MOR for Structural Dynamics

[vitaly333]

Здравствуйте Евгений,

Видел несколько ваших статей на тему MOR.

В MOR for Ansys вы пишите, что используете moment matching , основанный на блочном алгоритме Арнольди. Вы пишите что он очень эффективен.

Мне интересна эта тема. Меня интересует вот что. Возможно ли применение этого алгоритма  для редукции обобщенной симметричной проблемы высоко порядка, полученной после дискретизации из Structural Mechanics FEM (задачи строительной механики). Т.е.

K-l*M=0  (без демпфирования)

K,M - вещественные, симметричные, высокого порядка.
Или только для Second Order Systems?

С уважением,  Виталий.

[vitaly333]

Или только для Second Order Systems?

Неправильно задал вопрос.
Ответ тут:
http://modelreduction.com/ModelReduction/Linear.html

На самом деле хотел спросить так:
Или только для MEMS-систем?

[Evgenii Rudnyi]

On 28.01.2014 12:51 vitaly333 said the following:

Технология разработана математиками для произвольной линейной системы.
Соотвественно, все работает также для других систем.

Если вас интересуют системы из механики, хороший отправной пункт - это
известные методы для редукции моделей, разработанные механиками: mode
superposition, Guyan reduction, CMS. Эти методы должны быть включены
непосредственно в ПО, связанное с конечными элементами для механики. В
случае механических моделей данные методы работают вполне приемлимо.

Евгений

[vitaly333]

Технология разработана математиками для произвольной линейной системы.
Соотвественно, все работает также для других систем.

А есть где-нибудь описание технологии для линейных механических систем? А то я видел только для Second Order.
Точнее для редукции механической системы в постановке обобщенной алгебраической проблемы СЗ и СВ?
 

Если вас интересуют системы из механики, хороший отправной пункт - это
известные методы для редукции моделей, разработанные механиками: mode
superposition, Guyan reduction, CMS. Эти методы должны быть включены
непосредственно в ПО, связанное с конечными элементами для механики. В
случае механических моделей данные методы работают вполне приемлимо.  

Да, я неплохо знаком с этой группой методов.
Нужно  выполнить обзор и сравнение нескольких подходов.

[Evgenii Rudnyi]

On 29.01.2014 22:10 vitaly333 said the following:

>
>
>> Технология разработана математиками для произвольной линейной
>> системы. Соотвественно, все работает также для других систем.
>>
>
> А есть где-нибудь описание технологии для линейных механических
> систем? А то я видел только для Second Order. Точнее для редукции
> механической системы в постановке обобщенной алгебраической проблемы
> СЗ и СВ?
>

Мой ответ был не про собственные значения, а про динамическую систему
(передаточную функцию.)

Если говорить про собственный значения, то идея заключается в том,
чтобы сделать редукцию моделей и найти собственные значение в
редуцируемой модели.

Посмотрите вот эту диссертацию

Koutsovasilis, P.: Model Order Reduction in Structural Mechanics -
Coupling the Rigid and Elastic Multi Body Dynamics. Dissertation,
Technische Universität Dresden, 2009.

http://www.qucosa.de/recherche/frontdoor/?tx_slubopus4frontend%5Bid%5D=2455

Это пожалуй все, что я видел к вашему вопросу.

Евгений

[vitaly333]

Мой ответ был не про собственные значения, а про динамическую систему
(передаточную функцию.)

Если говорить про собственный значения, то идея заключается  в том,
чтобы сделать редукцию моделей и найти собственные значение в
редуцируемой модели.

Посмотрите вот эту диссертацию

Koutsovasilis, P.: Model Order Reduction in Structural Mechanics -
Coupling the Rigid and Elastic Multi Body Dynamics. Dissertation,
Technische Universität Dresden, 2009.

http://www.qucosa.de/recherche/frontdoor/?tx_slubopus4frontend%5Bid%5D=2455

Это пожалуй все, что я видел к вашему вопросу.

Евгений

Спасибо за материал, Евгений. Просмотрел. Но и там не нашел нужной мне формулировки для . Может я плохо понял.

Я себя и вас немного запутал. Опишу для ясности постановку задачи в моей области (механика конструкций).
Уравнение движения механической системы описываются дифференциальными уравнениями 2-ого порядка (second order):
k*v(t) + c*v(t)/d(t) + m*v^2(t)/d^2t = p(t)    (1)
где, k*v(t) - вектор сил упругости; c*v(t)/d(t) - вектор сил диссипации (затухания); m*v^2(t)/d^2t - вектор сил инерции; p(t) - вектор внешних сил, действующих на конструкцию.
После применения МКЭ к (1) мы получаем дискретизированную матричную форму записи:
[K]*u + [C]*du*dt + [M]*d^2u/d^2t = R    (2)
[K],[M],[C] - матрицы жесткости,масс и демпфирования; u - вектор узловых перемещений, R - вектор внешней узловой нагрузки.
Далее мы рассматриваем (2) в упрощенном виде - в форме свободных колебаний без демпфирования:
K]*u + [M]*d^2u/d^2t = 0           (3)
Для перехода к алгебраическим уравнениям мы используем разложение вектора перемещений по собственным формам:
U = f*sin*w(t-t0)                      (4)
Подставляя (4) в (3) получаем обобщенную алгебраическую проблему СЗ и СВ:
([K]-w^2*[M])z=0                      (5)
Размерность (5) может быть высокой и равна числу степеней свободы КЭМ. w^2 - частоты свободных колебаний (СЗ); z - формы колебаний (СВ)
 Уже далее к (5) применяется какой-либо редукционный метод для получения ROM:
(Kr-h^2Mr)g=0                        (6)
В которой СЗ будут близки h ~ w. А размерность намного меньше исходной.

Те методы MOR. разработанные механиками, применяются именно к (5).
MOR методы, разработанные математиками из области LTI - систем , как я понял, применяются  к немного другой формулировке задачи:
[K]*z + [C]*dz*dt + [M]*d^2z/d^2t = Q*u    (7)
y = L*z

Хотя, Koutsovasilis пишет что она аналогична (2).
В тоже время, я нашел в его работе след. информацию:

In structural mechanics the system of equations derived by the FEM is a set of
second-order ODEs or DAEs. In this case, the direct utilization of Padé and Padé-type
approximations or the balancing-related truncation techniques is not advised. The reason
is that the ROM does not preserve the second-order structure of the original model,
e.g. the definiteness properties of the system matrices are damaged. Therefore, reduction
schemes for systems in second-order form have been developed.


И потом в главе 2.6:
A direct application of either
the KSM or the BT method for reducing the order of mechanical MBS is not advised,
since there is no guarantee for the preservation of the ROM’s structure. Thence, several
modifications to the basic KSM [107, 4, 17, 42] and BT [87, 28, 119] algorithms are
necessary for the methods to be applicable in structural mechanics.

Одна из ссылок ведет на вашу работу в соавторстве:
[42] Eid, R., Salimbahrami, B., Lohmann, B., Rudnyi, E. B., Korvink, J. G. Parametric
Order Reduction of Proportionally Damped Second Order Systems. Technical
Report on Automatic Control, Vol. TRAC-1, Technische Universität München,
2006.

Пока, честно говоря для меня остается не ясным, возможно ли приминить этот подход к редукции системы уравнений (5) и как.
Если у вас есть какая-либо дополнительная информация или соображения на этот счет, буду рад узнать ее.

 

[Evgenii Rudnyi]

Вначале следует более четко определить цель, поскольку задачи (1) и (5)
разные. Что вы хотите: найти собственные значения или аппроксимировать
динамическое поведение?

Несколько коменнтариев по поводу (1). Задача (5) у механиков в отношении
(1) можно представить в виде следующего примитивного алгоритма.

1) Найти собственные значения.
2) Взять несколько наименьших собственных векторов.
3) Спроецировать исходную систему (1) на эти собственные вектора.

Данный алгоритм не работает в общем случае и математики в целом им не
интересуются. Если говорить про передаточную функцию, то она зависит от
матриц входа и выхода, которые полностью игнорируются в (5).
Соотвественно математики нашли, что при проецировании лучше всего
использовать собственные значения Ханкеля, которые уже связаны с
матрицами входа и выхода и которые дают наилучшую аппроксимацию
передаточной фукнции. Можно также использовать векторы Арнольди, решение
с ними уже будет лучше, чем с собственными векторами, однако похуже, чем
с собственными значениями Ханкеля.

Интересный вопрос, который можно рассмотреть, почему же примитивный
алгоритм выше вообще работает в механике. Еще раз подчеркну, что этот
алгоритм не работает в общем случае (в общем случае ошибка аппроксимации
будет слишком большой).

Я понимаю, что это утверждение не очевидно для механиков, которые
считают алгоритм выше единственно возможных. Однако, чтобы убедиться в
этом надо просто рассмотреть систему второго порядка не из механики.
Возьмите акустику, электромагнетику или хотя бы даже пьецоэлектрик +
структура. Подумайте над этим. Это важно понять, поскольку в механике
идея о важности и исключительности собственных значений впитана с
молоком матери и отношение к ней среди механиков крайне некритичное.

[vitaly333]

Вначале следует более четко определить цель, поскольку задачи (1) и (5)
разные. Что вы хотите: найти собственные значения или аппроксимировать
динамическое поведение?

Цель - выполнить динамический анализ конструкции, а точнее, модальный анализ, в котором находятся частоты и формы колебаний.
Например, для оценки возможного резонанса. При этом не нужно находить весь спектр частот, а достаточно взять только несколько частот из нижней части спектра.
В вычислительном плане решается проблема СЗ и СВ в форме (5).
Для упрощения вычислений предлагается выполнить редукцию - т.е. аппроксимировать динамическое поведение конструкции в нижней части спектра частот.
Далее для этой редуцированной модели найти частоты и формы колебаний.

Несколько коменнтариев по поводу (1). Задача (5) у механиков в отношении
(1) можно представить в виде следующего примитивного алгоритма.

1) Найти собственные значения.
2) Взять несколько наименьших собственных векторов.
3) Спроецировать исходную систему (1) на эти собственные вектора.

Данный алгоритм не работает в общем случае и математики в целом им не
интересуются.

Что еще за общий случай?

Если говорить про передаточную функцию, то она зависит от
матриц входа и выхода, которые полностью игнорируются в (5).
Соотвественно математики нашли, что при проецировании лучше всего
использовать собственные значения Ханкеля, которые уже связаны с
матрицами входа и выхода и которые дают наилучшую аппроксимацию
передаточной фукнции. Можно также использовать векторы Арнольди, решение
с ними уже будет лучше, чем с собственными векторами, однако похуже, чем
с собственными значениями Ханкеля.

Интересный вопрос, который можно рассмотреть, почему же примитивный
алгоритм выше вообще работает в механике. Еще раз подчеркну, что этот
алгоритм не работает в общем случае (в общем случае ошибка аппроксимации
будет слишком большой).

Я понимаю, что это утверждение не очевидно для механиков, которые
считают алгоритм выше единственно возможных. Однако, чтобы убедиться в
этом надо просто рассмотреть систему второго порядка не из механики.
Возьмите акустику, электромагнетику или хотя бы даже пьецоэлектрик +
структура. Подумайте над этим. Это важно понять, поскольку в механике
идея о важности и исключительности собственных значений впитана с
молоком матери и отношение к ней среди механиков крайне некритичное.

Евгений

Евгений, мы с вами говорим о совершенно о разных областях. Я думаю что методы которые успешно работают в вашем случае, скорее не будут работать в моем и наоборот.
Вы говорите про MIMO системы из теории контроля,электромеханики и.т.д. У меня совсем другая область - строительные конструкции.  Здесь, действительно важно  знать для анализа частоты(СЗ) и  формы колебаний (СВ).
И они на порядки отличаются (даже с т.з. физического смысла) для объектов исследований из других областей (машиностроение,электромеханика и др.).

[Evgenii Rudnyi]

On 16.02.2014 22:11 vitaly333 said the following:

> Цель - выполнить динамический анализ конструкции, а точнее,
> модальный
> анализ, в котором находятся частоты и формы колебаний.

Видите, вначале надо определить цель динамического анализа. Если
сказать, что цель динамического анализа - это модальный анализ, то
предмета для обсуждения не останется. Если же сказать, что модальный
анализ используется для решения динамического анализа, который к
модальному анализму не сводится, то тогда возможно варианты.

Для размышления я бы предложил вам взглянуть на диссертацию (доступно в
Интернет)

R. S. Puri.
Krylov Subspace Based Direct Projection Techniques for Low Frequency,
Fully Coupled, Structural Acoustic Analysis and Optimization.
PhD Thesis, 2008, Oxford Brookes University.

где также рассматривается система второго порядка

M dx2/dt2 + E dx/dt + K x = Bu

однако для случая FSI на уровне акустики. Там в литобзоре много ссылок
на попытки использования модального анализа. Результаты однако не
впечатляют.

> Что еще за общий случай?

Давайте рассмотрим систему второго порядка выше с матрицами, которые
сгенерированы генератором случайных чисел. В этом случае также можно
себе представить динамическую задачу. Попробуйте применить модальный
анализ в этом случае.

> Евгений, мы с вами говорим о совершенно о разных областях. Я думаю
> что методы которые успешно работают в вашем случае, скорее не будут
> работать в моем и наоборот. Вы говорите про MIMO системы из теории
> контроля,электромеханики и.т.д. У меня совсем другая область -
> строительные конструкции. Здесь, действительно важно знать для
> анализа частоты(СЗ) и формы колебаний (СВ). И они на порядки
> отличаются (даже с т.з. физического смысла) для объектов исследований
> из других областей (машиностроение,электромеханика и др.).

Видите, надо начать с того, чтобы определить цель динамического анализа
формально на уровне математики. Если цель анализа разная в случаях,
которые вы упомянули, тогда конечно, нужны разные методы. Если же однако
математически цель динамического анализа выглядит одинаково, тогда мне
непонятно в чем отличие. Ведь если задача выражена в формальной
математической форме, то математикам исходная физика не важна. Они в
конечном итоге решают формальные математические задачи формальными
математическими методами.

Евгений