絶対収束/条件収束する級数の項の並べ替え

[H.Hiro(Maraigue)]

H.Hiroです。

私が大学2年のときに使っていたテキスト（井上純治、勝股脩、林実樹広「級数」、共立出版 http://www.amazon.co.jp/dp/4320015878）を読んでいたら、今回のテキストでは扱われていない「級数の項の並べ替え」という話題があったことに気づいたので、個人的に勉強してました。

で出てきたのが、以下の性質でした。
(1) 級数 Σ a_n が絶対収束するとき、この級数の項を並べ替えても級数の値は変わらない。
(2) 級数 Σ a_n が条件収束するとき、この級数の項を適当に並べ替えることで、その値を任意の実数にできる。

「級数の項の順序を並び替えても値は変わらないんじゃない？」というのが自然な感覚なのですけど、それが保証されるのは絶対収束する場合に限られる、というのが興味深いところです。しかも条件収束であれば、うまく並び替えることで値を自由に変えられるというのです。

例えば 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ... を並べ替えて、1 + 1/3 - 1/2 + 1/5 + 1/7 - 1/4 + （正負交互ではなく、正2項・負1項の順で並べる）としただけでも、級数の値は変わります（前者はln 2、後者は(3 ln 2)/2）。

まとめたものはここに書きました。
http://nazolab.net/notes/n/279

[小南秀一郎]

Hiroさん、　小南です。　

 

とっても面白いですね、定理１は最初無限級数の項を並び替えるってイメージが浮かばなかったのですが証明見て理解できました。定理２はもっとわくわくしますね。ところで質問が２つ。定理１の証明で正の項と負の項それぞれの級数が収束するのは「解析入門」の定理４２から判るのですが、その和が元の級数に等しいというのは無限和の場合には’直には’言えないように思うのでうすが共立のテキストにはこの証明がありますか、多分一般の級数の場合にはこうならなくて正項級数の場合はこうなるのかなと思ったりするのですが。それから定理２の証明で正項の級数も負項の級数も両方発散するというのはやはり’直に’言えるのでしょうか。片方だけ発散するというのもあるような気がするのですが。’直ちに’でいつもひっかかってしまう小南からの質問です。今度お会いした時にでも教えてください。

 

2013年5月15日水曜日 14時51分42秒 UTC+9 H.Hiro(Maraigue):

[小南秀一郎]

Ｈｉｒｏさん　　小南です。

 

定理１の方の疑問は自分でなんとか証明らしきものが出来ました。　絶対収束すればイコールになるんですね。　定理２の方の疑問はまだ解けません。

 

2013年5月15日水曜日 14時51分42秒 UTC+9 H.Hiro(Maraigue):

[小南秀一郎]

 

Hiroさん。　小南です。　定理２の方の疑問も一応解決しました。　お騒がせしてすみませんでした。　なんか自問自答の一人相撲になってしまいました。

 

ちなみに私の考えた証明（やってみると証明という程のものではないですが）の概要は以下のとおりです。

 

定理１の方の疑問は　正項の無限和をＳ　負項の無限和をＴ　元の級数の無限和をＵ。ｎまでの和をそれぞれＳｎ、Ｔｎ、Ｕｎとすると。

Ｎを十分大きくとれば、Ｕｎ＜Ｓ＋Ｔ＋－e＋－e<S＋Ｔ＋－2e

 

定理２の方の疑問は　ケース１：ＳもＴも収束、ケース２：どちらかが収束、他方が発散、ケース３：両方発散（これで全ての場合を網羅している）

ケース１は絶対収束してしまう。ケース２はＵが発散してしまう。したがってケース３しかない。

 

多分合っていると思うのですが。

 

 

2013年5月15日水曜日 14時51分42秒 UTC+9 H.Hiro(Maraigue):

[小南秀一郎]

 

すみません、小南です。またまたお騒がせ。

 

定理１の疑問の証明、最後の式は

 

　Ｓ＋Ｔ－２ｅ＜Ｕ＜Ｓ＋Ｔ＋２ｅ　（ｅはεのつもり）　　

 

でした。

 

2013年5月15日水曜日 14時51分42秒 UTC+9 H.Hiro(Maraigue):