Isomorfismi ed equazioni

[radicale 001]

Credo sia un problema interessante.

Facciamo un esempio specifico :
sia f un isomorfismo da R verso R rispetto alla usuale addizione, per
cui esista f invertibile tale
che per ogni x,y di R sia abbia :
1) f(x + y) = f(x) + f(y).

Per fissare le idee, diro' che f porta R in R' e f^-1 porta R' in R,
con R = R'.
Allora, sempre per fissare le idee, supponiamo di avere una equazione
in R molto semplice,
del tipo (ad esempio)
2) y = x + b.

L' insieme delle coppie y,x che soddisfano la 2) dovranno avere la
loro immagine
in R' tramite la f(.). Ovvero dovra' essere :
3) f(y) = f(x + b) = f(x) + f(b)
Quindi in R' deve esistere la "corrispondente" della 2).

Domanda n 1)
Siccome le altre operazioni : -, *, /, ^ sono definite tutte a partire
dalla addizione,
allora un isomorfismo additivo dovrebbe poter definire anche un
isomorfismo
rispetto anche alle altre operazioni, per cui qualsiasi sia la y =
g(x) in R, ad essa
dovra' corrispondere la sua corrispondente in R'.

E' vero ?

Domanda n. 2)
(apparentemente slegata dalla precedente, ma non e' cosi')

Se per ogni x, y :
4) { in R : x < y } <=> { in R' : y < x }
(in pratica, inverto l' ordine) , ho messo in piedi un isomorfismo tra
R e R',
perche' ad ogni coppia x,y corrisponde la y,x, anche se non riesco a
riportare
questo tipo di corrispondenza alla notazione di sopra.

E' vero ?
Se si, come si puo' "ricondurre" alla notazione standard ?

Domanda n 3
avendo in R una y = g(x) in R e l' isomorfismo 4), (sempre che sia
tale)
si puo' dire qualcosa sulla corrispondente in R' della g(x) ?

Grazie.