Fibonacci Numbers around Us
Hareeshkumar K
ಅಲ್ಲಲ್ಲಿ ಇಣುಕುವ ಫಿಬೋನಾಸಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು
ನಿತ್ಯದ ಬದುಕಿನಲ್ಲಿ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಕಾಣಸಿಗುವ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮಹತ್ವ ಏನು?
ನೀವು ಯಾವುದಾದರೂ ಇಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯನ್ನೋ ಅಥವಾ ಯಾವುದಾದರೂ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಲ್ಯಾಂಗ್ವೇಜ್ ಕಲಿಯುತ್ತಿರುವ ವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನೋ ಒಮ್ಮೆ ಮಾತನಾಡಿಸಿ,” ಫಿಬೋನಾಸಿ ಸೀರೀಸ್ ಅಂದರೆ ಏನು ಅಂತ ಗೊತ್ತೇನು ಸಾಹೇಬರೇ? ” ಎಂದು ವಿಚಾರಿಸಿ ನೋಡಿ. ಅವರು ಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ, ”ಹೌದು ಹೌದು, ಫಿಬೋನಾಸಿ ಸೀರೀಸ್ ಅಂದರೆ, ಸೊನ್ನೆ, ಒಂದು ಅಂತ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. 0, 1, 1, 2, 3, 5…. ಈ ಕ್ರಮದಲ್ಲೇ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ“ ಎಂದು ಹೇಳದಿದ್ದರೆ ಹೇಳಿ!
ಆದರೆ, ಈ ಫಿಬೋನಾಸಿ ಸೀರೀಸು ನಿಜ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾದರೂ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆಯೋ ಹೇಗೆ ಎಂದು ಕೇಳಿದರೆ 99% ಜನರು ಇಲ್ಲ / ಗೊತ್ತಿಲ್ಲ ಎಂದೇ ಹೇಳುತ್ತಾರೆ! ಇದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡ ಕುಚೋದ್ಯ ಅಂದರೆ, ನಾವು ಮತ್ತು ಅವರು ‘ಫಿಬೋನಾಸಿ ಸೀರೀಸ್’ ಅಂತ ಹೇಳುತ್ತಿರುವುದೇ ತಪ್ಪು ಉಚ್ಛಾರ, ವಿಚಾರ! ಕ್ರಿ.ಶ. ಹನ್ನೆರಡು – ಹದಿಮೂರನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಬದುಕಿದ್ದ ಲಿಯೋನಾರ್ಡೋ ಬೊನಾಚಿ ಅನ್ನುವ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ತಾನು ಬೊನಾಚಿಯ ಮಗ ಎಂದು ಶಿಸ್ತಾಗಿ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ‘ಫಿಬೋನಾಚಿ’ ಎಂದು ಬರೆದುಕೊಂಡು, ಕೊನೆಗೆ ಅದೇ ಹೆಸರಿನಿಂದಲೇ ಪ್ರಖ್ಯಾತನಾಗಿಬಿಟ್ಟ.
ಆದರೆ ನಮ್ಮ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಮೀಡಿಯಂ ಹುಡುಗರು ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಚರರ್ ಮಹೋದಯರು ಅದನ್ನು ಫಿಬೋನಾಸಿ ಎಂದು ತಪ್ಪಾಗಿ ಓದುತ್ತಾರೆ. ಇನ್ನು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸೊನ್ನೆ, ಒಂದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಈ ಸೀರೀಸ್, ಕ್ಷಮಿಸಿ, ಸೀಕ್ವೆನ್ಸಿನಲ್ಲಿ ನಂತರ ಬರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಹಿಂದಿನ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದರಲ್ಲಿ ಕ್ಷಮೆ ಕೇಳುವ ಸಂಗತಿಯಾದರೂ ಏನು ಎಂದು ಕೇಳುತಿದ್ದೀರ? ಹೌದು, ಒಂದರ ನಂತರ ಮತ್ತೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಂದು ನಿಯಮದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಬರೆಯುತ್ತ ಹೋಗುವುದನ್ನು ಗಣಿತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸೀಕ್ವೆನ್ಸ್ ಎಂದು ಗುರುತಿಸುತ್ತಾರೆ.
ಅದೇ ಒಂದು ನಿಯಮದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೂಡಿಸುತ್ತ ಮುಂದುವರಿದರೆ ಅದು ಸೀರೀಸ್ ಅನಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, 1+2+3+4+5+…. ಇದು ಸೀರೀಸ್ ಆದರೆ, 1,2,3,4,5…. ಇದು ಸೀಕ್ವೆನ್ಸ್ ಆಗುತ್ತದೆ. ಫಿಬೋನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದು ಹಿಂದಿನ ಎರಡು ಫಿಬೋನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೊತ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಹೊರತು, ಅವುಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವಾಗ ಒಂದಕ್ಕೊಂದನ್ನು ಕೂಡಿಸುತ್ತ ಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಫಿಬೋನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸೀಕ್ವೆನ್ಸ್ ಆಗುತ್ತವೆ ಹೊರತು ಸೀರೀಸ್ ಅಲ್ಲ.
ಆದರೆ ನಮ್ಮ ಶಾಲಾಕಾಲೇಜುಗಳಲ್ಲಿ ಲಿಯೋನಾರ್ಡೋ ಬೊನಾಚಿಯನ್ನು ಫಿಬೋನಾಸಿ ( ಫಿಬೋನಾಚಿ ಅಂತ ಸಹ ಅಲ್ಲ! ) ಎಂದು ಸಂಬೋಧನೆ ಮಾಡುವುದರ ಮೇಲೆ, ಸೀಕ್ವೆನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸೀರೀಸ್ ಎಂದು ತಪ್ಪಾಗಿ ಕಲಿಸುತ್ತಾರೆ. ಅದೆಲ್ಲ ಇರಲಿ, ಈಗ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ತುಸು ಕಣ್ಣುಹಾಯಿಸೋಣ. ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆ ಸೊನ್ನೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಒಂದು ಮತ್ತು ನಂತರದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ತಮ್ಮ ಹಿಂದಿನ ಎರಡು ಫಿಬೋನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ. ಈ ನಿಯಮದ ಮೇಲೆ ನೋಡುವುದಾದರೆ, ಮೂರನೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಹ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ( 0+1=1 )
ನಾಲ್ಕನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೂಡಿಸಬೇಕು. ಅಂದರೆ 1+1=2. ಹಾಗೆಯೇ ಐದನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಾಲ್ಕನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಬೇಕು. ಅಂದರೆ, 1+2=3. ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಫಿಬೋನಾಚಿ ಸೀಕ್ವೆನ್ಸ್ ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ಬರುತ್ತದೆ – 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…. (ಹೀಗೆಯೇ ಮುಂದುವರೆಯುತ್ತದೆ)
ಕ್ರಿ.ಶ. ಹತ್ತೊಂಬತ್ತು – ಇಪ್ಪತ್ತನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಇಂಗ್ಲೆಂಡಿನಲ್ಲಿ ಜೀವಿಸಿದ್ದ, ಗಣಿತೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕುವುದರಲ್ಲಿ ನಿಸ್ಸೀಮನಾಗಿದ್ದ ಹೆನ್ರಿ ಡ್ಯೂಡ್ನಿ ಅನ್ನುವವನು ಕೇಳಿದ ಒಂದು ಪ್ರಶ್ನೆ ಇದು – “ಈಗಷ್ಟೇ ಹುಟ್ಟಿದ ಹೆಣ್ಣುಕರುವೊಂದು ಎರಡು ವರ್ಷದಲ್ಲಿ ಹೆಣ್ಣುಕರುವನ್ನೇ ಹಾಕುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿಂದ ಪ್ರತಿ ವರ್ಷವೂ ಒಂದು ಹೆಣ್ಣುಕರುವನ್ನೇ ಹಾಕುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಹಾಗಾದರೆ, ಹತ್ತು ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ನಿಮ್ಮ ಹತ್ತಿರ ಇರುವ ಒಟ್ಟೂ ಆಕಳು / ಕರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಷ್ಟು? “
ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಹತ್ತು ವರ್ಷಗಳ ತನಕವೂ ಒಂದೂ ಕರು / ಹಸು ಯಾವುದೇ ಕಾರಣದಿಂದಲೂ ಸಾಯುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಹೊಸದಾಗಿ ಹುಟ್ಟಿದ ಕರು ಸಹ ಎರಡು ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಬೆಳೆದು ಮೇಲಿನ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿಯೇ ತಾನೂ ಕರು ಹಾಕಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತದೆ ಅನ್ನುವುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಉತ್ತರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಯತ್ನಿಸಬೇಕು. ಫಿಬೋನಾಚಿ ಸೀಕ್ವೆನ್ಸ್ ಬಗ್ಗೆ ಅರಿವಿಲ್ಲದವರಿಗೆ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು ಕಷ್ಟವಾಗಬಹುದು. ಆದರೆ ನಾವು – ನೀವು ಈ ಸಮಸ್ಯೆ ಕೇಳಿದ ತಕ್ಷಣವೇ ಹತ್ತು ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ಹತ್ತಿರ ಎಂಭತ್ತೊಂಬತ್ತು ಕಾಮಧೇನುಗಳು ಓಡಾಡಿಕೊಂಡು ಮನೆಯನ್ನು ನಂದನವನವನ್ನಾಗಿಸಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು!
ಫಿಬೋನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ವಿಚಿತ್ರ ಗುಣಗಳೂ ಇವೆ. ಈ ಸೀಕ್ವೆನ್ಸಿನಿಂದ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಅನುಕ್ರಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿ. ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗುಣಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 8, 13, 21 ಇವು ಅನುಕ್ರಮ ಫಿಬೋನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 8X21 = 168. 13X13=169. 169 – 168 = 1. ಇಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲ, ಸೀಕ್ವೆನ್ಸಿನಿಂದ ಯಾವುದೇ ನಾಲ್ಕು ಅನುಕ್ರಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿ. ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗುಣಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯದ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ದದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸಹ 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 8, 13, 21, 34 ಇವು ಅನುಕ್ರಮ ಫಿಬೋನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. 8X34 = 272. 13X21 = 273. 273 – 272 = 1. ಮಜವಾಗಿದೆ ಅಲ್ಲವೇ?
Ramachandra BK
--
-----------
1.ವಿಷಯ ಶಿಕ್ಷಕರ ವೇದಿಕೆಗೆ ಶಿಕ್ಷಕರನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಈ ಅರ್ಜಿಯನ್ನು ತುಂಬಿರಿ.
-https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSevqRdFngjbDtOF8YxgeXeL8xF62rdXuLpGJIhK6qzMaJ_Dcw/viewform
2. ಇಮೇಲ್ ಕಳುಹಿಸುವಾಗ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಕೆಲವು ಮಾರ್ಗಸೂಚಿಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನೋಡಿ.
-http://karnatakaeducation.org.in/KOER/index.php/ವಿಷಯಶಿಕ್ಷಕರವೇದಿಕೆ_ಸದಸ್ಯರ_ಇಮೇಲ್_ಮಾರ್ಗಸೂಚಿ
3. ಐ.ಸಿ.ಟಿ ಸಾಕ್ಷರತೆ ಬಗೆಗೆ ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿದ್ದಲ್ಲಿ ಈ ಪುಟಕ್ಕೆ ಭೇಟಿ ನೀಡಿ -
http://karnatakaeducation.org.in/KOER/en/index.php/Portal:ICT_Literacy
4.ನೀವು ಸಾರ್ವಜನಿಕ ತಂತ್ರಾಂಶ ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದೀರಾ ? ಸಾರ್ವಜನಿಕ ತಂತ್ರಾಂಶದ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಯಲು -http://karnatakaeducation.org.in/KOER/en/index.php/Public_Software
-----------
---
You received this message because you are subscribed to the Google Groups "Maths & Science STF" group.
To unsubscribe from this group and stop receiving emails from it, send an email to mathssciences...@googlegroups.com.
To view this discussion on the web, visit https://groups.google.com/d/msgid/mathssciencestf/CAGaP5AYi-AQWcdKuoe5bGd992QUy%3Dwd-tb60eE%2Byv_x6MWOUcw%40mail.gmail.com.
Krishnamurthy Bhat
To view this discussion on the web, visit https://groups.google.com/d/msgid/mathssciencestf/CAM%3DeBfqWSKZG6Er7wmRn8aN_jR7DXGWc83KMprszVW%2B6woJ_dA%40mail.gmail.com.
Aravind Javalagi
--
-----------
1.ವಿಷಯ ಶಿಕ್ಷಕರ ವೇದಿಕೆಗೆ ಶಿಕ್ಷಕರನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಈ ಅರ್ಜಿಯನ್ನು ತುಂಬಿರಿ.
-https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSevqRdFngjbDtOF8YxgeXeL8xF62rdXuLpGJIhK6qzMaJ_Dcw/viewform
2. ಇಮೇಲ್ ಕಳುಹಿಸುವಾಗ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಕೆಲವು ಮಾರ್ಗಸೂಚಿಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನೋಡಿ.
-http://karnatakaeducation.org.in/KOER/index.php/ವಿಷಯಶಿಕ್ಷಕರವೇದಿಕೆ_ಸದಸ್ಯರ_ಇಮೇಲ್_ಮಾರ್ಗಸೂಚಿ
3. ಐ.ಸಿ.ಟಿ ಸಾಕ್ಷರತೆ ಬಗೆಗೆ ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿದ್ದಲ್ಲಿ ಈ ಪುಟಕ್ಕೆ ಭೇಟಿ ನೀಡಿ -
http://karnatakaeducation.org.in/KOER/en/index.php/Portal:ICT_Literacy
4.ನೀವು ಸಾರ್ವಜನಿಕ ತಂತ್ರಾಂಶ ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದೀರಾ ? ಸಾರ್ವಜನಿಕ ತಂತ್ರಾಂಶದ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಯಲು -http://karnatakaeducation.org.in/KOER/en/index.php/Public_Software
-----------
---
You received this message because you are subscribed to the Google Groups "Maths & Science STF" group.
To unsubscribe from this group and stop receiving emails from it, send an email to mathssciencestf+unsubscribe@googlegroups.com.