Problemi a ricavare la norma di una funzione!

[Francesco]

Ciao a tutti, sto studiando queste dispense:
http://krein.unica.it/~cornelis/DIDATTICA/MICRO/corsoing.pdf

A pag 125 (120 del pdf) si arriva ad ottenere la formula:

\sum_{n = 1}^{n = \infty} (1/2)|a0n|^{2}J'0(\mu 0n)^{2}sinh( \nu 0nh/
L)^{2} + \sum_{m = 1}^{m = \infty}(|amn|^{2} + |bmn|^{2})J'm(\mu
mn)^{2}*sinh( \nu mnh/L)^{2} = (2/(\pi L^{2}))\int_{0}^{L} \int_{-\pi}
^{\pi} r|f(r,\theta)|^{2}\, d\theta \, dr

Dal testo MI PARE di capire che usi le formule che nella pagina
precedente 124 vengono fatte risalire alla teoria di Sturm-Lioville,
che ancora una volta MI PARE vengano applicate alla (V.15) per
ottenere la norma di f(\tetha,z) calcolata nello spazio L^2 dove
\tetha varia da 0 a 2\pi e z da 0 ad h.

Applicando la definizione di ||f||^2 credo di essere riuscito a fare
il calcolo correttamente, ma dovrei riuscire ad utilizzare queste
formule tratte dalla teoria di Sturm-Lioville che mi serviranno anche
dopo.

Qualcuno potrebbe per cortesia spiegarmi come si manipoli la (V.15)
tramite ste formule per arrivare a calcolare la morma di f?

Sarò MOLTO grato a chiunque eventualmente vorrà darmi una mano!

Ciao

Francesco

[Tetis]

> tramite ste formule per arrivare a calcolare la norma di f?

Devi partire dalla V.14 e moltiplicare membro a membro per
f*(\theta,z) quindi integrare in z e \theta. Sul lato sinistro
dell'equazione trovi il modulo quadro che stai cercando, sul lato
destro trovi invece, sotto il segno di sommatoria e di complesso
coniugato gli integrali in zeta e theta che all'inizio di pagine 125
hai già riconosciuto in termini dei coefficienti _a_ moltiplicati per
funzioni _I_. Sostituisci queste ultime espressioni, come sono
riportate, appunto, all'inizio di pagina 125 ed hai concluso. La
logica con cui sono ricavate le formule all'inizio di pagina 125 è
questa: dalla teoria di Sturm-Liouville (che nel caso in specie in
fondo a pagina 124 è essenzialmente la teoria di Fourier) applicata
alla equazione V.15 (vista come uguaglianza fra due funzioni di
\theta) ovvero, più precisamente, applicando le prime tre formule in
fondo a pagina 124 all'equazione V.15, ottieni le prime tre formule
all'inizio di pagina 125, quindi le utilizzi per manipolare
l'equazione V.14 come ho accennato ed ottieni l'espressione riportata
per la norma quadra di f.

In seguito applichi le stesse formule e lo stesso ragionamento
all'espressione V.13 (moltiplicando per u*(r,\theta,z) ed integrando
in \theta e z) e poi alla differenza fra V.13 e V.14 per ottenere la V.
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Piuttosto tu hai capito su che base assume che sia possibile scegliere
condizioni al bordo parziali sulla superficie laterale e su una base e
continue su tutto il bordo senza rinunciare alla generalità? A me non
riesce di capire come sia possibile ottenere la condizione al bordo
generale sommando funzioni dei tre tipi indicati (rispettivamente
definite sulla superficie laterale e nulle alle faccie, oppure nulle
sulla superficie laterale ed una faccia ma non nulle sull'altra) in
effetti penso che non sia possibile, ma che la difficoltà possa essere
aggirata se il trucco è partire da spazi L^2 con condizioni al bordo
contine e parzialmente nulle per ottenere soluzioni con condizioni al
bordo più generali mediante opportune estensioni, ma non ho visto se
da qualche parte sulle dispense questo discorso è chiarito.