Três formigas - solução

[Sergio Alvarez]

Três formigas estão sobre vértices distintos de um retângulo. Elas se movem, uma de cada vez, sempre em linha reta, paralelamente à reta determinada pelas outras duas. É possível que, após um número finito de movimentos, a posição de cada uma delas seja ponto médio de um dos lados do retângulo?

Solução. Não, não é possível. Pode tentar à vontade, que não dá!

Em cada movimento, a área do triângulo formado pelas formigas não varia: tome como base do triângulo o lado formado pelas duas formigas que ficam paradas. Então, a base não varia e a altura também não, uma vez que a terceira formiga move-se paralelamente à direção determinada pelas outras duas. Claramente, base e altura constantes => área constante.

Agora, veja:

Estado inicial - formigas sobre vértices distintos do retângulo:
   área do triângulo formado pelas formigas = 1/2*(área do retângulo)

Estado final - formigas sobre pontos médios de lados do retângulo:
   área do triângulo formado pelas formigas = 1/4*(área do retângulo)

Como a área é invariante, esse estado final não pode ser atingido em um número finito de etapas a partir do estado inicial.

Legal, né?
Até a próxima!