Em que triângulo esses pontos cabem?

[Sergio Alvarez]

São dados n pontos no plano. Quaisquer três pontos formam um triângulo de área <=1. Mostre que existe um triângulo de área <= 4 que contendo todos esses pontos.

Obs. O símbolo <= significa "menor ou igual"

[Sergio Alvarez]

Dica 1. Nós vamos construir um triângulo de área <= 4 contendo todos esses pontos.

Como essa dica ajuda?

Muitas vezes demonstramos a existência de um objeto matemático sem fornecer um procedimento para construí-lo efetivamente.

Por exemplo, a solução deste problema poderia começar assim: "Suponha que não exista um triângulo de área <=4 contendo todos os pontos." Então, teríamos que construir um argumento mostrando que essa suposição nos levaria a uma contradição. Nesse caso, a contradição poderia ser obtida verificando-se que dentre os pontos dados há um triângulo de área > 1.

Observe que uma solução desse tipo não indica como construir o objeto cuja existência desejamos demonstrar. Apenas garante a existência, porque a suposicão de que o objeto não existe leva a uma contradição.

Pois é... o que a dica diz é que a solução que eu vou mostrar para esse problema não é desse tipo. (Pode até ser possível resolver o problema dessa forma, mas eu mesmo nem tentei.)

2009/10/30 Sergio Alvarez <sergi...@gmail.com>

[Sergio Alvarez]

Dica 2. Essa situação exige uma medida extrema.

Essa abordagem funcionou bem no problema "Cada um com seu par". Lembram? Começamos escolhendo o homem que dançou com mais mulheres na festa... a discussão completa está na homepage do grupo:

http://groups.google.com/group/matematica-radical

Momento de reflexão. "Eu sou eu, e vice-versa" (Falcão)

2009/10/31 Sergio Alvarez <sergi...@gmail.com>

[Sergio Alvarez]

Dica 3. Escolha o triângulo de maior área dentre os triângulos formados pelos n pontos. (Tal escolha é possível, uma vez que há apenas um número finito de triângulos.)

Esse triângulo não precisa conter todos os pontos do conjunto. Mas a partir dele podemos construir um triângulo de área <= 4, contendo todos os pontos do conjunto. Como você faria isso?

2009/11/1 Sergio Alvarez <sergi...@gmail.com>

[Sergio Alvarez]

Esboço da solução.

Escolha o triângulo de maior área dentre os triângulos formados pelos n pontos. Por cada vértice desse triângulo, trace a reta paralela ao lado oposto. Esse triângulo tem área <= 4 e contém todos os n pontos.

Legal, né? Tente completar os detalhes.

2009/11/2 Sergio Alvarez <sergi...@gmail.com>

[Cristiano Santos Benjamin]

Seja Beta o conjunto dos n pontos. Seja A, B e C pontos de Beta que formam o triangulo de maior área. Seja a a reta que passa por A e é paralela ao segmento BC. Note que a reta a divide o plano em dois semi-planos e se pegarmos qualquer ponto D no semi-plano que não contem os pontos B e C teremos um triangulo DBC com área maior do que o triangulo ABC. Como supomos ABC o triangulo de maior área temos que não pode existir esse ponto D no nosso conjunto Beta. Construiremos de maneira análoga a reta b e a reta c. Chamaremos  a intersecção de a com b de C', a intersecção de a com c de B' e chamaremos de A' a intercecção de b com c. Os triangulos ABC, A'BC, AB'C e ABC' são todos congruentes e os quatro juntos formam o triangulo A'B'C'. Todos os pontos do nosso conjunto Beta estará contido nesse último triangulo pelo mesmo motivo que observamos que D não pertence a Beta. Como a área de ABC<=1 então a área de A'B'C'<=4. cqd
 

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Date: Sat, 31 Oct 2009 10:41:37 -0300
Subject: Re: Em que triângulo esses pontos cabem?
From: sergi...@gmail.com
To: matematic...@googlegroups.com

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