Transformação de polinômios

[Sergio Alvarez]

É possível transformar f(x) = x^2 + 4x + 3 em g(x) = x^2 + 10x + 9 por uma sequência de transformações da forma

a(P(x)) = x^2 * P(1/(x+1))   e   b(P(x)) = (x-1)^2 * P(1/(x-1))?

[Sergio Alvarez]

Dica. Procure por alguma coisa que não varia com a transformação.

Hmm, eu já disse isso antes...

Utilizamos invariantes para resolver os seguintes problemas:

Três formigas
Brincando com dígitos

Este problema tem a mesma estrutura:

São dados: um estado inicial, uma transformação e um estado final. A pergunta é: aplicando-se um número finito de vezes a transformação, começando do estado inicial, é possível atingir o estado final?

Se você encontra um invariante cujos valores no estado inicial e no estado final são diferentes, então resposta para o problema é negativa.

Que invariante você poderia associar a um polinômio do segundo grau? Será que o termo independente é invariante? Ou será que a soma dos coeficientes é invariante? Aplique as transformações a e b a uma polinômio qualquer P(x) para descobrir. E se nem o termo independente, nem a soma dos coeficientes for invariante, o que pode ser invariante?

2009/11/6 Sergio Alvarez <sergi...@gmail.com>

[Sergio Alvarez]

Solução. O discriminante do polinômio é invariante.

Dado um polinômio do segundo grau P(x) = ax^2+bx+c, temos:

a(P(x)) = (a+b+c)x^2 + (b+2a)x + a

                      e

b(P(x)) = cx^2 + (b-2c)x + (a-b+c)

Em ambos os casos, o discriminante do polinômio resultante da transformação é b^2-4ac (o discriminante de P(x)).

Como os discriminantes de f(x) e g(x) são distintos (o discriminante de  f(x) é 4 e o discriminante de g(x) é 64), resulta que não é possível transformar o polinômio f(x) no polinômio g(x) aplicando as transformações a e b um número finito de vezes.

Legal, né? Esse problema (e a solução) estão no livro Problem-Solving Strategies, de Arthur Engel (Springer-Verlag).

2009/11/7 Sergio Alvarez <sergi...@gmail.com>