Einersystem
Holger Herzog
Hallo,
aus gegebenem Anlaß frage ich mal bei Euch nach:
Gibt es das 'Einersystem'?
Ausgangspunkt war der 80.000 Anrufer in unserer Maus. Der gleiche Anrufer
hatte schon bei der Nummer 77.777 in der Maus angerufen und wurde wegen
der Eigenschaft dieser Zahl als Schnapszahl zu einer Runde beim Maustreff
verdonnert. Als er dann kurze Zeit später wieder als Jubiläumsanrufer in
die Geschichte einging, freute er sich zunächst darüber, daß 80.000 keine
Schnapszahl sei.
Doch weit gefehlt, denn in vielen Zahlensystemen ist 80.000 ja eine
Schnapszahl. Nun wurde darüber gerätselt, wieviele Schnapszahlen es für
80.000 gibt. Ich glaube, es waren 19, sofern man das 'Einersystem' nicht
mitrechnet.
Man kann Zahlen nun ja auch durch nur eine Ziffer darstellen. Der Betrag
der Zahl entspricht dabei der Anzahl ihrer Ziffern. In einem solchem
System wären alle Zahlen logischerweise Schnapszahlen.
Meine Frage: Wird dieses System als 'Einersystem' bezeichnet?
Dieses System unterscheidet sich ja grundlegend von den anderen Systemen,
die da als 'Zweier'-, 'Dreier'-, 'Vierersystem' usw. bezeichnet sind.
In allen diesen Systemen gibt es eine Ziffer, die 'Nichts' ausdrückt
(nämlich die null), im o.g. Einersystem aber nicht. Daher kann in den
anderen Systemen die gleiche Zahl in beliebiger Länge dargestellt werden,
im 'Einersystem' aber nicht. Dieses 'Einersystem' benötigt meiner Meinung
nach also doch eine weitere Ziffer, eine Art null. Nur daß diese Null eben
nicht geschrieben wird, ein 'Blank' sozusagen.
Wer weiß weiter?
Holger
Johannes Grimm
Hi Holger!
HH>Man kann Zahlen nun ja auch durch nur eine Ziffer darstellen. Der
HH>Betrag der Zahl entspricht dabei der Anzahl ihrer Ziffern. In einem
HH>solchem System wären alle Zahlen logischerweise Schnapszahlen.
3452436756489 kann ich nicht durch *eine* Ziffer darstellen, denn die
Anzahl der Ziffern ist ja 13, und das sind *zwei* Ziffern ;-)
Nun kann ich allerdings 13 wiederum durch eine Ziffer darstellen, nämlich
die 2. Wenn ich das aber konsequent anwende, muß ich die 2 wiederum durch
die 1 darstellen, so daß letztendlich *alle* Zahlen durch 1
repräsentierbar wären.
Ist das in deinem Sinne?
Gruß....
Johannes
Edgar Fuss
Gibt's nicht.
josef kunz
hallo Holger
> Gibt es das 'Einersystem'?
> Wer weiß weiter?
in r. remmert 'elementare zahlentheorie' wird bei der einführung der g-
adischen darstellungen von natürlichen zahlen ausdrücklich g>=2 gefordert.
manches der dann entwickelten theorie lässt sich auf ein einersystem
übertragen.
da man solche darstellungen einführt, um das praktische rechnnen zu
erleichtern gibt es doch gravierende probleme.
beispiele
- du kennst sicher die neuner und elfer-probe, bei der man anhand der
quersumme bzw der alternierenden quersumme aussagen über fehler bei einer
rechnung machen kann. allgemein gibt es im g-adischen systen (g-1) und
(g+1) probe. im einersystem macht aber die g-1 probe keinen sinn.
- auf eine sinnvolle (oder zumindest gewohnte) darstellung von
dezimalbrüchen wird man im 1- adischen system verzichten müssen.
gruss
josef
Holger Herzog
Hallo Johannes,
JG> Ist das in deinem Sinne?
Ich meinte es eigentlich so:
1 = |
2 = ||
3 = |||
4 = ||||
...
20 = ||||||||||||||||||||
Viele Grüße,
Holger
Holger Herzog
Hallo Edgar,
EF> Gibt's nicht.
Oh danke! Endlich ist jemand meiner Meinung :)
Holger
Marcus Ohlhaut
>Ist das in deinem Sinne?
5 --> 11111
10 --> 1111111111
etc.
- Marcus
Christian Sorg
Hallo Holger!
HH>Man kann Zahlen nun ja auch durch nur eine Ziffer darstellen. Der
HH>Betrag der Zahl entspricht dabei der Anzahl ihrer Ziffern. In
HH>einem solchem System wären alle Zahlen logischerweise
HH>Schnapszahlen.
HH>Meine Frage: Wird dieses System als 'Einersystem' bezeichnet?
Weiß ich nicht!
HH>Dieses System unterscheidet sich ja grundlegend von den anderen
HH>Systemen, die da als 'Zweier'-, 'Dreier'-, 'Vierersystem' usw.
HH>bezeichnet sind.
Genau! Computertechnisch betrachtet: Eine Zahl besteht in jedem
Zahlensystem (in meinem trüben Zahlenverständniss!) aus unendlich(!)
vielen Stellen. Um diesen Stellen eine Zahleninformation mitzugeben werden
die einzelnen Stellen auf unterschiedliche Zustände gesetzt:
1 0 1 0 0 1 1 0 1 "Zwei"er-System
2 6 5 9 7 3 4 5 2 "Zehn"er-System
4 A 5 D F A 5 6 B "16"er-System
In der praktischen Verwendung werden (siehe Beispiel) führende Stellen mit
dem Zustand "0" beim Schreiben einfach weggelassen.
aus dem Ganzen folgere ich: die Zahl im Namen das Systems bezeichnet die
Anzahl der Zustände, die eine Stelle einnehmen kann.
Jeder merkt: Ein "Einer"-System ist unmöglich, da sich mit einem möglichen
Zustand keine Informationen speichern lassen.
Du versuchst, aus dieser Klemme zu kommen, indem du die Zahl der Stellen
nicht als unendlich ansiehst, sondern die Zahl der Stellen als Information
interpretierst
Da Dein "Einersystem" nicht die (meine ;-)) Vorraussetzung eines
Zahlensystems (s.o.) erfüllt, ist es auch keins.
Aber es ist (zugegebenermaßen) doch zur Informationsweitergabe geeignet.
Deshalb würde ich "Holger'sches System" dazu sagen.
Bisher waren's nur Vermutungen.....
HH>Wer weiß weiter?
....aber eins weiß ich sicher: Dein System wird in der Praxis schon seit
ein paar Jährchen angewandt: Kleine Kinder zeigen auf Anfrage ihr Alter
per Finger. What's the difference???
Ciao, ___
Chrischan ------o------
_GLIDING !_
Wolfgang Houben
Korschenbroich Dienstag, 20.08.96 um 08:49
Holger Herzog Holger...@zw.maus.de meinte am 18.08.96
unter der Rubrik /MAUS/MATHE
zum Thema _Einersystem_
Hallo _Holger_ und alle anderen die es interessiert,
HH> In allen diesen Systemen gibt es eine Ziffer, die 'Nichts' ausdrückt
HH> (nämlich die null), im o.g. Einersystem aber nicht. Daher kann in den
HH> anderen Systemen die gleiche Zahl in beliebiger Länge dargestellt werden,
HH> im 'Einersystem' aber nicht. Dieses 'Einersystem' benötigt meiner Meinung
HH> nach also doch eine weitere Ziffer, eine Art null. Nur daß diese Null
HH> eben nicht geschrieben wird, ein 'Blank' sozusagen.
dürfte verwandt sein mit der römischen Zahlendarstellung.
I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, usw..........
Mit freundlichen Grüßen Castor.
--338
Cas...@NewsWire.de Die Welt wurde von Narren geschaffen, damit Weise in ihr
Cas...@Nature.gun.de leben. (Oskar Wilde)
## CrossPoint v3.11 R ##
Werner Stein
Holger Herzog wrote:
>
> Hallo Edgar,
>
> EF> Gibt's nicht.
> Oh danke! Endlich ist jemand meiner Meinung :)
Wie sonst will man zwei Zahlen voneinander trennen?
Oder versuche mal einer mit dem "Einersystem" 20 Zahlen
hintereinander aufzuschreiben.
Werner
--
Werner Stein, Universitaet Kaiserslautern
AG Algorithmisches Lernen
Centre for Learning Systems and Applications
st...@informatik.uni-kl.de
http://www-agrw.informatik.uni-kl.de/
René Scholz
On Wed, 21 Aug 1996 12:30:59 +0200, Werner Stein <st...@informatik.uni-kl.de> wrote:
>Holger Herzog wrote:
>>
>> Hallo Edgar,
>>
>> EF> Gibt's nicht.
>stimt
>> Oh danke! Endlich ist jemand meiner Meinung :)
>Ein Zahlensystem muss aus mindestens zwei Symbolen bestehen.
>Wie sonst will man zwei Zahlen voneinander trennen?
>Oder versuche mal einer mit dem "Einersystem" 20 Zahlen
>hintereinander aufzuschreiben.
Erinnert mich an ein Programm für Turingmaschinen. Dort kann man
Zahlen am einfachsten in diesem Einersystem darstellen, das heißt
dann unäre Kodierung:
0000110111110
wären dann eine 2, gefolgt von einer 5.
Damit kann man dann gut rechnen.
PS: s.a. <http://isun04.inf.uni-jena.de/~mrz/pub/perl/perl.html>
dort liegt ein Simulator einer Turingmaschine in Perl, der
einige Rechenungen mit unären Zahlen macht.
--
=> Wenn Debuggen der Vorgang ist, Fehler aus einem Programm auszubauen, <=
=> dann ist Programmieren der Vorgang, Fehler in ein Programm einzubauen ! <=
.-------------------------------------------------------------------------.
| email: m...@informatik.uni-jena.de rene....@minet.uni-jena.de |
| URL: http://www2.informatik.uni-jena.de/~mrz/ Voland@IRC |
`-------------------------------------------------------------------------'
Holger Herzog
Hallo Christian,
CS> In der praktischen Verwendung werden (siehe Beispiel) führende Stellen
mit
CS> dem Zustand "0" beim Schreiben einfach weggelassen.
Die Argumentation der Gegenpartei:
Es ist umgegkehrt. Man beginnt mit einer Ziffer und zählt diese dann
solange hoch, bis alle Ziffern durchgezählt sind. Dann geht man auf zwei
Ziffern über usw.
Bei normaler Zählweise in jedem System ist eine Zahl mit führenden Nullen
nicht erlaubt. Dies ist nur eine Erweiterung, die aber nichts mit den
Natürlichen Zahlen zu tun hat.
(So meinte die Gegenpartei)
CS> Aber es ist (zugegebenermaßen) doch zur Informationsweitergabe
geeignet.
CS> Deshalb würde ich "Holger'sches System" dazu sagen.
HILFE! Das System war nicht meine Erfindung! Ich bin eher der Meinung, daß
dieses System *nicht* 'Einersystem' heißt, sondern 'Joachim'sches System'.
:)
Viele Grüße,
Holger
Werner Stein
René Scholz wrote:
> Erinnert mich an ein Programm für Turingmaschinen. Dort kann man
> Zahlen am einfachsten in diesem Einersystem darstellen, das heißt
> dann unäre Kodierung:
>
> 0000110111110
>
> wären dann eine 2, gefolgt von einer 5.
> Damit kann man dann gut rechnen.
Deine Turingmaschine arbeitet BINAER. Das Alphabet einer TM MUSS (nach
def.) mind. zwei
Zeichen enthalten. Die Kodierung einer Zahl erfolgt mit ZWEI Zeichen die
BNF fuer
Zahlen in diesem System ist {1}0, also eine bestimmte Anzahl von Einsen
gefolgt von
einer Null. Die letzte Null gehoert zu der Zahl, sonst koennte die TM
nicht
erkennen wo die Zahl aufhoert!
Dein Zahlensystem ist also binaer, deien Codierung der Zahlen ist nur
uniaer.
Das ist einkleiner aber feiner Unterschied!
>
> PS: s.a. <http://isun04.inf.uni-jena.de/~mrz/pub/perl/perl.html>
> dort liegt ein Simulator einer Turingmaschine in Perl, der
> einige Rechenungen mit unären Zahlen macht.
>
> --
>
--
Werner Stein
Wolfgang Houben wrote:
> Holger Herzog Holger...@zw.maus.de wrote:
>
> Hallo _Holger_ und alle anderen die es interessiert,
>
> HH> In allen diesen Systemen gibt es eine Ziffer, die 'Nichts' ausdrückt
> HH> (nämlich die null), im o.g. Einersystem aber nicht.
Man kann sie aber leicht einfuehren:
0 --> 1
1 --> 11
2 --> 111
3 --> 1111
usw
> HH> Daher kann in den
> HH> anderen Systemen die gleiche Zahl in beliebiger Länge dargestellt werden,
> HH> im 'Einersystem' aber nicht.
Wer sich ein wenig mit Pairing Funktionen auskennt, der wird leicht
merken, dass
man auch bei deinem Zahlensystem die Zahlen so interpretieren kann, dass
jede Zahl
unendlich oft im Zahlensystem vorkommt.
> HH> Dieses 'Einersystem' benötigt meiner Meinung
> HH> nach also doch eine weitere Ziffer, eine Art null. Nur daß diese Null
> HH> eben nicht geschrieben wird, ein 'Blank' sozusagen.
>
> dürfte verwandt sein mit der römischen Zahlendarstellung.
>
> I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, usw..........
Mal ganz kurz etwas zu Zahlen:
Zahlen gibt es nicht in der Natur. Zahlen sind Symbole die interpretiert
werden muessen.
Zur Darstellung von Symbolen brauch man ein Alphabet ueber dem die
Symbole
erzeugt werden. Dieses Alphabet darf nur endlich sein, weil die Anzahl
der
erzeugbaren Symbole hoechstens abzaehlbar unendlich sein darf. Ausserdem
muss das
Alphabet mindestens 2 Symbole enthalten zwischen zwei Woerten des
Alphabethes eine
Trennung kennzeichnen zu koennen.
Nun zur Zahl 0:
Sie ist eine Zahl wie jede andere auch und sie kann in jedes
Zahlensystem eingebaut
werden. Zur "Entstehung" muss man nur sagen, dass es lange Zeit kein
Zahlensystem
gab in dem eine Null vorkam. Die Null ist eine relativ neue "Erfindung"
(oder werden
Zahlen "Entdeckt"?).
Werner
Edgar Fuss
Im Einersystem gibt's keine 1, genausowenig, wie es im Zweiersystem eine 2
gibt.
Manfred Lippert
Hallo Christian,
CS>Kleine Kinder zeigen auf Anfrage ihr Alter per Finger. What's the
CS>difference???
...daß es sich hierbei um ein Zweiersystem handelt! (Finger ausgestreckt
oder nicht.)
Ciao,
Mani
Philipp Pagel
Hallo!
> Gibt es das 'Einersystem'?
>
> In allen diesen Systemen gibt es eine Ziffer, die 'Nichts' ausdrückt
> (nämlich die null), im o.g. Einersystem aber nicht. Daher kann in den
> anderen Systemen die gleiche Zahl in beliebiger Länge dargestellt
> werden, im 'Einersystem' aber nicht. Dieses 'Einersystem' benötigt
> meiner Meinung nach also doch eine weitere Ziffer, eine Art null. Nur
> daß diese Null eben nicht geschrieben wird, ein 'Blank' sozusagen.
>
> Wer weiß weiter?
Bei diesem "Einersystem" handelt es sich um ein Additionssystem - ähnlich
dem, das die Römer verwendet haben. Im Gegensatz dazu stellt das
Dezimalsystem und die im Computerbereich üblichen Systeme Positionssysteme
dar, bei denen der Wert der Ziffer mit dem Wert seiner Position zu
multiplizieren ist. Dieser stellt eine Potenz der Basis dar.
Jetzt könnte man natürlich argumentieren, daß das Einersystem einfach ein
Sonderfall ist, bei dem der Wert der Stellen eben immer 1 bleibt, da
1^x = 1
Dadurch wäre das Wesen des Positionssystems - nämlich der
*unterschiedliche* Wert der einzelnen Positionen aber nicht mehr gegeben.
Also bin ich der Meinung, daß es kein Positionssystem mit der Basis 1
geben kann.
Ich habe mal den Bronstein zum Thema Zahlensysteme befragt - da findet
sich auf Seite 641:
---------
Bildungsgesetz für polyadische Zahlensysteme:
a = \sum_{i = -m}^{n} z_i B^i m > 0, n \geq 0, ganz
mit B als Basis und z_i (0 \leq z_i < B) als zugelassene Ziffern des
Zahlensystems.
---------
Demnach hat ein Zahlensystem immer die Null als gültige Ziffer. Wählt man
die Basis 1, so erhält man die Null als *einzige* gültige Ziffer und kann
somit keine Zahlen darstellen, die von Null verschieden sind.
In diesem Sinne gibt es also kein Einersystem.
cu
Philipp
--
nur echt mit den vier "p"
Philipp Pagel * St.-Rochus-Str. 62 * 97078 Wuerzburg
Tel. 0931/26560, Fax. 0931/26383
Ruediger Pfeilsticker
Holger...@zw.maus.de (Holger Herzog) schrieb ...
>Man kann Zahlen nun ja auch durch nur eine Ziffer darstellen. Der Betrag
>der Zahl entspricht dabei der Anzahl ihrer Ziffern. In einem solchem
>System waeren alle Zahlen logischerweise Schnapszahlen.
Soweit ich informiert bin, kann so mit Hilfe der Mengenlehre die
Menge der natuerlichen Zahlen (bzw. die Kardinalzahlen) aufgebaut
werden.
Eine Menge repraesentiert dann einfach die Zahl, die gleich ihrer
Maechtigkeit ist.
Bei deinem 'Einersystem' hast du also nur die Mengenklammern und
die Kommata vergessen ;-) und deine Elemente sind nicht
unterscheidbar (denken wir uns einfach ein paar Indizes).
naja... wieso ist das eigentlich noch keinem aufgefallen? ich dachte
hier wimmelt es nur so vor reinen Mathematikern...
Man kann uebrigens jede Zahl p als 2-stellige Schnapszahl darstellen.
Man waehle p-1 als Basis ;)
Preisfrage: kann man jede (hinreichend grosse) Zahl als
n-stellige Schnapszahl darstellen? und kann man jede Zahl als
eine Schnapszahl mit beliebigen Ziffern darstellen ?
Logiker, Mengen- und Zahlentheoretiker an die Front!
Rudi
--
!!! Happiness=\int_{birth}^{death}|Life|dt !!!
Marcus Ohlhaut
>nicht als unendlich ansiehst, sondern die Zahl der Stellen als
>Information interpretierst
Symbole verwendet, sondern die Lücke als zusätzlichen Informationsträger
verwendet:
s ***
e e e * * *
- Marcus
Christian Sorg
Hallo Holger!
CS>> In der praktischen Verwendung werden (siehe Beispiel) führende
CS>> Stellen mit dem Zustand "0" beim Schreiben einfach weggelassen.
HH>Die Argumentation der Gegenpartei:
HH>Es ist umgegkehrt. Man beginnt mit einer Ziffer und zählt diese
HH>dann solange hoch, bis alle Ziffern durchgezählt sind. Dann geht
HH>man auf zwei Ziffern über usw.
Dann müßte das "Einersystem" aber so gehen:
I = 0 ich nehme ein Ziffer, zähle solang hoch bis die letzte erreicht
ist (schon passiert, da erste=letzte!).
II = 1 ..und gehe auf 2 Ziffern über!
III= 2 ........
Mit dieser Zahlentheorie könnte ich obiges als voll gültiges "Einersystem
gelten lassen! Das Problem mit dem Blank ist ja dann auch gelöst: Man
braucht ihn nicht!
Lars Schewe
Hallo Holger!
Wie Du es nennst, ist wurscht, es ist einfach kein Stellenwertsystem. Es ist
zwar ein System, mit dem man die natürlichen Zahlen darstellen kann, aber das
ist z. B. das römische auch. Da aber in der ursprünglichen Frage nur nach
Stellenwertsystemen gefragt war, ist dies keine Lösung (Ich weiß, es steht
nicht explizit drin, aber ...).
Lars
josef kunz
hallo Werner
> > Erinnert mich an ein Programm für Turingmaschinen. Dort kann man
> > 0000110111110
> > wären dann eine 2, gefolgt von einer 5.
> > Damit kann man dann gut rechnen.
> BNF fuer
> Zahlen in diesem System ist {1}0, also eine bestimmte Anzahl von Einsen
> gefolgt von
> einer Null. Die letzte Null gehoert zu der Zahl, sonst koennte die TM
> nicht
> erkennen wo die Zahl aufhoert!
dieses problem stellt sich aber in jedem zahlensystem. geneaugenommen
rechnen wir dann im täglichen leben bei 10- adischer darstellung der
zahlen in einem 11er system.
in turingmaschinen gehört das blank nicht zum eingabealphabet, sondern nur
zum arbeitsalphabet.
gruss
josef
Thomas Richard
Hallo Manfred,
>CS>Kleine Kinder zeigen auf Anfrage ihr Alter per Finger. What's the
>CS>difference???
>...daß es sich hierbei um ein Zweiersystem handelt! (Finger ausgestreckt oder
>nicht.)
Aber nicht das, was wir normalerweise unter _dem_ Zweiersystem verstehen.
Oder hast Du schon mal Kinder gesehen, die dafür nicht-nebeneinanderlie-
gende Finger nehmen und so (bewußt) Zahlen von 0 bis 1023 darstellen? ;-)
MfG
Richie
Marcus Ohlhaut
>...daß es sich hierbei um ein Zweiersystem handelt! (Finger ausgestreckt
>oder nicht.)
einzelnen Stellen die Wertigkeit 2^n haben. Sonst könnten wir mit den
Fingern bis 1024 zählen.
- Marcus
Karsten Meyer
Hallo Edgar,
>
> Gibt's nicht.
Bösartiger Weise könnte man trotzdem sagen, das es ein Einer-System gibt:
Ein B-adisches Zahlensystem enthält die Ziffern 0 bis B-1. Das wäre dann
bei einem 1-adischen Sytem folglich nur die 0.
0 = 00 = 000 = 0000 = ...000
00000 + 00 = 0000000 = 0
000 * 00 = 000000 = 0
Auf jeden Fall ist es das unnützeste, überflüssigste Zahlensystem das man
sich vorstellen kann. Und erfüllt bestenfalls die gleiche Funktion wie
Schnabels einzinkige Gabel (Erich Kästner).
KOSMO(POLITAN)
Johannes Grimm
MO>Das Problem ist ähnlich dem Morsealphabet, welches eben nicht nur zwei
MO>Symbole verwendet, sondern die Lücke als zusätzlichen
MO>Informationsträger verwendet...
Doch! Hierbei handelt es sich um ein *Zweier*-System: Piep oder Lücke!
Gruß....
Johannes
Johannes Grimm
EF>Im Einersystem gibt's keine 1, genausowenig, wie es im Zweiersystem
EF>eine 2 gibt.
Ist doch nur 'ne Frage der Symbolik, auf die man sich verständigt ;-)
Gruß....
Johannes
Mathias Micheel
Hallöle,
CS>Kleine Kinder zeigen auf Anfrage ihr Alter per Finger. What's the
CS>difference???
ML> oder nicht.)
Wenn ich recht überlege, dann meint ein Kind, wenn es drei Finger zeigt, daß es
drei Jahre alt ist und nicht sieben. 111 ist im Dezimalsystem 7, oder? ;-)
Tschö
wa
Mathias.
Michael Hoppe
:-)))
Holger Herzog
Hallo Werner,
WS> Ein Zahlensystem muss aus mindestens zwei Symbolen bestehen.
WS> Wie sonst will man zwei Zahlen voneinander trennen?
WS> Oder versuche mal einer mit dem "Einersystem" 20 Zahlen
WS> hintereinander aufzuschreiben.
Gegenfrage: Wie trennst Du im Zehnersystem die Zahlen?
Holger
Holger Herzog
Hallo josef,
jk> in r. remmert 'elementare zahlentheorie' wird bei der einführung der g-
jk> adischen darstellungen von natürlichen zahlen ausdrücklich g>=2 gefordert.
Genial, das klingt doch super!
jk> - du kennst sicher die neuner und elfer-probe, bei der man anhand der
jk> quersumme bzw der alternierenden quersumme aussagen über fehler bei einer
jk> rechnung machen kann. allgemein gibt es im g-adischen systen (g-1) und
jk> (g+1) probe.
Wow, das wusste ich nicht. Stark.
jk> im einersystem macht aber die g-1 probe keinen sinn.
...und somit erfüllt das Einersystem also eine weitere Bedingung nicht.
jk> - auf eine sinnvolle (oder zumindest gewohnte) darstellung von
jk> dezimalbrüchen wird man im 1- adischen system verzichten müssen.
Auch ein ulkiges Argument!
Viele Grüße,
Holger
Holger Herzog
Hallo Manfred,
ML> ...daß es sich hierbei um ein Zweiersystem handelt! (Finger ausgestreckt
ML> oder nicht.)
Das Problem ist aber, daß es eine Argumentationsweise für das Einersystem
gibt, gegen die man nur ankommt, wenn man eindeutig die Definition der
Systeme auspackt (Josef hat da einen guten Dienst geleistet).
Man stelle sich mal vor, die Natürlichen Zahlen in einem System mit g
Stellen folgendermaßen zu definieren:
- Es gibt g Ziffern mit aufsteigender Wertigkeit
- Die erste Zahl besteht aus genau einer Ziffer, und zwar die geringster
Wertigkeit
- Den Nachfolger einer Zahl erhält man durch folgenden Algorithmus:
(entspricht normalem Zählen)
- letzte Ziffer incrementieren (bei Überlauf Ziffer kleinster Werigkeit
wählen)
- Wenn dabei die Ziffer größter Wertigkeit erreicht wird:
- vorletzte Ziffer incrementieren (usw.)
- Wenn letzte Ziffer erreicht: usw.
evt. am Anfang der Zahl die kleinste Ziffer des Systems anfügen
Feststellung: Es gibt also per Def. keine Zahlen mit führenden Nullen (ich
nenne die Ziffer größter Wertigkeit einfach mal Null), keine negativen
Zahlen oder gar Brüche (Kommazahlen). Diese Zahlen sind Erweiterungen, die
nicht bei allen Systemen implementiert werden können.
Wenn die Zahlensysteme so definiert worden wäre. gäb es tatsächlich ein
Einersystem. Ich finde das aber komisch.
Viele Grüße,
Holger
Manfred Lippert
TR>Aber nicht das, was wir normalerweise unter _dem_ Zweiersystem
TR>verstehen. Oder hast Du schon mal Kinder gesehen, die dafür nicht-
TR>nebeneinanderlie- gende Finger nehmen und so (bewußt) Zahlen von 0 bis
TR>1023 darstellen? ;-)
Ja, stimmt auch wieder...
Gruß,
Mani
Philipp Pagel
> Ein Zahlensystem muss aus mindestens zwei Symbolen bestehen.
Das sehe ich auch so (siehe meine andere Mail hierzu).
> Wie sonst will man zwei Zahlen voneinander trennen?
> Oder versuche mal einer mit dem "Einersystem" 20 Zahlen
> hintereinander aufzuschreiben.
Das Problem hast Du aber immer denn die Null ist nicht der Trenner
zwischen Zahlen. Bsp.: es folgen vier Zahlen im Dezimalsystem:
103506070013307502145 welche sind es?
Guenter Maenz
Hallo Manfred,
ML>...daß es sich hierbei um ein Zweiersystem handelt! (Finger
ML>ausgestreckt oder nicht.)
Nein, dann würde das Kind mit drei Fingern zeigen, daß es sieben Jahre alt ist!
Viele Grüße,
Günter
Holger Herzog
Hallo Philipp,
PP> Ich habe mal den Bronstein zum Thema Zahlensysteme befragt - da findet
PP> sich auf Seite 641:
Wow, was ist ein Bronstein?
PP> Demnach hat ein Zahlensystem immer die Null als gültige Ziffer. Wählt man
PP> die Basis 1, so erhält man die Null als *einzige* gültige Ziffer und kann
PP> somit keine Zahlen darstellen, die von Null verschieden sind.
Wie stellst Du die Null dar?
0*0^0 = n.def. (oder doch?)
PP> In diesem Sinne gibt es also kein Einersystem.
Das gefällt mir! :)
Holger
Holger Herzog
Hallo Christian,
CS> I = 0 ich nehme ein Ziffer, zähle solang hoch bis die letzte erreicht
CS> ist (schon passiert, da erste=letzte!).
CS> II = 1 ..und gehe auf 2 Ziffern über!
CS> III= 2 ........
Du mußt dann die Ziffer '0' als höchste Ziffer ansehen, um normal dezimal
zu zählen: {'1';'2';'3';'4';'5';'6';'7';'8';'9';'0'}
CS> Mit dieser Zahlentheorie könnte ich obiges als voll gültiges "Einersystem
CS> gelten lassen! Das Problem mit dem Blank ist ja dann auch gelöst: Man
CS> braucht ihn nicht!
Eben, deshalb habe ich ja Angst :-)
Holger
Holger Herzog
Hallo Lars,
klingt vernünftig.
Holger
Holger Herzog
Hallo Karsten,
KM> 0 = 00 = 000 = 0000 = ...000
Hast Du mal versucht, eine solche Zahl ins Dezimalsystem umzurechnen?
Viele Grüße,
Holger
Florian Baumann
Ola josef,
jk>in r. remmert 'elementare zahlentheorie' wird bei der einführung der
jk>g- adischen darstellungen von natürlichen zahlen ausdrücklich g>=2
jk>gefordert.
Ich kenne das Werk nicht, aber in Knuths "the art of computer
programming" steht afaik, daß man _jede_ Zahl außer 0 und 1 als Basis
eines Stellenwertsystems nehmen kann, auch komplexe Zahlen.
Flups
--
Die 382. Erwerbsregel: Furze niemals in einem Shuttle, in dem Du selbst
noch fliegen mußt! (Marc Migge)
Karsten Meyer
Hallo Ruediger,
> Man kann uebrigens jede Zahl p als 2-stellige Schnapszahl darstellen.
> Man waehle p-1 als Basis ;)
>
> Preisfrage: kann man jede (hinreichend grosse) Zahl als
> n-stellige Schnapszahl darstellen? und kann man jede Zahl als
> eine Schnapszahl mit beliebigen Ziffern darstellen ?
>
> Logiker, Mengen- und Zahlentheoretiker an die Front!
>
Nun ja, unter der Bedingung das alle 1-Stelligen Zahlen (0,1,2,3,4,5,...)
Schnapszahlen sind, gilt das jede Zahl n in ihrem n-adischen Zahlensystem
eine 1-stellige Schnapszahl dar.
Das sich jede hinreichend grosse Zahl eben nicht als n-stellige
Schnapszahl darstellen laesst, zeigt dagegen schon die 1. Sie läßt
sich nur als 1-stellige Schnapszahl darstellen, nicht aber als 2-, 3- ,4-
oder groesser stellige Schnapszahl.
Man kann ausserdem keine Zahl als Schnapszahl mit beliebigen Ziffern
darstellen. Beispiel: Die 3 laesst sich als 3 oder 11 darstellen, nicht
aber als 222 oder 6446.
KOSMO(POLITAN)
Florian Baumann
Ola Johannes,
JG>Doch! Hierbei handelt es sich um ein *Zweier*-System: Piep oder
JG>Lücke!
Eben nicht: Kurzer Piep, langer Piep, Lücke
Flups
--
Die 338. Erwerbsregel: Freiheit ist immer die Freiheit des Anderen. *Ich*
bin der Andere!
josef kunz
hallo Ruediger
> Man kann uebrigens jede Zahl p als 2-stellige Schnapszahl darstellen.
> Man waehle p-1 als Basis ;)
gruss
josef
josef kunz
hallo Ruediger
> Preisfrage: kann man jede (hinreichend grosse) Zahl als
> n-stellige Schnapszahl darstellen? und kann man jede Zahl als
> eine Schnapszahl mit beliebigen Ziffern darstellen ?
eine der zahlen (11)g, (111)g, (1111)g usw teilbar ist, wobei natürlich
nur teiler t mit t<=n zu betrachten sind und für den quotienten q gilt:
q<g. q ist dann genau die ziffer aus der die schnapszahl gebildet ist.
krieg ich jez den preis? ja? schnaps?
gruss
josef
josef kunz
hallo Holger
KM>> 0 = 00 = 000 = 0000 = ...000
> Hast Du mal versucht, eine solche Zahl ins Dezimalsystem umzurechnen?
nächste ziffer, und setze das verfahren mit dem 10-fachen des rests fort,
bid die division aufgeht.
gruss
josef
Karsten Meyer
Halloolger,
KM>> 0 = 00 = 000 = 0000 = ...000
> Hast Du mal versucht, eine solche Zahl ins Dezimalsystem umzurechnen?
Ist doch ganz einfach: Hie erstmal ein Beispiel, wie es im binären
Zahlenbereich funtioniert:
101 = 1*2^2+0*2^1+1*2^0 = 1*4+0*2+1*1 = 5
(101) = (5)
2 10
So, nun im Einersystem:
0000 = 0*1^3+0*1^2+0*1^1+0*1^0 = 0*1+0*1+0*1+0*1 = 0
(0000) = (0)
1 10
(0) = (00)
1 1
Wo ist das Problem.
Vorsicht, es ist nicht möglich eine Zahl > 0 in das Einersystem
umzurechnen.
Das Einersystem kennt nur die 0 als mögliche Zahl.
KOSMO(POLITAN)
Karsten Meyer
Hallo Holger,
PP>> Ich habe mal den Bronstein zum Thema Zahlensysteme befragt - da
findet
PP>> sich auf Seite 641:
> Wow, was ist ein Bronstein?
Ein Bronstein ist die Einheit für die Eingebung die man zusätzlich bei
einer Klausur bekommen kann. Sie wird in dicken, blauen Blöcken, auch
Bücher genannt, gemessen. Sie beträgt pro (Info)-Studie gegen 1.
Aber mal im ernst, der Bronstein ist ein Mathematisches Standardwerk.
Ich besitze selbiges auch, habe aber kaum hineingesehen.
KOSMO(POLITAN)
Karsten Meyer
> Man kann uebrigens jede Zahl p als 2-stellige Schnapszahl darstellen.
> Man waehle p-1 als Basis ;)
Das gilt nur für p >=2 und p ist Element der natürlichen Zahlen bzw.
Element der ganzen Zahlen.
KOSMO(POLITAN)
Karsten Meyer
Nochmal: Hallo Holger,
> Wie stellst Du die Null dar?
> 0*0^0 = n.def. (oder doch?)
Doch, ist definiert:
0*0^0 = 0*1 = 0
0 hoch 0 ist perverser Weise eben 1, da x hoch 0 = 1 für jedes Element
aus R und vermutlich auch aus C gilt.
0/0 ist nicht definiert, bzw. man könnte sagen das 0/0 = x ergibt,
wobei x für alle Elemente aus R bzw. aus C steht.
Beweis: 0*x = 0 => x = 0/0
KOSMO(POLITAN)
Karsten Meyer
Hallo Holger,
> In allen diesen Systemen gibt es eine Ziffer, die 'Nichts' ausdrückt
> (nämlich die null), im o.g. Einersystem aber nicht. Daher kann in den
Entschuldige, wenn ich auf diese alte Nachricht noch antworte, aber dies
ist mir erst so spät aufgefallen.
Auch im Einersystem gibt es eine Ziffer, die 'Nichts' ausdrückt, eben
die obengenannte Null.
Es gibt eben nur keine Zahl im Einersystem, die Etwas oder eben auch
Alles ausdrückt.
KOSMO(POLITAN)
Philipp Pagel
PP>> Ich habe mal den Bronstein zum Thema Zahlensysteme befragt - da
> Wow, was ist ein Bronstein?
Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig "Taschenbuch der Mathematik"
Verlag Harry Deutsch
1. Auflage 1993
PP>> Demnach hat ein Zahlensystem immer die Null als gültige Ziffer. Wählt
PP>> man die Basis 1, so erhält man die Null als *einzige* gültige Ziffer
PP>> und kann somit keine Zahlen darstellen, die von Null verschieden
PP>> sind.
> Wie stellst Du die Null dar?
> 0*0^0 = n.def. (oder doch?)
Das stimmt schon, nur ist die Basis des Einersystems die 1 und nicht die
Null. Also: 0 = 0*1^0 .
Ruediger Pfeilsticker
jo...@kunz.inka.de (josef kunz) schrieb ...
>> Man kann uebrigens jede Zahl p als 2-stellige Schnapszahl darstellen.
>> Man waehle p-1 als Basis ;)
>eins und zwei nicht, weil null und eins als basis nicht gehen.
Lass mich doch mal vor mich hin behaupten ! ;)
Rudi
--
!!! Happiness=\int_{birth}^{death}|Life|dt !!!
Wolfgang Houben
Korschenbroich Montag, 26.08.96 um 21:14
Holger Herzog Holger...@zw.maus.de meinte am 25.08.96
unter der Rubrik /MAUS/MATHE
zum Thema _Einersystem_
Hallo _Holger_ und alle anderen die es interessiert,
HH> Hallo Philipp,
PP>> Ich habe mal den Bronstein zum Thema Zahlensysteme befragt - da findet
PP>> sich auf Seite 641:
HH> Wow, was ist ein Bronstein?
:-((((((((((((((
PP>> Demnach hat ein Zahlensystem immer die Null als gültige Ziffer. Wählt
^_ polyadisches
PP>> man die Basis 1, so erhält man die Null als *einzige* gültige Ziffer und
PP>> kann somit keine Zahlen darstellen, die von Null verschieden sind.
HH> Wie stellst Du die Null dar?
HH> 0*0^0 = n.def. (oder doch?)
kein Symbol. :-) Warum soll man etwas darstellen, wo nichts ist?
PP>> In diesem Sinne gibt es also kein Einersystem.
HH> Das gefällt mir! :)
:-(
Mit freundlichen Grüßen Castor.
--147
Cas...@NewsWire.de It is equally bad when one speeds on the guest unwill-
Cas...@Nature.gun.de ing to go, and when he holds back one who is hastening.
Rather one should befriend the guest who is there, but
speed him when he wishes. (The Odyssey, Homer)
## CrossPoint v3.11 R ##
Ruediger Pfeilsticker
jo...@kunz.inka.de (josef kunz) schrieb ...
>krieg ich jez den preis? ja? schnaps?
Du hast nicht 'Nein' und 'Nein' geschrieben ;)
Holger Herzog
Hallo Karsten,
KM> Halloolger,
Sinnvoll gekürzt? :)
KM> Ist doch ganz einfach
Oh mann, wo habe ich nur meine Gedanken...ich hatte zur Basis 0 gerechnet
statt zur Basis 1.
Holger
Holger Herzog
Hallo Karsten,
KM> Doch, ist definiert:
KM> 0*0^0 = 0*1 = 0
Da habe ich aber andere Dinge gelernt.
KM> 0 hoch 0 ist perverser Weise eben 1, da x hoch 0 = 1 für jedes Element
KM> aus R und vermutlich auch aus C gilt.
Nur für R\{0}!
Du vergisst folgende Regel: 0 hoch x = 0 für alle x aus R\{0}!
Eben weil sich diese beiden Regeln ausschließen ist AFAIK 0^0 nicht
definiert.
Viele Grüße,
Holger
Holger Herzog
Hallo Karsten,
KM> > In allen diesen Systemen gibt es eine Ziffer, die 'Nichts' ausdrückt
KM> > (nämlich die null), im o.g. Einersystem aber nicht. Daher kann in den
KM> Entschuldige, wenn ich auf diese alte Nachricht noch antworte, aber dies
KM> ist mir erst so spät aufgefallen.
Besser spät als nie :-)
KM> Auch im Einersystem gibt es eine Ziffer, die 'Nichts' ausdrückt, eben
KM> die obengenannte Null.
Jein, nicht in dem Einersystem, von dem da die Rede war. Darum ging es ja
gerade. Meine Ur-Frage war:
Heiß das System, in welchem wie folgt gezählt wird:
1 = |
2 = ||
3 = |||
4 = ||||
5 = |||||
usw.
'Einersystem'?
Viele Grüße,
Holger
Marco Hahn
Moin Karsten,
KM> 0 hoch 0 ist perverser Weise eben 1,
0^0 = 0^(1-1) = 0^1 / 0^1 = 0/0 <> 1!
Marco, zu 100%
(PGP erwünscht)
Morus Walter
Hi Philipp,
>Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig "Taschenbuch der Mathematik"
>Verlag Harry Deutsch
>1. Auflage 1993
>
Echt? Ich hab' hier eine 23. Auflage von 1987.
Ist das jetzt ein Vereinigungsschaden (meine ist "Printed in the German
Democratic Republic") oder hast Du Dich vertippt...
greetings
Morus
Holger Herzog
Hallo Wolfgang,
WH> kein Symbol. :-) Warum soll man etwas darstellen, wo nichts ist?
In einem Stellenwertsystem? Da mußt Du aber sowohl Symbole als Ziffern,
als auch klar definierte Stellen haben.
PP>>> In diesem Sinne gibt es also kein Einersystem.
HH>> Das gefällt mir! :)
WH> :-(
Das verstehe ich jetzt nicht. :-?
Holger
Karsten Meyer
Hallo Marco,
> Von : Marco Hahn @ SL (Di, 27.08.96 20:33)
> RId : <199608262...@gi.maus.de>
>
> Moin Karsten,
KM>> 0 hoch 0 ist perverser Weise eben 1,
> 0^0 = 0^(1-1) = 0^1 / 0^1 = 0/0 <> 1!
0^1 = 0^(2-1) = 0^2 / 0^1 = 0/0 <> 0 :-)
Ein schlechter Beweis, das 0 hoch 0 nicht eins sein soll.
KOSMO(POLITAN)
Philipp Pagel
KM>> Auch im Einersystem gibt es eine Ziffer, die 'Nichts' ausdrückt, eben
KM>> die obengenannte Null.
> Jein, nicht in dem Einersystem, von dem da die Rede war. Darum ging es
> ja gerade. Meine Ur-Frage war:
>
> Heiß das System, in welchem wie folgt gezählt wird:
>
> 1 = |
> 2 = ||
> 3 = |||
> 4 = ||||
> 5 = |||||
> usw.
>
> 'Einersystem'?
Nein! Dieses System hat überhauptkeine Basis, da es ein reines
Additionssystem ist. Eine Basis hast Du nur in Stellenwertsystemen - und
die brauchen eine Null!
Karsten Meyer
Hallo Holger,
> Jein, nicht in dem Einersystem, von dem da die Rede war. Darum ging es ja
> gerade. Meine Ur-Frage war:
>
> Heiß das System, in welchem wie folgt gezählt wird:
>
> 1 = |
> 2 = ||
> 3 = |||
> 4 = ||||
> 5 = |||||
> usw.
>
> 'Einersystem'?
>
Wenn du es so auffaßt, lautet die Antwort natürlich NEIN.
Einersystem = ... x5*1^5 + x4*1^4 + x3*1^3 + x2*1^2 + x1*1^1 + x0*1^0 + ..
Wobei x nur den Wert 0 annehmen kann.
KOSMO(POLITAN)
Karsten Meyer
Hallo Holger,
Darf ich mal fragen, wo sich die beiden Regeln ausschliessen ?
Du scheibst FAST richtig, das 0 hoch x = 0 für alle x aus R\{0}
Fast deswegen da 0 hoch -1 nicht definiert ist. Also 0 hoch x = 0
gilt für alle x aus R die größer als 0 sind.
Und warum gilt nicht größer/gleich 0. Weil sich dann tatsächlich
ein Widerspruch zu der Regel x hoch 0 = 1 für alle x Element aus R
ergeben würde.
Da aber die eine Regel die 0 ausschließt (zurecht), kann sie
in der anderen Regel mit eingeschlossen sein.
Anderereseits schließen einige Mathematik-Werke die 0 bei der Regel
a hoch 0 = 1 aus. Zumindestens die, in denen ich nachgeschlagen habe.
Kurioser Weise dürften mir meine Taschenrechner recht geben, aber
die zählen ja wohl nicht
Nur warum das nicht definiert ist / sein soll, das ist mir ein
Rätsel.
Marcos sogenannter Beweis ist jedenfalls keiner.
KOSMO(POLITAN)
Karsten Meyer
Hallo Holger und Phillipp,
> > 0*0^0 = n.def. (oder doch?)
>
> Das stimmt schon, nur ist die Basis des Einersystems die 1 und nicht die
Jein, ja also 0 hoch 0 ist nicht definiert (Warum weiß ich nicht)
aber 0*0^0 = 0^1*0^0 = 0^(1+0) = 0^1 = 0
Das dabei 0^0 nicht definiert ist, spielt dabei überhaupt keine Rolle
Das zeigte sich bei meinem Gegenbeispiel zu Marco
1 1
0^(-1) =--- = - = ist nicht definiert. Aber
0^1
0^2
--- = 0^(2-1) = 0^1 = 0
0^1
KOSMO(POLITAN)
Holger Herzog
Hallo Karsten,
KM> Anderereseits schließen einige Mathematik-Werke die 0 bei der Regel
KM> a hoch 0 = 1 aus. Zumindestens die, in denen ich nachgeschlagen habe.
Ja, es ist wirklich nicht definiert.
KM> Nur warum das nicht definiert ist / sein soll, das ist mir ein
KM> Rätsel.
Weil die Logarithmen-Gesetze allgemein nur auf R+ gelten.
Holger
Holger Herzog
Hallo Karsten,
KM> Das dabei 0^0 nicht definiert ist, spielt dabei überhaupt keine Rolle
Du benutzt die Exponential/Logarithmen-Gesetze außerhalb von R+. Das ist
nicht erlaubt.
Holger
Michael Wiegers
MW>Echt? Ich hab' hier eine 23. Auflage von 1987.
MW>Ist das jetzt ein Vereinigungsschaden (meine ist "Printed in the German
MW>Democratic Republic") oder hast Du Dich vertippt...
Es gibt nicht nur einen Verlag der behauptet seine Version sei das Original,
sondern mehrere.
Die Harri Deutsch Version ist eine Version, die zwar die Kapitel des
Originals (russ.) beinhaltet aber auch modernere Themen abdeckt.
(zumindest in der 2.Auflage, die von mir auch ganz bescheiden BIBEL
genannt wird.)
Bye ... Michael
Florian Baumann
Ola Michael,
MW>Es gibt nicht nur einen Verlag der behauptet seine Version sei das
MW>Original, sondern mehrere.
Es gab zumindest bis zur Wende nur einen Verlag, der das behauptete,
nämlich Verlag Nauka, Moskau. Das (c) der deutschen Ausgabe hatte --
zumindest bis zur Wende -- B.G. Teubner, Leipzig. Die Version von Harri
Deutsch ist unter Lizenz gedruckt worden.
1993 wurde der Bronstein völlig neu überarbeitet und mit dem
Ergänzungsband (in dem eigentlich alles drinsteht, was man wirklich
braucht) in einem Buch zusammengefaßt.
Flups
--
Die 302. Erwerbsregel: Die einzigen drei Dinge, über die man niemals mit
Aliens diskutieren sollte sind Sex, Religion und Steuern.
josef kunz
hallo Philipp
> > Wie sonst will man zwei Zahlen voneinander trennen?
> > Oder versuche mal einer mit dem "Einersystem" 20 Zahlen
> Das Problem hast Du aber immer denn die Null ist nicht der Trenner
> zwischen Zahlen. Bsp.: es folgen vier Zahlen im Dezimalsystem:
> 103506070013307502145 welche sind es?
mit einer bijektiven abbildung f:IN -> IN x IN kann man alle endlichen
folgen von natürlichen zahlen in einer zahl codieren.
gruss
josef
Lars Schewe
Hallo Holger!
Ich habe mich mal ein bißchen umgeschaut. Es scheint schon einen längeren
Streit gegeben zu haben, wie 0^0 zu behandeln sei. Allgemein scheint sich die
Festsetzung 0^0=1 durchgesetzt zu haben. Es ist nämlich so, daß man sonst
bestimmte wichtige Sätze mit Fallunterscheidungen versehen müßte. Wenn Du
willst, kann ich Dir den entsprechenden Abschnitt der sci.math FAQ zukommen
lassen (ungefähr 6 KB).
Lars
Holger Herzog
Hallo Lars,
LS> Ich habe mich mal ein bißchen umgeschaut. Es scheint schon einen längeren
LS> Streit gegeben zu haben, wie 0^0 zu behandeln sei. Allgemein scheint sich
LS> die Festsetzung 0^0=1 durchgesetzt zu haben.
Schade.
LS> Wenn Du willst, kann ich Dir den entsprechenden Abschnitt der sci.math FAQ
LS> zukommen lassen (ungefähr 6 KB).
Oh ja bitte, klingt interessant.
Viele Grüße,
Holger
Karsten Meyer
Hallo Lars,
> sonst bestimmte wichtige Sätze mit Fallunterscheidungen versehen müßte. Wenn
> Du willst, kann ich Dir den entsprechenden Abschnitt der sci.math FAQ
> zukommen lassen (ungefähr 6 KB).
könntest du mir den auch zukommen lassen ?
KOSMO(POLITAN)
Jochen Hoenicke
Hallo Josef
jo...@kunz.inka.de (josef kunz) writes:
>
> mit einer bijektiven abbildung f:IN -> IN x IN kann man alle endlichen
> folgen von natürlichen zahlen in einer zahl codieren.
> gruss
> josef
Wenn ich mich nicht täusche hat bereits Cantor gezeigt daß es keine
bijektive Abbildung f:IN -> IN x IN gibt.
Jochen
Kai Trojahner
Hallo Lars,
LS>Ich habe mich mal ein bißchen umgeschaut. Es scheint schon einen
LS>längeren Streit gegeben zu haben, wie 0^0 zu behandeln sei. Allgemein
LS>scheint sich die Festsetzung 0^0=1 durchgesetzt zu haben.
Merkwürdig, denn mein Taschenrechner streikt bei 0^0 und man sollte
meinen, daß der es doch wissen müßte ;-)
Erstmal...
|/
|\ai
Uwe Schlenther
Hallo Jochen !
JH>Wenn ich mich nicht täusche hat bereits Cantor gezeigt daß es keine
JH>bijektive Abbildung f:IN -> IN x IN gibt.
Nicht "keine", sondern "mindestens eine". Stichwort: Cantor'sches
Diagonalverfahren.
Tschüßi
...Uwe
Florian Baumann
Ola Lars,
LS>Wenn Du willst, kann ich Dir den entsprechenden Abschnitt der sci.math
LS>FAQ zukommen lassen (ungefähr 6 KB).
Bitte öffentlich posten, das dürfte für einen großen Teil hier
interessant sein.
Flups
--
Die 292. Erwerbsregel: Der liebe Gott weiß alles, Wesley Crusher weiß
alles besser! (Susanne Reger-Riedel)
Christoph Niessl
Jochen Hoenicke wrote:
> =
> Hallo Josef
> =
> jo...@kunz.inka.de (josef kunz) writes:
> >
> > mit einer bijektiven abbildung f:IN -> IN x IN kann man alle endlichen=
> > folgen von nat=FCrlichen zahlen in einer zahl codieren.
> > gruss
> > josef
> =
> Wenn ich mich nicht t=E4usche hat bereits Cantor gezeigt da=DF es keine
> bijektive Abbildung f:IN -> IN x IN gibt.
> =
> Jochen
Hallo Jochen,
Nun, IN und IN x IN sind beides abzaehlbare Mengen, also gibt es (fast
per Definition) eine Bijektion zwischen beiden. Und um eine anzugeben, =
g: IN x IN -> IN, (m,n) |-> 1/2*(m+n-1)*(m+n-2) + n
ist eine solche. Tip: Man schaue sich die Bilder von =
M_a :=3D {(m,n) : m + n =3D a} unter g an.
Ciao Christoph
Werner Stein
ciao Werner
--
Werner Stein, Universitaet Kaiserslautern
AG Algorithmisches Lernen
Centre for Learning Systems and Applications
st...@informatik.uni-kl.de
http://www-agrw.informatik.uni-kl.de/
Jochen Hoenicke
Hallo Uwe
Uwe_Sch...@s4.maus.de (Uwe Schlenther) writes:
> JH>Wenn ich mich nicht täusche hat bereits Cantor gezeigt daß es keine
> JH>bijektive Abbildung f:IN -> IN x IN gibt.
>
> Nicht "keine", sondern "mindestens eine". Stichwort: Cantor'sches
> Diagonalverfahren.
Natürlich, ich habe IN x IN mit IN ^ IN verwechselt.
Jochen
josef kunz
hallo Jochen
> Wenn ich mich nicht täusche hat bereits Cantor gezeigt daß es keine
1 2 3 4 5 6 7 ...
----------------------
1| 1 3 6 10 15 21
2| 2 5 9 14 20
3| 4 8 13 19 c
4| 7 12 18 t
5| 11 17 e
6| 16 23
7| 22
.
.
gruss
josef
Lars Schewe
Hallo Kai!
ROTFL! Es gibt auch Taschenrechner, die meinen, 3+4*8 sei 56. Um Gerüchten
vorzubeugen, dies ist nicht der Fall! ;-))
Lars
Lars Schewe
Hallo Holger und alle anderen, die mich bekniet haben! ;-)
Hier ist es dann, doch als ÖM (bitte nicht hauen).
--------------------------(hier abbeißen)---------------------------
Archive-Name: sci-math-faq/specialnumbers/0to0
Last-modified: April 26, 1995
Version: 6.2
What is 0^0
According to some Calculus textbooks, 0^0 is an ``indeterminate
form''. When evaluating a limit of the form 0^0 , then you need to
know that limits of that form are called ``indeterminate forms'', and
that you need to use a special technique such as L'Hopital's rule to
evaluate them. Otherwise, 0^0 = 1 seems to be the most useful choice
for 0^0 . This convention allows us to extend definitions in different
areas of mathematics that otherwise would require treating 0 as a
special case. Notice that 0^0 is a discontinuity of the function x^y .
This means that depending on the context where 0^0 occurs, you might
wish to substitute it with 1, indeterminate or undefined/nonexistent.
Some people feel that giving a value to a function with an essential
discontinuity at a point, such as x^y at (0,0) , is an inelegant patch
and should not be done. Others point out correctly that in
mathematics, usefulness and consistency are very important, and that
under these parameters 0^0 = 1 is the natural choice.
The following is a list of reasons why 0^0 should be 1.
Rotando &Korn show that if f and g are real functions that vanish at
the origin and are analytic at 0 (infinitely differentiable is not
sufficient), then f(x)^g(x) approaches 1 as x approaches 0 from the
right.
From Concrete Mathematics p.162 (R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik):
Some textbooks leave the quantity 0^0 undefined, because the
functions x^0 and 0^x have different limiting values when x
decreases to 0. But this is a mistake. We must define x^0=1 for all
x , if the binomial theorem is to be valid when x = 0 , y = 0 ,
and/or x = -y . The theorem is too important to be arbitrarily
restricted! By contrast, the function 0^x is quite unimportant.
Published by Addison-Wesley, 2nd printing Dec, 1988.
As a rule of thumb, one can say that 0^0 = 1 , but 0.0^(0.0) is
undefined, meaning that when approaching from a different direction
there is no clearly predetermined value to assign to 0.0^(0.0) ; but
Kahan has argued that 0.0^(0.0) should be 1, because if f(x), g(x) -->
0 as x approaches some limit, and f(x) and g(x) are analytic
functions, then f(x)^g(x) --> 1 .
The discussion on 0^0 is very old, Euler argues for 0^0 = 1 since a^0
= 1 for a != 0 . The controversy raged throughout the nineteenth
century, but was mainly conducted in the pages of the lesser journals:
Grunert's Archiv and Schlomilch's Zeitshrift. Consensus has recently
been built around setting the value of 0^0 = 1 .
On a discussion of the use of the function 0^(0^x) by an Italian
mathematician named Guglielmo Libri.
[T]he paper [33] did produce several ripples in mathematical waters
when it originally appeared, because it stirred up a controversy
about whether 0^0 is defined. Most mathematicians agreed that 0^0 =
1 , but Cauchy [5, page 70] had listed 0^0 together with other
expressions like 0/0 and oo - oo in a table of undefined forms.
Libri's justification for the equation 0^0 = 1 was far from
convincing, and a commentator who signed his name simply ``S'' rose
to the attack [45]. August Mvbius [36] defended Libri, by presenting
his former professor's reason for believing that 0^0 = 1 (basically
a proof that lim_(x --> 0+) x^x = 1 ). Mvbius also went further and
presented a supposed proof that lim_(x --> 0+) f(x)^(g(x)) whenever
lim_(x --> 0+) f(x) = lim_(x --> 0+) g(x) = 0 . Of course ``S'' then
asked [3] whether Mvbius knew about functions such as f(x) =
e^(-1/x) and g(x) = x . (And paper [36] was quietly omitted from the
historical record when the collected words of Mvbius were ultimately
published.) The debate stopped there, apparently with the conclusion
that 0^0 should be undefined.
But no, no, ten thousand times no! Anybody who wants the binomial
theorem (x + y)^n = sum_(k = 0)^n (n\choose k) x^k y^(n - k) to hold
for at least one nonnegative integer n must believe that 0^0 = 1 ,
for we can plug in x = 0 and y = 1 to get 1 on the left and 0^0 on
the right.
The number of mappings from the empty set to the empty set is 0^0 .
It has to be 1.
On the other hand, Cauchy had good reason to consider 0^0 as an
undefined limiting form, in the sense that the limiting value of
f(x)^(g(x)) is not known a priori when f(x) and g(x) approach 0
independently. In this much stronger sense, the value of 0^0 is less
defined than, say, the value of 0 + 0 . Both Cauchy and Libri were
right, but Libri and his defenders did not understand why truth was
on their side.
[3] Anonymous and S ... Bemerkungen zu den Aufsatze |berschrieben,
`Beweis der Gleichung ... , nach J. F. Pfaff', im zweiten Hefte
dieses Bandes, S. 134, Journal f|r die reine und angewandte
Mathematik, 12 (1834), 292-294.
[5] Oe uvres Complhtes. Augustin-Louis Cauchy. Cours d'Analyse de
l'Ecole Royale Polytechnique (1821). Series 2, volume 3.
[33] Guillaume Libri. Mimoire sur les fonctions discontinues,
Journal f|r die reine und angewandte Mathematik, 10 (1833),
303-316.
[36] A. F. Mvbius. Beweis der Gleichung 0^0 = 1 , nach J. F. Pfaff.
Journal f|r die reine und angewandte Mathematik,
12 (1834), 134-136.
[45] S ... Sur la valeur de 0^0 . Journal f|r die reine und
angewandte Mathematik 11, (1834), 272-273.
References
Knuth. Two notes on notation. (AMM 99 no. 5 (May 1992), 403-422).
H. E. Vaughan. The expression ' 0^0 '. Mathematics Teacher 63 (1970),
pp.111-112.
Louis M. Rotando and Henry Korn. The Indeterminate Form 0^0 .
Mathematics Magazine, Vol. 50, No. 1 (January 1977), pp. 41-42.
L. J. Paige,. A note on indeterminate forms. American Mathematical
Monthly, 61 (1954), 189-190; reprinted in the Mathematical
Association of America's 1969 volume, Selected Papers on Calculus, pp.
210-211.
Baxley &Hayashi. A note on indeterminate forms. American Mathematical
Monthly, 85 (1978), pp. 484-486.
_________________________________________________________________
alop...@barrow.uwaterloo.ca
Tue Apr 04 17:26:57 EDT 1995
Florian Baumann
Ola Jochen,
JH>Wenn ich mich nicht täusche hat bereits Cantor gezeigt daß es keine
JH>bijektive Abbildung f:IN -> IN x IN gibt.
Das ist Kappes. Für jede _abzählbar unendliche_ Menge gibt es eine
Bijektion auf die natürlichen Zahlen.
Flups
--
Die 332. Erwerbsregel: Fido heißt jetzt Twits, sonst ändert sich nix!
Edgar Fuss
Was eine Tautologie, weil die Definition von ,,abzählbar``, ist.
Florian Baumann
Das überzeugt mich trotzdem noch nicht. Halten wir es doch so: Wo es
Sinn macht, 0^0=1 zu definieren, da soll man es biddeschön tun. Wo es
keinen Sinn macht (bzw. wo es Sinn macht, es nicht zu tun), da soll man
es unterlassen.
Flups
Florian Baumann
Ola Werner,
WS>um genau zu sein: "unendlich viele"
Abzählbar oder überabzählbar unendlich viele 8)
Flups
Lars Schewe
Hallo Flups!
So steht es eigentlich da drin. Kein Widerspruch zur FAQ.
Lars
Oliver Bonten
FB>Das ist Kappes. Für jede _abzählbar unendliche_ Menge gibt es eine
FB>Bijektion auf die natürlichen Zahlen.
Das ist die Definition der Abzählbarkeit. Daß NxN abzählbar ist, das ist es,
was Cantor bewiesen hat.
Hälsningar ob
Felix Holderied
Oliver Bonten wrote:
> Das ist die Definition der Abzaehlbarkeit.
> Daß NxN abzaehlbar ist, das ist es, was Cantor bewiesen hat.
Stelle Cantors Licht nicht unter den Scheffel. Die Abzaehlbarkeit
von NxN ist ja trivial. Cantor hat unter anderem bewiesen, dass R
nicht abzaehlbar ist und dass es unendlich viele unendliche
"Maechtigkeiten" gibt. Das ist nicht ganz so trivial.
Felix
Oliver Bonten
FH>Stelle Cantors Licht nicht unter den Scheffel.
Habe ich etwa geschrieben, Cantor habe nichts anderes gemacht außer ... ?
Hälsningar ob
josef kunz
hallo Edgar
> Was eine Tautologie, weil die Definition von ,,abzählbar``, ist.
gruss
josef