Brincando com dígitos
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Sergio Alvarez
Oct 28, 2009, 12:37:23 AM10/28/09
to matematic...@googlegroups.com
Problema. Retiramos o primeiro dígito do número 7^1996 e somamos esse dígito ao número que restou. Repetimos essa operação até que resulte um número de 10 dígitos. Prove que esse número tem dois dígitos iguais.
Como alguém pode dizer que os matemáticos não têm senso de humor?
Como alguém pode dizer que os matemáticos não têm senso de humor?
Cristiano Santos Benjamin
Oct 28, 2009, 3:06:24 PM10/28/09
to Matemática Radical
Bom.. eis aqui a solução:
Assim como o outro problema utilizei a noção de congruencia mod m. E
pra esse caso particular usei m=3.
Temos que 7=1 mod3 e consequentemente 7^1996=1 mod3. Seja n o número
de dígitos de 7^1996. Seja a_1 o primeiro dígito e a_n o último. Seja
k=a_1+...+a_n. Pelo critério de divisibilidade por 3 teremos que k=1
mod3. Se retirarmos o primeiro dígito e somarmos ao novo número obtido
pode acontecer duas coisas:
1) Se a_1+a_n<10 temos que a soma dos dígitos do novo número também é
igual a k.
2) Se a_1+a_n>9 o que acontece ao somarmos a_1 a esse novo número é
que iremos somar 1 ao dígito a_(n-1), ou seja, a casa das dezenas, e
ficaremos com [a_1+a_n -10] como último dígito. A soma dos digitos
desse novo número será a_2+a_3+...+a_(n-2)+[a_(n-1)+1]+[a_1+a_n-10]
=k-9=k mod3 e por sua vez k-9=1 mod3.
OBS: Se acontecer de a_(n-1)+1>9 repetimos o procedimento acima
usando 1 no lugar de a_1, a_(n-2) no lugar de a_(n-1) e a_(n-1) no
lugar de a_n e a soma do novo número continuará sendo congruente a 1
mod3.
Repetindo todo esse processo até restar somente 10 dígitos teremos que
a soma desses dez dígitos será congruente a 1 mod3. Se acontecesse
desses 10 dígitos serem todos distintos teríamos que a soma deles
seria igual a 1+2+3+4+5+6+7+8+9+0=45 que não é congruente a 1 mod3.
Logo eles não podem ser todos distintos. Tem que haver pelo menos dois
iguais.
Assim como o outro problema utilizei a noção de congruencia mod m. E
pra esse caso particular usei m=3.
Temos que 7=1 mod3 e consequentemente 7^1996=1 mod3. Seja n o número
de dígitos de 7^1996. Seja a_1 o primeiro dígito e a_n o último. Seja
k=a_1+...+a_n. Pelo critério de divisibilidade por 3 teremos que k=1
mod3. Se retirarmos o primeiro dígito e somarmos ao novo número obtido
pode acontecer duas coisas:
1) Se a_1+a_n<10 temos que a soma dos dígitos do novo número também é
igual a k.
2) Se a_1+a_n>9 o que acontece ao somarmos a_1 a esse novo número é
que iremos somar 1 ao dígito a_(n-1), ou seja, a casa das dezenas, e
ficaremos com [a_1+a_n -10] como último dígito. A soma dos digitos
desse novo número será a_2+a_3+...+a_(n-2)+[a_(n-1)+1]+[a_1+a_n-10]
=k-9=k mod3 e por sua vez k-9=1 mod3.
OBS: Se acontecer de a_(n-1)+1>9 repetimos o procedimento acima
usando 1 no lugar de a_1, a_(n-2) no lugar de a_(n-1) e a_(n-1) no
lugar de a_n e a soma do novo número continuará sendo congruente a 1
mod3.
Repetindo todo esse processo até restar somente 10 dígitos teremos que
a soma desses dez dígitos será congruente a 1 mod3. Se acontecesse
desses 10 dígitos serem todos distintos teríamos que a soma deles
seria igual a 1+2+3+4+5+6+7+8+9+0=45 que não é congruente a 1 mod3.
Logo eles não podem ser todos distintos. Tem que haver pelo menos dois
iguais.
Sergio Alvarez
Oct 28, 2009, 8:51:16 PM10/28/09
to matematic...@googlegroups.com
E a resposta está... (música de suspense)
A resposta está correta!!!
Valeu, Cris!
Agora, eu vou contar a solução de um jeito um pouquinho diferente (mas a idéia é essa mesmo).
Vamos começar analisando o problema.
É estabelecido um valor inicial (o número 7^1996) ao qual aplicamos repetidamente uma transformação (retirar o dígito inicial e somá-lo ao número restante). Assumimos que após um número finito de iterações obteremos um número de apenas 10 dígitos - esse é o valor final.
Devemos mostrar que o valor final possui uma certa propriedade (tem dois dígitos iguais).
Naturalmente, é inviável realizar esse processo manualmente. Precisamos de uma estratégia.
O seguinte princípio é bastante útil em situações como essa:
"Procure por alguma coisa que não varia com a transformação."
Parece mais um conselho espiritual, né? Talvez alguém tenha dito isso em algum filme de Kung Fu.
E então? Você retira o primeiro dígito do número e soma ao restante do número. O que não varia?
Vamos acabar com esse mistério: a soma dos dígitos, módulo 3, não varia. (Experimente alguns exemplos com números pequenos).
Pode parecer estranho, mas essa idéia é bastante razoável. Não tem nada especial. A transformação envolve os dígitos do número e ainda tem uma soma por aí. Além disso, a gente sabe muito bem que:
Todo número natural é congruente, módulo 3, à soma dos seus dígitos na base 10. (Verifique isso!)
Tudo bem, então. Vamos usar este invariante: a soma dos dígitos (na base 10), módulo 3.
Como 7 = 1 mod 3, temos 7^1996 = 1 mod 3. Então, a soma dos dígitos de 7^1996 é congruente a 1, módulo 3. E como esse valor não varia com a transformação, o a soma dos dígitos, módulo 3, do valor final (de 10 dígitos) também é 1.
Agora, como observou o Cris, se o valor final não tivesse dígitos repetidos, esse número seria formado por todos os algarismos de 0 a 9. Logo, a soma dos seus dígitos seria 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45. Mas, esse valor não é congruente a 1, módulo 3 (é congruente a zero).
Resulta que o valor final tem (pelo menos) dois dígitos repetidos.
Gostou desse problema? Você pode encontrar esse e muitos outros (com solução) no livro "Problem-Solving Strategies" de Arthur Engel, publicado pela Springer-Verlag.
Obs. A mesma estratégia que utilizamos para resolver este problema (procurar um invariante) também foi utilizada no problema das formigas. É isso aí, resolver problemas também tem um lado cultural. Lembre dos problemas que anda resolvendo, valorize sua cultura.
A resposta está correta!!!
Valeu, Cris!
Agora, eu vou contar a solução de um jeito um pouquinho diferente (mas a idéia é essa mesmo).
Vamos começar analisando o problema.
É estabelecido um valor inicial (o número 7^1996) ao qual aplicamos repetidamente uma transformação (retirar o dígito inicial e somá-lo ao número restante). Assumimos que após um número finito de iterações obteremos um número de apenas 10 dígitos - esse é o valor final.
Devemos mostrar que o valor final possui uma certa propriedade (tem dois dígitos iguais).
Naturalmente, é inviável realizar esse processo manualmente. Precisamos de uma estratégia.
O seguinte princípio é bastante útil em situações como essa:
"Procure por alguma coisa que não varia com a transformação."
Parece mais um conselho espiritual, né? Talvez alguém tenha dito isso em algum filme de Kung Fu.
E então? Você retira o primeiro dígito do número e soma ao restante do número. O que não varia?
Vamos acabar com esse mistério: a soma dos dígitos, módulo 3, não varia. (Experimente alguns exemplos com números pequenos).
Pode parecer estranho, mas essa idéia é bastante razoável. Não tem nada especial. A transformação envolve os dígitos do número e ainda tem uma soma por aí. Além disso, a gente sabe muito bem que:
Todo número natural é congruente, módulo 3, à soma dos seus dígitos na base 10. (Verifique isso!)
Tudo bem, então. Vamos usar este invariante: a soma dos dígitos (na base 10), módulo 3.
Como 7 = 1 mod 3, temos 7^1996 = 1 mod 3. Então, a soma dos dígitos de 7^1996 é congruente a 1, módulo 3. E como esse valor não varia com a transformação, o a soma dos dígitos, módulo 3, do valor final (de 10 dígitos) também é 1.
Agora, como observou o Cris, se o valor final não tivesse dígitos repetidos, esse número seria formado por todos os algarismos de 0 a 9. Logo, a soma dos seus dígitos seria 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45. Mas, esse valor não é congruente a 1, módulo 3 (é congruente a zero).
Resulta que o valor final tem (pelo menos) dois dígitos repetidos.
Gostou desse problema? Você pode encontrar esse e muitos outros (com solução) no livro "Problem-Solving Strategies" de Arthur Engel, publicado pela Springer-Verlag.
Obs. A mesma estratégia que utilizamos para resolver este problema (procurar um invariante) também foi utilizada no problema das formigas. É isso aí, resolver problemas também tem um lado cultural. Lembre dos problemas que anda resolvendo, valorize sua cultura.
2009/10/28 Cristiano Santos Benjamin <csbenja...@hotmail.com>
Cristiano Santos Benjamin
Oct 28, 2009, 9:22:52 PM10/28/09
to matematic...@googlegroups.com
Legal essa solução. Bem organizada, objetiva e uma linguagem não carregada
Date: Wed, 28 Oct 2009 21:51:16 -0300
Subject: Re: Brincando com dígitos
From: sergi...@gmail.com
To: matematic...@googlegroups.com
Date: Wed, 28 Oct 2009 21:51:16 -0300
Subject: Re: Brincando com dígitos
From: sergi...@gmail.com
To: matematic...@googlegroups.com
Você sabia que pode utilizar o Messenger de qualquer tipo de celular? Saiba mais.
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