Cinco pontos em um quadrado

[Sergio Alvarez]

No interior da região delimitada por um quadrado de lado 1, tomamos 5 pontos distintos arbitrariamente. Mostre que existem dois pontos dentre estes, cuja distância seja no máximo 1/sqrt(2).

sqrt(2) = raiz quadrada de 2

Piada de última hora. Um lógico tinha acabado de sair da sala onde havia acompanhado o parto de sua esposa, quando lhe perguntaram:
- É menino ou menina?
E ele respondeu:
- Sim.

Não que eu ache graça disso... ;-)

[Cristiano Santos Benjamin]

Fui dormir ontem pensando no problema e hoje quando acordei tinha uma
solução (espero que esteja correta) e ela se baseia no princípio da
casa dos pombos: Se temos n gavetas e temos n+1 pombos e colocamos
esses pombos dentro dessas gavetas, não importando qual for a
arrumação, posso garantir que sempre haverá uma gaveta com no mínimo
dois pombos. Você deve tá se perguntando agora o que tem haver esse
princípio com o nosso problema. Mas eu te digo que tem tudo haver.
Vamos dividir o quadrado de lado 1 em quatro quadrados de lado 1/2.
Observem que a diagonal desses quadradinhos medem 1/sqrt(2) e a
distância máxima entre dois pontos dentro desse quadradinho é 1/sqrt
(2). Essa distância máxima só poderá ser obtida se pudermos colocar os
dois pontos sobre vértices opostos. Mas caso eu afirme que dos quartro
vértices eu possa colocar ponto sobre apenas um deles então eu tenho
que a distância entre qualquer dois pontos tem que ser menor do que 1/
sqrt(2). Sendo assim 1/sqrt(2) será a menor das cotas superiores para
essa distância. Observe que no nosso problema não podemos colocar
pontos sobre a fronteira da região limitada por esse quadrado. Na
nossa nova figura (o quadrado dividido em quatro menores) vamos
escolher um quadradinho qualquer e chamar a área limitada por ele de
Q1. Rodando no sentido anti-horário vamos nomear as áreas restantes
como sendo Q2, Q3 e Q4. Vamos supor também o lado em comum entre Q1 e
Q2 pertence a Q1 e não pertence a Q2, entre Q2 e Q3 pertence a Q2 e
não pertence a Q3, entre Q3 e Q4 pertence a Q3 e não pertence a Q4,
entre Q4 e Q1 pertence a Q4 e não pertence a Q1. O Centro do nosso
quadrado Q (o quadrado maior) iremos dizer que pertence somente a Q 1.
Obseve que Q1 possui somente um dos vertices de sua fronteira. Sendo
assim se eu colocar dois pontos quaisquer em Q1 a sua distância terá
que ser menor do que 1/sqrt(2) como consequencia do que falei no
início.Temos que Q2, Q3, Q4 não possui nenhum dos vértices de sua
fronteira, logo também concluímos que se eu colocar dois pontos em
algum deles teremos que a distancia entre os dois pontos terá que ser
menor do que 1/sqrt(2). Espero que tenha ficado claro o porque que não
incluímos os vértices externos nas nossas regiões Qi’s as nossas áreas
Qi’s. Agora nós temos 5 pontos pra ser distribuidos entre essas quatro
regiões e é aí que entra o princípio da casa dos pombos. Pelo o menos
dois pontos terá que pertencer a mesma região e logo a sua distância
será menor do que 1/sqrt(2). cqd

Gostei da piada. hahaha

[Sergio Alvarez]

É isso aí, Cris!

Divida o quadrado inicial em 4 quadradinhos iguais. Como há 5 pontos, o Princípio da Casa dos Pombos garante que haverá dois pontos no mesmo quadradinho.

Agora, observe que a maior distância entre dois pontos em um quadrado é a medida da sua diagonal. Como os quadradinhos têm lado 1/2, a diagonal deles mede 1/sqrt(2).

Resulta que a distância entre os tais dois pontos que estão no mesmo quadradinho é, máximo 1/sqrt(2).

Como o Cris observou, a distância 1/sqrt(2) não é atingida por nenhum par de pontos porque os pontos estão no interior do quadrado.

Obs. Na verdade, no lugar dos 4 quadradinhos, poderíamos utilizar outros subconjuntos do quadrado desde que fossem apenas 4 e tivessem todos diâmetro menor ou igual a 1/sqrt(2).
Na solução do Cris, esses subconjuntos foram escolhidos cuidadosamente para que fossem disjuntos mas isso não seria necessário. Pensem nisso: ter um pombo em várias casas não atrapalha!

2009/10/29 Cristiano Santos Benjamin <csbenja...@hotmail.com>