> 29 ist doch prim, oder? und was bedeutet irreduzibel (nicht ableitbar) hier?
29 ist prim im Ring der ganzen Zahlen, aber eben nicht mehr, wenn ich sqrt(-5)
adjungiere. Irreduzibel heißt unzerlegbar. Prim heißt ein Element, wenn aus der
Tatsache, daß es ein Produkt von zwei Elementen teilt folgt, daß es schon einen
Faktor teilt, mit p teilt n (in Zeichen p | n ) gdw. n= p* t im Ring gilt.
Teilbarkeits- und Irreduzibilitätseigenschaften untersucht man immer 'bis auf
Einheiten' (i.e einem Element, das im Ring selbst invertierbar ist) Bsp im Ring
der ganzen Zahlen sind die Einheiten 1,-1.29 ist dort irreduzibel, obwohl ich
natürlich schreiben kann 19= (-1)(-29)
> diesen Terminus kenn ich leider nicht .... und was heißt faktoriell in
> diesem Zusammenhang?
faktoriell heißt ein Ring, wenn es in ihm eine [eindeutige] Zerlegung in
Primelemente gibt.
Diese Begriffe sind einfach dem Verhalten der ganzen Zahlen abgekupfert. Die
Klassenzahl ist nicht ganz so naheliegend. Wenn man in Z[sqrt(-5)] noch eine
eindeutige Zerlegung garantieren will, muß man von den Zahlen zu den sogenannten
Idealen übergehen. Die gebrochenen Ideale bilden eine multiplikative abelsche
Gruppe und die Bruchzahlen darin eine Untergruppe. Die Ordnung des Quotienten
ist die Klassenzahl.
... Puh! ... hier ist natürlich schon einiges zu definieren und beweisen.
Die ersten Dinge sind alle elementar, also problemlos auch für einen Maturanten
zu verstehen, vorausgesetzt, man nimmt ein hübsches Lehrbuch, wie z.B.
Hardy/Wright oder Ireland/Rosen oder eben auch Borevic/Safarevic zur Hand und
studiert es soweit.
Ebenso, wie das Rechnen in den ganzen Zahlen nicht vom Himmel fällt, sondern
erst gelernt werden muß, muß man auch hier ein bißchen Arbeit 'reinstecken. Der
Lohn ist eine Erweiterung der Perspektive und vielleicht errät man den falschen
Kummerschen Beweis der Fermatschen Vermutung. ;-)
Es tut mir leid, daß ich keine elegantere Antwort geben kann.
\begin{gerüchteküche}
aber wie schon Euklid zu Ptolemäus gesagt haben soll, es gibt da keinen
Königsweg.
\end{gerüchteküche}
gruß,
axel
Karsten Meyer
> S.Nagele schrieb:
>
> > ...Ich weiß nur, dass ein Zusammenhang mit der
> > eindeutigenPrimfaktorenzerlegung (un komplexen Zahlen?) besteht.
>
> Um sich ein bißchen im Bereich der algebraischen Zahlen aufhalten
> können, ohne
> vollständig den Boden zu verlieren.
>
> zwei wichtige Bsp: (finden sich z.B. in Hardy/Wright)
>
> Q(sqrt(-5)) Ganzzahlring : i.d.F. Z[sqrt(-5)]
>
> 1) 29 ist nicht prim, denn es ist nicht irreduzibel
Wo steht dieser Satz? 29 ist sehr wohl eine Primzahl. Sie besitzt
genau 2 unterschiedliche natürliche Zahlen als Teiler. Nämlich
die 1 und die 29.
>
> 29 = (3 + 2 sqrt(-5)) * (3 - 2 sqrt(-5))
sqrt(-5) ist keine natürliche Zahl, sondern eine irrationale, imaginäre
Zahl und damit komplex.
Das bedeutet, das die 29 im Bereich der Komplexen Zahlen kein Primele-
ment darstellt (möglicherweise).
KOSMO(POLITAN)
Karsten Meyer
> aber was noch viel schlimmer (;-) ist....nicht jedes irreduzible
> Element ist prim:
>
> 2)
> 6 = 2 * 3 = (1 + sqrt(-5)) (1 - sqrt(-5))
>
> 2 ist irreduzibel (!) aber kann nicht prim sein, denn 2 teilt 6 aber
> nicht
> notwendigerweise einen der Faktoren , denn 1 (+-) sqrt(-5) sind auch
> irreduzibel
> (!)
>
> => Z[sqrt(-5)] ist nicht faktoriell.
Mir ist zwar nicht klar, was dieses fragmentarische Geschreibsel
zeigen soll.
Auf jeden Fall ist es eine grundlegende Eigenschaft, daß eine
Primzahl, von einer Zahl höchstens einen der Faktoren Teilen kann
(selbst bei Quadratzahlen).
Ergibt sich aus dem ggT:
p ist Element aus P (Menge der Primzahlen)
n, n1, n2, .. , nn Element aus N (Menge der natürlichen Zahlen)
p | n (p teilt n) => ggT(n,p) = p
n = n1 * n2 * n3 * .. * nn
Da p nicht faktorisierbar ist, kann p nur einer der Faktoren von
n sein.
Also p = n1 oder p = n2 oder ... oder p = nn
KOSMO(POLITAN)
Ernst Jung
>
> S.Nagele schrieb:
> >
> > 29 ist doch prim, oder? und was bedeutet
> > irreduzibel (nicht ableitbar) hier?
> 29 ist prim im Ring der ganzen Zahlen, aber eben nicht mehr,
> wenn ich sqrt(-5) adjungiere. Irreduzibel heißt unzerlegbar.
> Prim heißt ein Element, wenn aus der Tatsache, daß es ein
> Produkt von zwei Elementen teilt folgt, daß es schon einen
> Faktor teilt, mit p teilt n (in Zeichen p | n ) gdw. n= p* t im Ring
> gilt.
> Teilbarkeits- und Irreduzibilitätseigenschaften untersucht man
> immer 'bis auf Einheiten' (i.e einem Element, das im Ring selbst
> invertierbar ist) Bsp im Ring der ganzen Zahlen sind die Einhei-
> ten 1,-1. 29 ist dort irreduzibel, obwohl ich natürlich schreiben
> kann 19= (-1)(-29)
Wird auch - von Faellen wie (Sx,Sy,Sz)=(27,36, 45) abgesehen - von
Irreduzibilitaet bei den nachfolgenden Loesungstripeln der Gleichung
x^2 + y^2 = z^2 gesprochen ?
Sx, Sy, Sz
03, 04, 05 Sx, Sy, Sz
05, 12, 13 15, 08, 17 Sx, Sy, Sz
07, 24, 25 21, 20, 29 35, 12, 37 Sx, Sy, Sz
09, 40, 41 27, 36, 45 45, 28, 53 63, 16, 65
Am linken Rand stehen die Loesungstripel der spez. Gleichung
B. (y-u)^n + y^n = (y+1)^n bzw. x^n+y^n = (y+1)^n bei n = 2.
Sie sind multiplikativ nicht aus dem Loesungstripel der Gleichung
A. (y-u)^2 + y^2 = (y+u)^2 bei u=1 herleitbar bzw. ableitbar, aber sie
koennen auf eindeutige - und von n=1 mal abgesehen - einmalige
Weise auf das "Urloesungstripel (y-1)^2 + y^2 = (y+1)^2 zurueckge-
fuehrt werden. Die Loesungszahlen
- Sx sind die Glieder der Folge f=2*e+1 bei e =1,2,3 usf. und fuer
die Quadrate dieser Sx gilt (Sx)^2 = Sy+Sz. Vergleiche
3^2 = 04 + 05,
5^2 = 12 + 13 = 08+17
7^2 = 24 + 25 = 20+29 = 12+37
9^2 = 40 + 41 = 36+45 = 28+53 = 16+65
Das kleinste Loesungstripel der speziellen Gleichung
C. (y-1)^n + y^n = (y+u)^n bzw. z^n - y^n = (y - 1)^n bei n=2
und ungerader Zahl y lautet (20,21,29), gefolgt von dem Loe-
sungstripel (119,120, 169) bei gerader Zahl y.
Das kleinste Loesungstripel der speziellen Gleichung
B'. (y-u)^n + y^n = (y+2)^n bzw. x^n + y^n = (y+2)^n bei n=2
und ungeraden Zahlen y lautet (8,15,17), gefolgt von dem Loe-
sungstripel (12,35,37) am rechten Rand der o.a. Anordnung.
Die Gleichung A. (y-u)^n + (y+u)^n ist fuer natuerliche Hochzahlen
n > 2 in nat. Zahlen x = y-u > 0, y > x, z=y+u unloesbar schon bei
u = 1und daher ist nach meinen Ueberlegungen zur FV die allge-
meine Fermatgleichung (y-u)^n + y^n = (y+v)^n bzw. x^n + y^n = z^n
in natuerlichen Zahlen unloesbar. Bei der - zwar absurden - Annahme
der Loesbarkeit zum Beispiel von x^3+y^3=z^3 muesste es eine eindeu-
tige "Reduzibilitaet" = Reduzierbarkeit der dann unendlich vielen Loe-
sungstripel auf ein kleinstmoegliches bzw. "UR"-Loesungstripel der
"Anfangsgleichung" (y-1)^3 + y^3 = (y+1)^3 geben.
Vielen Dank im voraus fuer die o.a. Frage und
fuer eventuelle logisch haltbare Argumente zur
Widerlegung meiner Ausfuehrungen zur FV
und wie immer mit freundlichen Gruessen
Ernst
Christian Schneider
>
> Ein IMHO ausgezeichnetes Buch, was sich mit dem Zusammenhang von regulären
> Primzahlen und der Fermatvermutung beschäftigt ist Borevic/Safarevic
> Zahlentheorie.
Stimmt. Leider ist es schon seit Ewigkeiten vergriffen. Hat jemand eine
Idee, wo ich das noch herkriegen koennte? (Hier in der Bib ist es
vorhanden, aber ich brauche ein eigenes Exemplar)
--
Christian Schneider
csch...@informatik.uni-essen.de
Axel Schmitz-Tewes
> Stimmt. Leider ist es schon seit Ewigkeiten vergriffen. Hat jemand eine Idee,
> wo ich das noch herkriegen koennte? (Hier in der Bib ist es
> vorhanden, aber ich brauche ein eigenes Exemplar)
Im Notfall kann man sich doch für den eigenen Bedarf 'Ausschnitte'
kopieren ?
:-)
gruß,
axel
Axel Schmitz-Tewes
Ernst Jung schrieb:
> ...
> > Teilbarkeits- und Irreduzibilitätseigenschaften untersucht man
> > immer 'bis auf Einheiten' (i.e einem Element, das im Ring selbst
> > invertierbar ist) Bsp im Ring der ganzen Zahlen sind die Einhei-
> > ten 1,-1. 29 ist dort irreduzibel, obwohl ich natürlich schreiben
> > kann 19= (-1)(-29)
hmh 29 .. = (-1)(-29).
> Wird auch - von Faellen wie (Sx,Sy,Sz)=(27,36, 45) abgesehen - von
> Irreduzibilitaet bei den nachfolgenden Loesungstripeln der Gleichung
> x^2 + y^2 = z^2 gesprochen ?
Hallo Ernst,
> Sx, Sy, Sz
> 03, 04, 05 Sx, Sy, Sz
> 05, 12, 13 15, 08, 17 Sx, Sy, Sz
> 07, 24, 25 21, 20, 29 35, 12, 37 Sx, Sy, Sz
> 09, 40, 41 27, 36, 45 45, 28, 53 63, 16, 65
>
> Am linken Rand stehen die Loesungstripel der spez. Gleichung
>
> B. (y-u)^n + y^n = (y+1)^n bzw. x^n+y^n = (y+1)^n bei n = 2.
>
> Sie sind multiplikativ nicht aus dem Loesungstripel der Gleichung
>
> A. (y-u)^2 + y^2 = (y+u)^2 bei u=1 herleitbar bzw. ableitbar,
x^2 + y^2 = (y+1)^2 läßt sich sofort umformen zu
x^2 = 2 y +1
alle ungeraden Quadratzahlen führen also zu einer Lösung und die kann man
ja leicht berechnen.
> aber sie
>
> koennen auf eindeutige - und von n=1 mal abgesehen - einmalige
>
> Weise auf das "Urloesungstripel (y-1)^2 + y^2 = (y+1)^2 zurueckge-
>
> fuehrt werden. Die Loesungszahlen
>
> - Sx sind die Glieder der Folge f=2*e+1 bei e =1,2,3 usf. und fuer
> die Quadrate dieser Sx gilt (Sx)^2 = Sy+Sz. Vergleiche
> 3^2 = 04 + 05,
> 5^2 = 12 + 13 = 08+17
> 7^2 = 24 + 25 = 20+29 = 12+37
> 9^2 = 40 + 41 = 36+45 = 28+53 = 16+65
diese Eigenschaft ist sehr hübsch und beruht auf der folgenden
Parametrisierung pythagoräischer Tripel:
Schreibe x^2+y^2=z^2 (mit x,y,z teilerfremd )so um, daß
x^2 = z^2 -y^2 = (z-y)(z+y) mit nur oBdA x gerade (!)
nun müssen z-y und z+y gerade sein und (z-y)/2 und (z+y)/2 teilerfremd und
damit Quadrate(!)
seien u=sqrt((z-y)/2) und v=sqrt((z+y)/2) , dann gilt offensichtlich:
x= 2* u*v , u^2 + v^2 = z und u^2 - v^2 = - y
das ist eine bekannte Parametrisierung dieser Tripel mit teilerfremden u,v.
Es ist eine Verallgemeinerung des in der Schule bewiesen Satzes über die
Unlösbarkeit der
diophantischen Gleichung
x^2 - 2 * y^2 = 0 , gleichbedeutend mit der Irrationalität sqrt(2). Fermat
ist wohl AFAIK mit ähnlichen Methoden an die Gleichungen
x^n + y^n = z^n für n=3,4 erfolgreich herangegangen. Er nannte sein
Verfahren 'descente infinie'.
Ich habe 'mal eine Ankündigung einer Schrift: Goldstein/Schappacher "The
history of Infinite Descent" gesehen, aber leider nicht mehr mitgekriegt,
ob und wenn, wann sie veröffentlicht wurde. Die wäre in diesem Zusammenhang
vielleicht von Interesse.
es scheint:
alle Wege führen zu Fermat? :-)
gruß,
axel
Ernst Jung
zunaechst vielen Dank fuer Deine Re, wenngleich mir nicht klar ge-
worden ist, ob alle Loesungstripel einer spez. Gleichung wie z.B.,
x^2+y^2=(y+1)^2 , die keine Vielfachen von kleineren (*) Loesungs-
tripeln derselben Gleichung sind, zutreffend (?) als "irreduzibel"
bezeichnet werden
Axel Schmitz-Tewes schrieb
> Ernst Jung schrieb:
>> die Loesungstripel der Gleichung (y-u)^n + y^n = (y+1)^n
>> bzw. x^n+y^n = (y+1)^n bei n = 2 sind multiplikativ nicht
>> aus dem Loesungstripel der Glg. (y-u)^2 + y^2 = (y+u)^2
>> bei u=1 herleitbar bzw. ableitbar,
> x^2 + y^2 = (y+1)^2 läßt sich sofort umformen zu x^2 = 2 y +1
> alle ungeraden Quadratzahlen führen also zu einer Lösung
> und die kann man ja leicht berechnen.
Es ging mir nicht darum, sondern um die Loesbarkeit der Mittel-
gleichung (y-u)^n + y^n = (y+u)^n schon bei u=1 als notwendige,
jedoch nur bei n=1und n=2 erfuellte Bedingung fuer die Loesbar-
keit der Gl. (y-u)^n + y^n = (y+1)^n bzw. x^n+y^n=(y+1)^n und da-
mit der bei jedem n unendlich vielen spez. Gleichungen bzw. der
Gleichung vom Typ x^n+y^n=z^n.
Was den Beweis der Unloesbarkeit von (y-u)^n+y^n=(y+u)^n
betrifft, verweise ich auf meine Re: Frage zu Primzahlen / FLT=FV
vom 9.12.99. Vielleicht bist Du so freundlich, diesen "Beweis" als
richtig zu bestaetigen und Dir dann die Anordnung Ds und Dd
- aller moeglichen Differenzen zwischen nat. Zahlen x^3 < y^3 < z^3
- der "letzten" konstanten Differenzen > 0 zwischen y^3 und (y+1)^3
anzusehen. Die Anordnung Ds enthaelt alle regressiv und progressiv
ab z^3 = (y+1)^3 aufsummierten Differenzen Dx=(y+1)^n - y^n und
die Anordnung Dd in der 1.Differenzenzeile die 7, 19, 37, 61, 91 usf.
und in der 2. Differenzenzeile die Differenzen 12, 18, 24, 30 usf.
und in der 3. Differenzenzeile die konstante Differenz 6=3!=n!
Behauptung: Fuer eine Differenz Dx=(y+1)^n - y^n
in der 1. Differenzenzeile beider Differenzenanordnungen gilt
- bei bewiesener Unloesbarkeit von (y-u)^n+y^n=(y+u)^n fuer n > 2
- bei "letzten Differenzen n! in der n.ten Diff.-Zeile von Dd, n > 2
notwendigerweise Dx=/=x^n und damit Dy=/=y^n, d.h. die Gleichung
x^n+y^n=(y+1)^n ist bei n > 2 unloesbar und damit auch die allgem.
Gleichung x^n+y^n=z^n.
Obwohl Laie=Nichtmathematiker - oder gerade deswegen - bin ich
der Ansicht, dass das sog. grosse Fermatsche Problem keines ist,
zumindest kein grosses. Man braucht sich nur die Differenzen
Dy=(y+u)^n - (y-u)^n in den Spalten mit y^n im Spaltenkopf der je-
weiligen Anordnung Ds anzusehen, um sich der Unloesbarkeit der
jeweiligen Gleichung x^n+y^n=z^n gewiss zu werden. Fuer diese
Differenzen Dy gilt naemlich Dy=/=y^n im Spaltenkopf, was bei un-
geraden y^n im Spaltenkopf und stets geraden Differenzen Dy auch
ohne Beweis der Unloesbarkeit der Mittelgleichung gewiss ist.
> Fermat ist wohl AFAIK mit ähnlichen Methoden an die Glei-
> chungen x^n + y^n = z^n für n=3,4 erfolgreich herangegangen.
> Er nannte sein Verfahren 'descente infinie'.
Seine angebliche "wunderbare Loesung" konnte er jedoch auf die-
sem wahrlich "unendlichen Abstieg" nicht finden. Nun argumentiere
ich mal wie viele in de.sci.math., d.h. haette er sie nach dieser Metho-
de gefunden, dann haette die Suche nach dem "Gral" nicht Jahrhun-
derte gedauert bzw. dann haette bereits Euler diesen gefunden. Ist
A. Wiles der Beweis der FV etwa nach dieser Methode gelungen?
Fermat hat m.E. erkannt, dass man auf dem "unendlichen Abstieg"
zu keinem kleinstmoeglichen Loesungstripel gelangen kann, d.h. zu
dem Loesungstripel x = y -1, y, y+1 von (y-u)^n+y^n=(y+u)^n bei u=1
wie nach 1+1=2 bei n=1 also 1+2=3 und bei n=2 also 3^2+4^2=5^2.
Alle bislang diesbezueglich befragten Mathematiker waren der
Ansicht, dass man bei Unloesbarkeit von (y-u)^n+y^n=(y+u)^n bei
u=1 die Loesbarkeit fuer u > 1 nicht ausschliessen koenne. Erst als
ich den o.a. "Beweis" der Unloesbarkeit von (y-u)^n+y^n=(y+u)^n
fuer alle natuerlichen Zahlen u > 0 und n > 2 vorlegte, haben einige
Interessierte erkannt, dass diese Gleichung unloesbar sein muss,
wenn sie bei u=1 unloesbar ist. Die meisten interessierten sich erst
gar nicht dafuer, weil es sich um eine spezielle Gleichung unter un-
endlich vielen bei jeder Hochzahl n handelt und man bei ihrer Unloes-
barkeit die Loesbarkeit anderer spezieller Gleichungen bzw. der allg.
Gleichung x^3+y^3=z^3 oder x^4+y^4=4 oder x^5+y^5=z^5 usf. nicht
ausschliessen koenne.
Nun ist aber (y+u)^n+y^n=(y+u)^n nicht irgendeine beliebige spez.
Gleichung, sondern die mit y=(x+z)/2 bei x = y-u und y+u=z .
Die nat. Zahlen beginnen mit der 1und das kleinste Loesungstripel
von x+y=z lautet (1,1,2) und das kleinste bei x=/=y lautet (1,2,3) und
ist das der Mittelgleichung. Das kleinstmoegliche Loesungstripel bei
n=2 lautet (3,4,5). Einigen musste ich noch klar machen, dass die
Mittelgleichung bei jedem u eine und nur eine Loesung haben kann.
Auch Mathematiker erkannten nicht auf Anhieb, dass alle weiteren
Loesungstripel der Mittelgleichung bei u > 1 Vielfache von (1,2,3) bei
n=1 und von (3,4,5) bei n=2 sein muessen und dass es auch bei n=3
ebenso sein muesste, waere (y+1)^3+y^3=(y+1)^3 loesbar.
Ausserdem kommen den anfaenglichen nat. Zahlen besondere
Eigenschaften zu, z.B. n+n=n*n=n^n oder n^(n+n)=(n+n)^n nur bei
n=2. Diese sind zwar jedermann bekannt oder einleuchtend, beduer-
fen aber nach Ansicht der Mathematiker eines Beweises, obwohl sie
nach erfolgtem Beweis diesen Besonderheiten / Einmaligkeiten allem
Anschein nach keine Bedeutung fuer die Unloesbarkeit der Fermat-
gleichung x^n+y^n=z^n fuer n > 2 beimessen, sondern auf den Prim-
zahlen rumreiten, obwohl diese fuer den Beweis der FV keine Rolle
spielen. Damit bestreite ich keineswegs eine "tieferliegende" Bedeu-
tung insbesondere der Primzahlen in y=4x+1 wie 5, 13, 17 usf. fuer
die Loesbarkeit von x^n+y^n=z^n fuer n=2 und die Unloesbarkeit der
Gleichung vom Typ x^n+y^n=z^n fuer n>2.
Dies reicht vorerst, bei eventuellem Interesse mehr,
insbesondere zu Deiner abschliessenden Bemerkung
> Es scheint: alle Wege führen zu Fermat? :-)
Mit freundlichen Grüßen
Ernst
--------
(*) Ob ein Loesungstripel kleiner als ein anderes ist, ergibt
sich aus der Summe der 3 Loesungszahlen wie z.B.
3+04+05 = 12 = 3+3^2
5+12+13 = 30 = 5+5^2
7+24+25 = 56 = 7+7^2
9+40+41 = 90 = 9+9^2
oder zum Beispiel bei Loesungstripeln von x^2+y^2=(y+2)^2
08+15+17 = 40 = 5*08 = 2*4*5
12+35+37 = 84 = 7*12 = 2*5*7
16+63+65 =144 = 9*16 = 2*8*9
oder zum Beispiel bei den Loesungstripeln von (y-1)^2+y^2=z^2
003+004+005 = 12 = 2 * 006 = 2 * 03 * 04
020+021+029 = 70 = 2 * 035 = 2 * 05 * 07
119+120+169 = 408 = 2 * 204 = 2 * 12 * 17
696+697+985 = 2378 = 2 * 1189 = 2 * 29 * 41
Wo ich schon so viele Beispiele auffuehre, sei im Hinblick auf
die vermutliche Unloesbarkeit von (u+u^2)/2=v^n in nat. Zahlen
u,v > 1 fuer nat. Hochzahlen n > 2 auf die Quadratzahlen > 1
in der Summenfolge der nat. Zahlen bzw. auf die fuer n=1 und
n=2 loesbaren nachfolgenden beiden Gleichungen hingewiesen
(2*x*y)(x+1)^n = Z^n = gerade Quadratzahlen bei n=2
(x^n+y^n)(x^n+y^n)=Z^n = ung. Quadratz. > 1 bei n=2
6^2 = 1+2+...+ 07 + 08 = (02^2) * ( 1 + 2)^2 = ( 2 *3 )^2
35^2= 1+2+...+ 48 + 49 = (05^2) * ( 3 + 4)^2 = ( 5 * 7)^2
204^2 = 1+2+...+ 287 + 288 = (12^2) * ( 8 + 9)^2 = (12*17)^2
1189^2 = 1+2+...+1680 +1681= (29^2) * (20+21)^2 = (29*41)^2
Es gibt unendlich viele Zahlen, die wie 6=1+2+3=2+4 Glieder der
Summenfolge der natuerlichen als auch der geraden Zahlen sind
und deren Doppelt wie 12=3*4 wiederum Glieder der Summenfol-
ge der geraden Zahlen sind. Vergleiche
210=1+2+...+ 19+ 20 = 2+4+...+ 26+ 28 und 420= 20* 21
7140=1+2+...+118+119 = 2+4+...+166+168 und 14280=119*120
Unter diesen unendlich vielen Zahlen ist die Zahl 6 die einzige ge-
rade vollkommene Zahl.
Axel Schmitz-Tewes
Ernst Jung schrieb:
> ..., wenngleich mir nicht klar ge-
> worden ist, ob alle Loesungstripel einer spez. Gleichung wie z.B.,
> x^2+y^2=(y+1)^2 , die keine Vielfachen von kleineren (*) Loesungs-
> tripeln derselben Gleichung sind, zutreffend (?) als "irreduzibel"
> bezeichnet werden
das habe ich leider nicht erklärt. Man faßt x^2 + y^2 -z^2 =0 als homogen
auf, und die Lösungstripel (x:y:z) als homogene Koordinaten. Multiplizieren
mit einer Konstanten wird als dasselbe Tripel aufgefaßt.
> ...sondern um die Loesbarkeit der Mittel-
> gleichung (y-u)^n + y^n = (y+u)^n schon bei u=1 als notwendige,
> jedoch nur bei n=1und n=2 erfuellte Bedingung fuer die Loesbar-
> keit der Gl. (y-u)^n + y^n = (y+1)^n bzw. x^n+y^n=(y+1)^n und da-
> mit der bei jedem n unendlich vielen spez. Gleichungen bzw. der
> Gleichung vom Typ x^n+y^n=z^n.
tut mir leid. Die Gleichung (y-1)^2 + y^2 =(y+1)^2 führt notwendig zum
Tripel (3:4:5) als eintige Lösung. Inwieweit dies Lösung 'notwendig' ist für
die Lösungen von x^2 + y^2 = (y+1)^2 für x!= y-1 habe ich nicht verstanden.
Meine Hinweise sollten Dich lediglich über ein paar historische Versuche zur
Lösung informieren.
BTW Die Gleichung (y-u)^2 +y^2 = (y+u)^2 liefert keine weiteren Tripel
(3:4:5) i.e. alle bis auf eine Lösung sind unsymmetrisch !
so daß ich hier schon denke, daß die (Un)lösbarkeit dieser symmetrischen
Gleichung 'fast' nichts aussagt über ((Un))lösbarkeit der allgemeinen
Gleichung.
> Was den Beweis der Unloesbarkeit von (y-u)^n+y^n=(y+u)^n
> betrifft, verweise ich auf meine Re: Frage zu Primzahlen / FLT=FV
> vom 9.12.99. Vielleicht bist Du so freundlich, diesen "Beweis" als
> richtig zu bestaetigen
siehe zweites Posting.
> > Fermat ist wohl AFAIK mit ähnlichen Methoden an die Glei-
> > chungen x^n + y^n = z^n für n=3,4 erfolgreich herangegangen.
> > Er nannte sein Verfahren 'descente infinie'.
>
> Seine angebliche "wunderbare Loesung" konnte er jedoch auf die-
> sem wahrlich "unendlichen Abstieg" nicht finden.
man vermutet sowieso, daß er von seiner wahrhaft wunderbaren Lösung in
späteren Jahren nicht mehr soviel gehalten hat!
> Nun argumentiere
> ich mal wie viele in de.sci.math., d.h. haette er sie nach dieser Metho-
> de gefunden, dann haette die Suche nach dem "Gral" nicht Jahrhun-
> derte gedauert bzw. dann haette bereits Euler diesen gefunden.
ein gutes Argument ;-)
> Ist
> A. Wiles der Beweis der FV etwa nach dieser Methode gelungen?
nö!
> Fermat hat m.E. erkannt, dass man auf dem "unendlichen Abstieg"
> zu keinem kleinstmoeglichen Loesungstripel gelangen kann, d.h. zu
> dem Loesungstripel x = y -1, y, y+1 von (y-u)^n+y^n=(y+u)^n bei u=1
> wie nach 1+1=2 bei n=1 also 1+2=3 und bei n=2 also 3^2+4^2=5^2.
> Alle bislang diesbezueglich befragten Mathematiker waren der
> Ansicht, dass man bei Unloesbarkeit von (y-u)^n+y^n=(y+u)^n bei
> u=1 die Loesbarkeit fuer u > 1 nicht ausschliessen koenne. Erst als
> ich den o.a. "Beweis" der Unloesbarkeit von (y-u)^n+y^n=(y+u)^n
> fuer alle natuerlichen Zahlen u > 0 und n > 2 vorlegte, haben einige
> Interessierte erkannt, dass diese Gleichung unloesbar sein muss,
> wenn sie bei u=1 unloesbar ist. Die meisten interessierten sich erst
> gar nicht dafuer, weil es sich um eine spezielle Gleichung unter un-
> endlich vielen bei jeder Hochzahl n handelt und man bei ihrer Unloes-
> barkeit die Loesbarkeit anderer spezieller Gleichungen bzw. der allg.
> Gleichung x^3+y^3=z^3 oder x^4+y^4=4 oder x^5+y^5=z^5 usf. nicht
> ausschliessen koenne.
Es gibt in der Mathematik zwei weit verbreitete Stereotypen (natürlich nicht
in reiner Form ;-)), der eine beschäftigt sich gerne mit speziellen
Eigenschaften von Objekten, der andere mit allgemeinen. Je nachdem, an wen
man gerät, erhält man die eine oder andere Antwort. Beide scheinen mir
richtig.
> Nun ist aber (y+u)^n+y^n=(y+u)^n nicht irgendeine beliebige spez.
> Gleichung,
s.o.
> sondern die mit y=(x+z)/2 bei x = y-u und y+u=z .
> Die nat. Zahlen beginnen mit der 1und das kleinste Loesungstripel
> von x+y=z lautet (1,1,2) und das kleinste bei x=/=y lautet (1,2,3) und
> ist das der Mittelgleichung. Das kleinstmoegliche Loesungstripel bei
> n=2 lautet (3,4,5).
es ist auch das einzige! (modulo gemeinsamer Faktoren)
> Dies reicht vorerst, bei eventuellem Interesse mehr,
> insbesondere zu Deiner abschliessenden Bemerkung
> > Es scheint: alle Wege führen zu Fermat? :-)
Diese Bemerkung war nicht so ganz ernst gemeint. Ich frage mich nur
häufiger, ob diese Gleichung an sich so ein Interesse hervorrufen würde,
wenn nicht über die Jahrhunderte von einigen hartnäckigen Mathematikern
versucht worden wäre, sie zu lösen. BTW kann ich natürlich gut verstehen,
daß man sich in ein so 'offensichtlich' _einfaches_ Problem festbeißen
kann.
gruß,
axel
Axel Schmitz-Tewes
> (*) Ob ein Loesungstripel kleiner als ein anderes ist, ergibt
> sich aus der Summe der 3 Loesungszahlen wie z.B.
> 3+04+05 = 12 = 3+3^2
> 5+12+13 = 30 = 5+5^2
> 7+24+25 = 56 = 7+7^2
> 9+40+41 = 90 = 9+9^2
> oder zum Beispiel bei Loesungstripeln von x^2+y^2=(y+2)^2
> 08+15+17 = 40 = 5*08 = 2*4*5
> 12+35+37 = 84 = 7*12 = 2*5*7
> 16+63+65 =144 = 9*16 = 2*8*9
> oder zum Beispiel bei den Loesungstripeln von (y-1)^2+y^2=z^2
> 003+004+005 = 12 = 2 * 006 = 2 * 03 * 04
> 020+021+029 = 70 = 2 * 035 = 2 * 05 * 07
> 119+120+169 = 408 = 2 * 204 = 2 * 12 * 17
> 696+697+985 = 2378 = 2 * 1189 = 2 * 29 * 41
kann es sein, daß Du etwas anderes als ich unter 'Vielfaches' einer
Lösung verstehst?
Edgar Fuß
Man muß sich halt damit abfinden, daß es Ringe gibt, in denen es keine
Zerlegung in Primzahlen (bzw. keine eindeutige Zerlegung in irreduzible
Faktoren) gibt. Genau das wurde Dir vorgeführt.
Nochmal stichpunktartig:
p heißt prim, wenn aus p | ab folgt p | a oder p | b.
p heißt irreduzibel, wenn aus p=xy folgt, daß x oder y eine Einheit ist (also
ein multiplikatives Inverses besitzt).
Man kann in jedem Ring ein Element als Produkt irreduzibler Faktoren schreiben,
nur gibt es Ringe, wo diese Zerlegung noch nicht einmal bis auf Reihenfolge und
Einheiten eindeutig ist (wie bei den natürlichen Zahlen). Es kommt ebenfalls
vor, daß man ein Element nicht als Produkt von Primelementen ausdrücken kann.
Mann kann zeigen, daß beide Eigenschaften zusammenfallen und nennt deshalb
einen Ring (genauer gesagt, einen Integritätsbereich, aber das schlampen wir
mal) faktoriell, wenn die folgenden äquivalenten Aussagen erfüllt sind:
1. Jedes irreduzible Element ist prim (prime Elemente sind immer irreduzibel).
2. Die Zerlegung in irreduzible Elemente ist eindeutig (bis auf s.o.).
3. Jedes Element ist Produkt von Primelementen.
Sei z eine Wurzel von -5; dann ist Z[z] nicht faktoriell, denn:
1. 1+z ist irreduzibel, aber nicht prim: 1+z|2*3 ((1+z)(1-z)=6=2*3), aber
keinen der Faktoren (das kann man, ebenso wie die Irreduzibilität, mit der Norm
beweisen, aber das lenkt vom Thema ab).
2. (1+z)(1-z)=2*3 (2 und 3 sind irreduzibel).
3. 1+z ist kein Produkt von Primelementen (es ist irreduzibel, also nicht als
echtes Produkt ausdrückbar, aber selber nicht prim).
Also: Es ist komplizierter, als die natürlichen Zahlen vermuten lassen.
Edgar Fuß
Man sollte hier schon mit präziseren Definitionen als ,,hat genau zwei Teiler``
hantieren. Aber das wurde ja alles genau vorgeführt, man muß es nur nachlesen.
In einem Körper hat es wenig Sinn, Irreduzibilität zu untersuchen.
Ernst Jung
> Ernst Jung schrieb:
>> (*) Ob ein Loesungstripel kleiner als ein anderes ist, ergibt
>> sich aus der Summe der 3 Loesungszahlen wie z.B.
>> 3 + 04 + 05 = 12 = 3 + 3^2
>> 5 + 12 + 13 = 30 = 5 + 5^2
>> 7 + 24 + 25 = 56 = 7 + 7^2
>> 9 + 40 + 41 = 90 = 9 + 9^2
>> oder zum Beispiel bei ....
> kann es sein, daß Du etwas anderes als ich
> unter 'Vielfaches' einer Lösung verstehst?
Unter den Vielfachen einer Loesung verstehe ich die vielfachen
Loesungstripel der "einfachen" Loesungstripel wie beispielsweise
einfaches vielfache Loesungstripel
(03,04,05) (06, 08, 10), (09, 12, 15) usf.
(05,12,13) (10, 24, 26), (15, 36, 39) usf.
(07,24,25) (14, 48, 50), (21, 72, 75) usf.
(09,40,41) (18, 80, 82), (27, 120, 123) usf.
Die Loesungstripel am linken Rand sind die der Gleichung
(y-u)^2 + y^2 = (y+1)^2 bzw. der Gleichung x^2+y^2=(y+1)^2,
also bei geraden Zahlen y
einfaches vielfache Loesungstripel
(08,15,17) (16, 30, 34), (24, 45, 51) usf.
(12,35,37) (24, 70, 74), (36, 105, 111) usf.
(16,63,65) (32, 126, 130), (48, 189, 195) usf.
Die Loesungstripel am linken Rand sind die der Gleichung
(y-u)^2 + y^2 = (y+2)^2 bzw. der Gleichung x^2+y^2=(y+2)^2,
also bei ungeraden Zahlen y
einfaches vielfache Loesungstripel
(003, 004, 005) (6, 8, 10), (9, 12, 15) s.o.
(020, 021, 029) (40, 42, 58), (60, 63, 97) usf.
(119, 120, 169) (238, 240, 338), (357, 360, 507) usf.
(696, 697, 985) (1392, 1394,1970), (2088, 2091, 2955) usf.
Die Loesungstripel am linken Rand sind die der Gleichung
(y-1)^2 + y^2 = (y+u)^2 bzw. der Gleichung z^2 - y^2 = (y-1)^2,
also bei abwechselnd geraden / ungeraden Zahlen y.
Leider bist Du nicht auf den Zusammenhang zwischen diesen
einfachen Loesungstripeln von (y-1)^2 + y^2 = (y+u)^2 und den
ungeraden Quadratzahlen > 1 in der Summenfolge der nat. Zah-
len bzw. den Zahlen Z^2 = (x^2+y^2)(x+y)^2 eingegangen, zumal
Du doch auf den Beweis hingewiesen hast, dass sich die natuerli-
chen Zahlen 1,2,3 usf. nicht zu nat. Kuben > 1 aufsummieren und
die Gleichung Z^3=(x^3+y^3)(x+y)^3 eigentlich schon von L. Euler
als in natuerlichen Zahlen unloesbar bewiesen worden ist.
Gerade darauf bezieht sich doch u.a. die Behauptung:
Das sinnvolle Zaehlen 1,2,3 usf. / Zusammenzaehlen 1,3,6 usf.
schliesst die Loesbarkeit von x^n+y^n=z^n fuer n > 2 aus bzw.
die Loesbarkeit von x+y=z und x^2+y^2=z^2 in nat. Zahlen x,y,z
hat die Unloesbarkeit der Glg. x^n+y^n=z^n fuer n >2 zur logisch
unabdingbaren Voraussetzung.
Es muss also einen einfacheren Beweis der Unloesbarkeit der G.
(u+u^2)/2=v^3 in nat. Zahlen u,v > 1 geben als den ueber die qua-
dratische Erweiterung der rat. Zahlen und "elliptische Kurven".
Mit freundlichen Gruessen
Ernst
Axel Schmitz-Tewes
Ernst Jung schrieb:
> ...Unter den Vielfachen einer Loesung verstehe ich die vielfachen
> Loesungstripel der "einfachen" Loesungstripel wie beispielsweise
>
> einfaches vielfache Loesungstripel
>
> (03,04,05) (06, 08, 10), (09, 12, 15) usf.
ok. so habe ich das auch verstanden.
Karsten Meyer
>Deine naive Vorstellung von ,,prim`` versagt außerhalb der natürlichen Zahlen.
>Man muß sich halt damit abfinden, daß es Ringe gibt, in denen es keine
>Zerlegung in Primzahlen (bzw. keine eindeutige Zerlegung in irreduzible
>Faktoren) gibt. Genau das wurde Dir vorgeführt.
>
>Nochmal stichpunktartig:
>
>p heißt prim, wenn aus p | ab folgt p | a oder p | b.
>
>Sei z eine Wurzel von -5; dann ist Z[z] nicht faktoriell, denn:
>
>1. 1+z ist irreduzibel, aber nicht prim: 1+z|2*3 ((1+z)(1-z)=6=2*3), aber
>keinen der Faktoren (das kann man, ebenso wie die Irreduzibilität, mit der Norm
>beweisen, aber das lenkt vom Thema ab).
>
>2. (1+z)(1-z)=2*3 (2 und 3 sind irreduzibel).
Sehr schön. Aber weder ist 2 = 1+z oder 2 = 1-z, noch ist 3 = 1+z
oder 3 = 1-z. Da werden Äpfel mit Orangen verglichen
Axel schreibt:
A> 2)
A> 6 = 2 * 3 = (1 + sqrt(-5)) (1 - sqrt(-5))
A>
A> 2 ist irreduzibel (!) aber kann nicht prim sein, denn 2 teilt 6 aber
A> nicht notwendigerweise einen der Faktoren , denn 1 (+-) sqrt(-5) sind
A> auch irreduzibel
2 kann nicht prim sein, denn 2 teilt 6, aber nicht notwendiger Weise einen
der Faktoren. So schreibt es Axel.
Aber 2 | 6 und 2 | 2, und 2 ist einer der beiden Faktoren von 6.
Sonst könnte ich mit der gleichen Logik folgende Gleichungen aufstellen:
1) 6 = 2 * 3 = 14/5 * 15/7
2) 6 = 2 * 3 = (sqrt(7) - 1) * (sqrt(7) + 1)
2 kann nicht prim sein, denn 2 teilt 6 aber nicht notwendiger Weise einen
der Faktoren. Würde dann genauso stimmen, tut es aber nicht.
So kann ich alles beweisen. Das ist sehr einfach. Nur weil das Ergebnis
zweier Multiplikationen gleich ist, haben diese Multiplikationen noch
nichts miteinander zu tun.
KOSMO(POLITAN)
3. 1+z ist kein Produkt von Primelementen (es ist irreduzibel, also nicht als
echtes Produkt ausdrückbar, aber selber nicht prim).
Also: Es ist komplizierter, als die natürlichen Zahlen vermuten lassen.
Empfaenger : /MAUS/Maus.Wissenschaft.Mathematik
Absender : uzs59g @ uni-bonn.de (Axel Schmitz-Tewes)
Betreff : Irreguläre Primzahlen (Definition?)
Datum : Di 07.12.99, 13:42 (erhalten: 08.12.99)
Groesse : 1088 Bytes
----------------------------------------------------------------------
Von : uzs...@uni-bonn.de (Di, 07.12.99 13:42)
Name: Axel Schmitz-Tewes
Box : RHRZ - University of Bonn (Germany)
Wg. : Irreguläre Primzahlen (Definition?)
MId : <384D00D0...@uni-bonn.de>
RId : <82hd1j$qs3$1...@news.netway.at>
Gate: UseNet Gateway @ BB
S.Nagele schrieb:
> ...Ich weiß nur, dass ein Zusammenhang mit der
> eindeutigenPrimfaktorenzerlegung (un komplexen Zahlen?) besteht.
Um sich ein bißchen im Bereich der algebraischen Zahlen aufhalten
können, ohne
vollständig den Boden zu verlieren.
zwei wichtige Bsp: (finden sich z.B. in Hardy/Wright)
Q(sqrt(-5)) Ganzzahlring : i.d.F. Z[sqrt(-5)]
1) 29 ist nicht prim, denn es ist nicht irreduzibel
29 = (3 + 2 sqrt(-5)) * (3 - 2 sqrt(-5))
aber was noch viel schlimmer (;-) ist....nicht jedes irreduzible
Element ist prim:
(!)