Null space
Marco Hahn
Moin allerseits,
ich bin in einem englischen Text über den Begriff "null space" gestolpert; der
Zusammenhang ist: M: Matrix, v: Vektor und dann folgende Aussage: "N is the
pseudoinverse of M and v is in the null space of M, that is, Mv = 0." (Wobei
die 0 nicht als Nullvektor gedruckt ist.)
Wie lautet nun die deutsche Übersetzung dieses Begriffes? Nullraum? Falls ja:
Wo ist der Unterschied zum Kern?
Marco, zu 100% nur Informatiker ;-)
(PGP erwünscht)
Oliver Bonten
MH>Wie lautet nun die deutsche Übersetzung dieses Begriffes? Nullraum?
MH>Falls ja: Wo ist der Unterschied zum Kern?
1., ja. 2., lineare Abbildungen haben einen Kern. Den kann man ausrechnen,
indem man den Nullraum der zugeordneten Matrix ausrechnet.
Hälsningar ob
Edgar Fuss
Bei uns sagen die angewandten ,,Nullraum`` und die reinen ,,Kern``.
Ruediger Pfeilsticker
Marco...@sl.maus.de (Marco Hahn) schrieb ...
>Wo ist der Unterschied zum Kern?
Soweit ich informiert bin: _kein_ Unterschied !
Rudi
--
!!! Happiness=\int_{birth}^{death}|Life|dt
RaineR Beck
Hall00000000 .... :-)
Der Nullraum.
" Die nur aus dem Nullvektor bestehende Teilmenge {0} eines
Vektorraumes X ist ein Unterraum von X; und zwar ist {0}
offenbar der kleinste Unterraum von X. Man nennt ihn den
NULLRAUM."
Kowalsky, H.J. : Einführung in die Lineare Algebra, S. 1,
" Im trivialen Fall, daß (der Vektorraum, die Red.) V nur aus einem
Element, das heist nur aus der Null besteht, wird V auch als Null-
raum bezeichnet und V = {0} geschrieben."
Koecher, M. : Lineare Algebra und Analytische Geometrie, S. 3
Der Kern.
Sind V und W Vektorräume und f:V -->W eine lineare Abbildung,
dann besteht der "Kern von f" aus genau denjenigen Vektoren
von V, die durch die Abbildung f auf den Nullvektor in W abge-
bildet werden.
Beschreibt man f durch eine Matrix, dann sind dieselben Vektoren
natürlich der Kern dieser Matrix.
DArüber sind wir uns wohl einig, deswg. keine Quellenangabe.
Kern=Nullraum ?
Genau dann der Fall, wenn f nur einzig und allein den Nullvektor
aus V auf den aus W abbildet.
Beschreibt man f duech eine Matrix A, so ist Kern(A) = {0} genau
dann, wenn die Mtrix A regulär ist, weil dann das Lineare Gleichungs-
system Ax = 0 eindeutig lösbar ist, und da es immer den Nullvektor
als Lösung hat.
DArüber sind wir uns wohl einig, deswg. keine Quellenangabe.
Der übliche Einzeiler :-) von E.F. ist also nicht so ohne weitereres
in Ordnung, es sei denn, die 'Angewandten' und die 'Reinen' wissen,
das sie etwas verschiedenes meinen oder es ist ihnen Wurst.
DAmit ist natürlich nicht gesagt ob Nullspace dasselbe wie Nullraum
ist, aber das ist vermutlich so, den die Amis sagen ja auch
Kindergarden zum Kindergarten und Eigenvalue zum Eigenwert :-)
Gruß von
RaineR
RaineR Beck
> " Die nur aus dem Nullvektor bestehende Teilmenge {0} eines
> Vektorraumes X ist ein Unterraum von X; und zwar ist {0}
> offenbar der kleinste Unterraum von X. Man nennt ihn den
> NULLRAUM."
Kowalsky, H.J. : Einführung in die Lineare Algebra, S. 30
natürlich, und nicht seite 1.
RaineR Beck
Naja, jeder kann sich seine eigenen Sprchregelungen schaffen, aber
ob das gut ist ?
Gruß RaineR
Marco Hahn
Moin Oliver,
d. h. der Kern einer Abbildung entspricht dem Nullraum der zugeordneten Matrix?
Spreche ich von Abbildungen, so verwende ich "Kern", spreche ich von Matrizen,
so verwende ich "Nullraum", richtig?
Marco, zu 100%
Oliver Bonten
MH>d. h. der Kern einer Abbildung entspricht dem Nullraum der
MH>zugeordneten Matrix?
Bezüglich der entsprechenden Basis, ja.
MH>Spreche ich von Abbildungen, so verwende ich "Kern", spreche ich von
MH>Matrizen, so verwende ich "Nullraum", richtig?
Das wird unter Mathematikern nicht immer so sauber getrennt, aber IMO macht es
Sinn, diese Unterscheidung gedanklich und sprachlich zu machen.
Man muß natürlich aufpassen, daß man beides "von rechts" oder "von links"
macht.
Hälsningar ob
Oliver Bonten
RB>Man nennt ihn den NULLRAUM.
Ja, und? Du verwechselst den "Nullraum" mit dem "Nullraum einer Matrix". Das
sind a priori zwei verschiedene Begriffe. Im englischen: "zero space" bzw.
"null space". Solche begrifflichen Mehrdeutigkeiten gibt es öfter, und manchmal
ist es notwendig, auf alle Relativsätze und Adjektive genau zu achten, wenn man
wissen will, was mit einem Begriff gemeint ist.
Ich würde nie auf die Idee kommen, {0} "Nullraum" zu nennen, allenfalls
"Nullvektorraum".
RB>Beschreibt man f durch eine Matrix, dann sind dieselben Vektoren
RB>natürlich der Kern dieser Matrix. DArüber sind wir uns wohl einig,
RB>deswg. keine Quellenangabe.
Was ist der "Kern einer Matrix"? Bitte definiere diesen Begriff, aber ohne die
lineare Abbildung, der sie zugeordnet ist, zu verwenden. Wenn Du das schaffst,
ohne Dich im Voraus auf Zeilen- oder Spaltenkonvention festzulegen, werde ich
staunen.
RB>Der übliche Einzeiler :-) von E.F. ist also nicht so ohne weitereres
RB>in Ordnung,
Hm, doch, er ist.
Hälsningar ob
Michael Hoppe
OB>Den kann man ausrechnen, indem man den Nullraum der zugeordneten
OB>Matrix ausrechnet.
Und wo ist dann der Unterschied zw. Nullraum und Kern?
Vielleicht bei lin. Abb. zwischen unendlich-dimensionalen
Vektorräumen? Ich kenne ,,Nullraum`` nur von Bi- bzw.
Sesquilinearformen <.,.> her; dieser besteht aus allen Vektoren v,
für die <v,v> = 0 ist.
Michael
RaineR Beck
Fortsetzung Nullraum
Fazit : Deutsch : Nullraum ist per Definition nicht dasselbe
wie Kern
(nur in spezialfällen bestehen beide nur
einem einzigen Vektor und der ist der Null-
vektor)
English : Nullspace ist per Definition dasselbe wie
der Kern und für das, was in deutschen Texten
der nur aus dem Nullvektor bestehende Teil-
raum ist nämlich {0} gibt's keinen sprach-
lichen Begriff sondern nur das nicht als
Vektor geschriebene Symbol O
(zumindest in Deinem Text).
(Meine Vermutung: eigenvalue=Eigenwert=>nullspace=Nullraum ist falsch)
Im "Mehrsprachenwörterbuch Mathematischer Begriffe" von
Herbert Meschkowski ist "nullspace" nicht aufgeführt und die
andere Richtung, " Nullraum = ..." habe ich nicht fotokopiert :-)
In "Perturbation Theory for Linear Operators" von T.Kato,
New York 1966, S.16, findet man dieselbe Definition wie in
Deinem Text:
" .. it is called the *kernel* or *null space* of T ... ".
Andere englische Bücher dazu hab' ich hier grad nicht zur
Hand.Vielleicht kann ja mal jemand in ein englischsprachiges
Buch zur Linearen Algebra schauen, ob in englischen Texten
tatsächlich immer per Definition nullspace=kern(el) ist oder
ob der Begriff mal so oder mal so benutzt wird.
Gruß von
RaineR
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"Ich verstehe nicht, was Sie mit 'Glocke' meinen", sagte Alice.
Goggenmoggel lächelte verächtlich. "Wie solltest Du auch- ich muß
es Dir doch zuerst sagen. Ich meinte: 'Wenn das kein einmalig
schlagender Beweis ist!' "
"Aber 'Glocke' heißt doch garnicht ein 'einmalig schlagender
Beweis' ", wandte alice ein.
"Wenn ICH ein wort gebrauche", sagte Goggenmoggel in recht hochmütigem
Ton, "dann heißt es genau, was ich für richtig halte, nicht mehr und
nicht weniger."
"Es fragt sich nur", sagte Alice, "ob man Wörter einfach etwas anderes
heißen lassen kann."
"Es fragt sich nur", sagte Goggenmoggel,"wer der Stärkere ist, weiter
nichts."
Aus 'Alice im Wunderland' oder 'Alice hinter den Spiegeln' von
L. Carrol, zitiert nach Paul Watzlawick: Menschliche Kommunikation,
S.83.
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RaineR Beck
Fortsetzung Nullraum
hgeißen lassen kann."
RaineR Beck
Moin, moin ...
erst jetzt sehe ich (RaineR) die Originalfragestellung in der News-
group, da geht wohl was durcheinander
> Zusammenhang ist: M: Matrix, v: Vektor und dann folgende Aussage: "N is the
> pseudoinverse of M and v is in the null space of M, that is, Mv = 0." (Wobei
> die 0 nicht als Nullvektor gedruckt ist.)
> Wo ist der Unterschied zum Kern?
betrachteten Vektorraums
Und der Kern ist derjenige Teilraum von V, der durch die lineare
Abbildung f:V--->W auf den Nullvektor in W abgebildet wird.
Wenn V und W endliche Dimension haben, kannst Du in beiden Räumen
eine Basis wählen un dann die Abbildung f durch eine Matrix A
beschreiben.
DAnn ist der Nullraum immer noch derselbe, der Kern auch, aber
jetzt kann man sagen : der Kern besteht aus allen vektoren x aus
V die durch die Matrix (also die Matrix-Vektormultipli-
kation Ax) auf den Nullvektor aus W abgebildet werden.
D.H. nichts anderes als :
Diese vektoren (also der Kern von A) sind Lösungsvektoren des
Gleichungssystems Ax=0 , und hier ist 0 der Nullvektor.
Diese Vektoren bestehen aus dem Nullvektor (denn A0=0) und u.U.
weiteren vektoren, nämlich dann, wenn A nicht regulär ist, dann
ist der Kern von A nicht identisch mit dem Nullraum.
Ist A aber regulär, dann erfüllt nur der Nullvektor (also x=0)
die Gleichung Ax=0 sodaß in diesem Fall der Kern von A und der
Nullraum identisch sind.
Wenn Du dein eigenes Zitat aus dem text...
> .. and v is in the null space of M, that is, Mv = 0."
... genau anschaust, dann siehst Du, daß dort die Definition
des "Nullspace" enthalten ist. Diese Formulierung impliziert, daß
der Verfasser den 'null space' versteht als die Menge aller Vektore
die durch die Matrix M auf den Nullvektor abgebildet werden.
Wäre für den Verfasser 'nullspace' dasselbe wie der 'deutsche Null-
raum', dann würde dort stehen
" ... and v is in the null space of M, that is, v = 0."
Demnach ist hier Nullspace etwas anderes als der "deutsche Nullraum",
null space ist hier dasselbe wie der Kern und zwar per Definition.
>(Wobei die 0 nicht als Nullvektor gedruckt ist.)
der "deutsche Nullraum" selbst gemeint also etwa O={0}, da sind die
Autoren manchmal etwas lax in der Schreibweise weil ja im "deutschen
Nullraum" eh' nur der Nullvektor enthalten ist.
Fortsetzung folgt
Marco Hahn
Moin Oliver und alle anderen "Informanten" ;-),
danke, dann hab ich's jetzt verstanden. Waren meine LA-Kenntnisse doch nicht so
schlecht, wie ich befürchtet hatte. Mit Matrizen hatte mein LA-Prof eh kaum was
am Hut, daher kannte ich Nullraum wohl nicht. (Oder es lag an meinem äußerst
ausgeruhtem Zustand regelmäßig nach der Vorlesung ...)
Marco, zu 100%
(PGP erwünscht)
Ruediger Pfeilsticker
rb...@stud.uni-frankfurt.de (RaineR Beck) schrieb ...
>Naja, jeder kann sich seine eigenen Sprchregelungen schaffen, aber
>ob das gut ist ?
In England haben einige eben nullspace gesagt und andere kernel.
Und das waren alle angewandte, daher gehe ich mal von keinem
Unterschied aus. (Es sei den natuerlich in dem betreffenden Buch
wrden die Begriffe definiert.)
Christian Heyd
Hallo Marco,
MH>ich bin in einem englischen Text über den Begriff "null space"
MH>gestolpert;
....
MH>Wie lautet nun die deutsche Übersetzung dieses Begriffes? Nullraum?
MH>Falls ja: Wo ist der Unterschied zum Kern?
Nullraum stimmt.+
Unterschied zum Kern: Ich unterstelle mal, daß Kern auf englisch kernel heißt
(ich habe nämlich vieles aus dem US-Lehrbuch Sigler, Algebra, gelernt). Dann
gilt: Der Kern eines Morphismus enthält nur dann alleine den Nullvektor, wenn
es sich um eine Momomorphismus handelt.
Momomorphismus: Die Abbildung des einen Vektorraumes / Körpers / ... in die
andere algebraische Struktur stellt eine injektive (!) Funktion dar. M.a.W.:
One-to-one Correspondence. Andernfalls (Epimorphismus, surjektive Abbildung)
kann der Kernel mehrere Elemente (Nullvektor sowie andere Vektoren) enthalten.
Im Falle eines Isomorphismus (Momo- sowie gleichzeitig Epimorphismus) natürlich
wiederum nur den Nullvektor.
Der m.E. fundamentale Unterschied zwischen Nullraum und Kern besteht darin: Für
die Definition des Nullraums (explizit durch {Nullvektor} oder implizit z.B.
als Linearkombination über die leere Indexmenge) braucht man weder eine
funktionale Abbildung noch irgendeine "Übertragung" der algebraischen Struktur
(Vektorraumaxiome, z.B. Distributivität) explizit zu garantieren. Schließlich
sind alle Vektorraumaxiome offensichtlilch v.v. erfüllt (alternative Prüfung
auf Unterraum somit natürlich auch ok.).
Bin mal gespannt, was "Erfahrenere" dazu schreiben. Bis dann,
Gruß, Christian
Florian Baumann
Ola Christian,
CH>Unterschied zum Kern: Ich unterstelle mal, daß Kern auf englisch
CH>kernel heißt
Ich kenne es als core, aber es ist durchaus möglich, daß kernel
ebenfalls geläufig ist.
Flups
--
Die 482. Erwerbsregel: Gravity is a bitch!
Oliver Bonten
MH>Und wo ist dann der Unterschied zw. Nullraum und Kern?
Es ist ein formaler Unterschied. Nicht jeder endlichdimensionale Vektorraum
besteht aus Spalten bzw. Zeilen. ;-)
MH>Ich kenne ,,Nullraum`` nur von Bi- bzw. Sesquilinearformen <.,.> her;
MH>dieser besteht aus allen Vektoren v, für die <v,v> = 0 ist.
Die Menge der isotropen Vektoren? Das ist i.a. kein Vektorraum, z.B. sind für
die durch die Matrix
[-1 0 ]
[ 0 1 ]
definierte Bilinearform die Vektoren [ 1, 1 ] und [ -1, 1 ] isotrop, für deren
Summe v=[ 0, 2 ] ist aber Q(v)=4, und das ist in allen Körpern nicht 0, deren
Charakteristik ungerade ist.
Hingegen sind die sogenannten Radikale, die Mengen der Vektoren, die auf allen
anderen Vektoren senkrecht stehen, Vektorräume.
Hälsningar ob
Edgar Fuss
Ich kann nur wiederholen, daß die angewandten Mathematiker hier ,,Nullraum``
statt ,,Kern`` zu sagen pflegen, was wohl ein Anglizismus ist. Sie schreiben
auch N(T) und R(T) statt kern(T) bzw. im(T) oder bild(T).
Oliver Bonten
FB>Ich kenne es als core, aber es ist durchaus möglich, daß kernel
FB>ebenfalls geläufig ist.
Nein, ein core ist, was Maple hin und wieder auf Deiner Festplatte hinterläßt.
Hälsningar ob
Marco Hahn
Moin Ruediger,
RP>(Es sei den natuerlich in dem betreffenden Buch wrden die Begriffe
definiert.)
es ist nur ein Artikel in einem Journal, ohne jegliche Definition (zumindest
in dem Bereich).
Edgar Fuss
``core'' hab' ich noch nie gehört oder gelesen.
Klaus-Dieter Spang
Kommentar zu A39068@BB in der Gruppe MATHEMATIK
OB>FB>Ich kenne es als core, aber es ist durchaus möglich, daß kernel
OB>FB>ebenfalls geläufig ist.
OB>
OB>Nein, ein core ist, was Maple hin und wieder auf Deiner Festplatte
OB>hinterläßt.
Nein, das ist kein 'core', sondern ein 'dump'.
Klaus
Thomas Richard
Hallo Oliver,
>Nein, ein core ist, was Maple hin und wieder auf Deiner Festplatte
hinterläßt.
Nanu? Bug-Report an Waterloo...
MfG
Richie
Florian Baumann
Hallo Oliver,
OB>Nein, ein core ist, was Maple hin und wieder auf Deiner Festplatte
OB>hinterläßt.
1. Ich habe kein Maple!
2. Hinterlässt es nichts auf meiner Festplatte!
Flups
--
Die 477. Erwerbsregel: Schlechte Künstler machen Anleihen, gute Künstler
stehlen! (Igor Stravinski)
Ruediger Pfeilsticker
Marco...@sl.maus.de (Marco Hahn) schrieb ...
>es ist nur ein Artikel in einem Journal, ohne jegliche Definition (zumindest
>in dem Bereich).
Naja, so eine kleine Definition ist da schon drin...
(aus Deinem ersten Posting)
>der Zusammenhang ist: M: Matrix, v: Vektor und dann folgende Aussage: "N is
>the pseudoinverse of M and v is in the null space of M, that is, Mv = 0."
>(Wobei die 0 nicht als Nullvektor gedruckt ist.)
Da M eine Matrix ist, und v einen Vektor bezeichnet, kann 0 nur der
Nullvektor sein. Da von Pseudoinversen die Rede ist, ist M vermutlich
eine nicht quadratische Matrix. v ist nun im "null-space" von M
wenn Mv=0 gilt. Der Sachverhalt an sich ist also einigermassen
klar. Ob man die Menge derartiger v nun mit Kern (kenne ich in erster
Linie von quadratischen Matrizen) oder als Null-Raum bezeichnet
ist Geschmacks Sache.
Das wichtigste bei derartigen Uebersetzungen ist ohnehin die Konsequenz
mit der man Bezeichnungen durchhaelt und eine gewisse Vertraeglichkeit
mit den deutschen Fachtermini. In meiner Diplomarbeit ist auch
recht haeufig der Begriff 'spaerlich besetzte Matrix' zu lesen,
wobei mich mein Betreuer dann darauf aufmerksam machte, dass sich
im deutschen Sprachraum de Begriff 'duenn besetzt' doch einer gewissen
Popularitaet erfreut ;-)
Man kann und sollte ab und zu ruhig mal ein wenig laxer und intuitiver
sein.
Thomas Richard
Hallo Oliver,
>Nö, können die nix für, wenn man sich mehr Memory krallen möchte, als es gibt.
>Ob sie dann exit() oder abort() aufrufen, oder einfach abstürzen, kann dem
>Anwender ziemlich egal sein.
O.k., das ist natürlich was anderes.
>Meine diesbezüglichen Erfahrungen sind allerdings Jahre alt und mit einer
>älteren Version.
Da hat es in der Tat drastische Verbesserungen mit der Speicherverwaltung
gegeben. Wenn ein wenig Nostalgie erlaubt ist: Ich habe mir im Februar 91
Release 5.0 (für DOS) geholt; bei der wurde einmal belegter Speicherplatz
überhaupt nicht wieder freigegeben. ;-)
MfG
Richie