Anzahl der einfachen gewurzelten gerichteten Graphen bis auf Isomorphie?

[Jack Muller]

In "The number of linear, directed, rooted, and connected graphs"
betrachtet Harary unter anderem den Fall der gewurzelten ungerichteten
Graphen und den Fall der (ungewurzelten) gerichteten Graphen. Ich
glaube, dass sich jemand inzwischen den Fall der gewurzelten gerichteten
Graphen anschaute und eine gute obere Schranke berechnete; bisher fand
ich aber keine Referenz. Könnte jemand helfen? Wir betrachten hier nur
einfache Graphen, d.h. ohne Mehrfachkanten und Selbstschleifen (also mit
einer binären Adjazenzmatrix mit Nulldiagonale). Zwei Graphen werden als
gleich angesehen, wenn es eine Bijektion zwischen den Knoten gibt, die
Wurzel auf Wurzel abbildet und die eine Kantenmenge in die andere
bijektiv überführt.

Hier kommt die Formalisierung der Frage:

Im Folgenden sei ein gewurzelter Graph ein Tripel (𝑉,𝐸,𝑟), wobei 𝑉
eine Menge ist, 𝐸⊆𝑉×𝑉 und 𝑟∈𝑉. We nennen so einen gewurzelten
Graphen einfach, wenn ∀𝑥∈𝑉:(𝑥,𝑥)∉𝐸.

Wir nennen gewurzelte Graphen (𝑉,𝐸,𝑟) und (𝑉̅,𝐸̅,𝑟̅) isomorph,
wenn eine Bijektion 𝑏:𝑉↪𝑉̅ mit 𝑏(𝑟)=𝑟̅ und
𝐸̅={(𝑏(𝑥),𝑏(𝑥′))|(𝑥,𝑥′)∈𝐸} existiert.

Gesucht ist eine gute obere Schranke in geschlossener Form für die
maximale Anzahl paarweise nichtisomorpher einfacher gewurzelter Graphen
mit 𝑛 Knoten (𝑛∈ℕ₊). Idealerweise sollte die obere Schranke elementar
mittels Potenzbildung, Fakultätsfunktion, Multiplikation, Addition,
Binomialkoeffizienten, Multinomialkoeffizienten, Division und
Subtraktion (in dieser Priorität) ausdrückbar sein.

Literaturverweise sind willkommen.