階段行列の一意性
Maraigue
入門線形代数（三宅敏恒 著、私が大学1年のときに使った教科書）にて、階段行列が一意に決まること
の証明が述べられていました。
で読んでみたのですが、いまいち証明が分かりませんでした。
内容としてはベクトルの一次独立・一次従属の性質を使っているようです。
大学の図書館で借りてきたので、次回の勉強会に持っていきます。
【余談】
この教科書では、基本行列というものはそもそも登場していませんでした。
この教科書での「Aがn次正方行列のとき、rank(A)=n ⇔ Aは正則」の証明は、連立一次方程式が唯一の
解を持つ条件
rank(A,b)=rank(A)=n
と、勉強会で使っている教科書の練習問題3.2(2)
A, Bがn次正方行列で、AB=I ならば、
AとBはともに正則で、一方が他方の逆行列である
（これはrankの性質とは独立に、行列式の性質【勉強会で使っている教科書の定理4.7】を用いて証明で
きる）を組み合わせて導いていました。
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H.Hiro / Maraigue
http://hhiro.net/about/
mara...@mail.goo.ne.jp
ryosuke ueda
勉強会で使っている教科書の定義では一意に決まるようですね。
一意に決まらない定義をしている教科書もあるようです。
「一般的に階段行列を定義することは難しい」らしいです。
参考 www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/linear/linear2.pdf
Maraigue
> A, Bがn次正方行列で、AB=I ならば、
> AとBはともに正則で、一方が他方の逆行列である
> （これはrankの性質とは独立に、行列式の性質【勉強会で使っている教科書の定理4.7】を用いて証明
で
> きる）を組み合わせて導いていました。
定理4.7自体はrankの性質とは独立ではないですね。失礼しました。
ちょっと三宅先生の教科書を読んで、どういう流れなのか確認しておきます。
Maraigue
ちなみに三宅先生の教科書では、勉強会で使っている教科書でいう「階段行列」と同じ意味で、「簡約
化された行列」という言葉を使っていました。
勉強会で使っている教科書の階段行列は、「ある意味で利用しやすい階段行列」ということであの定義
を採用したのかもしれませんね。
Brenhilt
現在使っている共立の「行列と連立一次方程式」に記載されている階段行列の導出方法だと一意に定まりません．
なので，まえはなさんのtwitterへのPost(http://twitter.com/sandinist/status/
3360749379)への回答も「定まらない」ということになります．
うえださんがおっしゃってるように，教科書によって用語から導出方法まで様々な方法を用いているので他の書籍の場合がどうなるか，といったことに関して
は，
これとはまた異なった結果になると思いますが．
三宅線形の方は所持してないので確認していませんが，証明部分のみを見た限りだと導出方法がそもそも違う感じがします．
追記：
佐武線形代数だと，“階段行列” も “簡約化された行列” も出てきません．
Maraigue
これは、一意に定まらないことの証明あるいは反例が何かあったのでしょうか？
なお補足ですが、私が以前ML上でお話した教科書（三宅先生のもの）でいう「簡約化された行列」は、
勉強会で扱っている「階段行列」と（おそらく）完全に同じ定義であることことを付け加えておきます
。
> 宗像です
>
> 現在使っている共立の「行列と連立一次方程式」に記載されている階段行列の導出方法だと一意に定
まりません．
> なので，まえはなさんのtwitterへのPost(http://twitter.com/sandinist/status/
> 3360749379)への回答も「定まらない」ということになります．
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Brenhilt
http://brenhilt.com/data/chap2-2.pdf
http://brenhilt.com/data/chap2-2.dvi
http://brenhilt.com/data/chap2-2.tex
ファイル形式が違うだけで内容は同じです．
Brenhilt
最後の処理忘れてました……．
uniquenessは保たれますね……すいません……