AAA generatori di algebra cercasi
15 views
Skip to first unread message
Neo
Sep 23, 2010, 10:55:14 AM9/23/10
to Matematica (moderato)
Ciao a tutti,
sto cercando la forma generale dei generatori dei gruppi SO(r,q). Ho
trovato quelli per il gruppo di Lorentz, ma alzando la dimensione e
mettendo q != 1 i conti vengono abbastanza complicati. Si trovano in
giro lavori su queste algebre (in realtà il gruppo sarebbe il
rivestimento universale, ma le algebre sono identiche).
Chiaramente potrei provare con SO(2,2) e via dicendo, ma se ci fosse
una trattazione generale...
Ho l'impressione che debba venire una roba del genere:
A_1 | F
---------------
F^f | A_2
Dove A_1 e A_2 sono matrici antisimmetriche e F matrice qualsiasi (F^t
è la trasposta di F)... Ma è solo un'impressione.
--
Ciao Neo
sto cercando la forma generale dei generatori dei gruppi SO(r,q). Ho
trovato quelli per il gruppo di Lorentz, ma alzando la dimensione e
mettendo q != 1 i conti vengono abbastanza complicati. Si trovano in
giro lavori su queste algebre (in realtà il gruppo sarebbe il
rivestimento universale, ma le algebre sono identiche).
Chiaramente potrei provare con SO(2,2) e via dicendo, ma se ci fosse
una trattazione generale...
Ho l'impressione che debba venire una roba del genere:
A_1 | F
---------------
F^f | A_2
Dove A_1 e A_2 sono matrici antisimmetriche e F matrice qualsiasi (F^t
è la trasposta di F)... Ma è solo un'impressione.
--
Ciao Neo
Valter Moretti
Sep 23, 2010, 12:47:49 PM9/23/10
to Matematica (moderato)
On Sep 23, 4:55 pm, Neo <neosh...@gmail.com> wrote:
> Ciao a tutti,
>
> sto cercando la forma generale dei generatori dei gruppi SO(r,q). Ho
> trovato quelli per il gruppo di Lorentz, ma alzando la dimensione e
> mettendo q != 1 i conti vengono abbastanza complicati. Si trovano in
> giro lavori su queste algebre (in realtà il gruppo sarebbe il
> rivestimento universale, ma le algebre sono identiche).
>
(r+q)x(r+q) tali che
AGA^t = G
con G = diag(-1,...,-1,1,...,1)
dove i -1 sono r e i +1 sono q (oppure viceversa secondo la tua
convenzione)
allora l'algebra di Lie è fatta dalle matrici M tali che:
MG + GM^t= 0
cioè
MG = -GM^t
cioè
MG = -(MG)^t
Questo significa che
S(M) = MG
definisce un isomorfismo di spazi vettoriali tra l'algebra di Lie di
SO(r,s) e l'algebra di Lie costruita con le matrici antisimmetriche
(che è poi l'algebra di Lie di SO(r+s)).
Quindi, data una base per l'algebra delle matrici antisimmetriche (r
+s)x(r+s) hai immediatamente, tramite l'isomorfismo S una base per
l'algebra di Lie di SO(r,s).
Ciao, Valter
Neo
Sep 23, 2010, 3:33:04 PM9/23/10
to Matematica (moderato)
On 23 Set, 18:47, Valter Moretti <vmoret...@hotmail.com> wrote:
>[cut]
capito se mi hai già dato la risposta :D).
Prendiamo SO(n) (o equivalentemente Spin(n)), le matrici nell'algebra
sono quelle antisimmetriche nxn.
Prendiamo Spin(1,n-1) allora quello che si può vedere facilmente è che
le matrici nell'algebra soddisfano l'equazione:
s_mu ^nu = - eta_mu rho s_sigma ^rho eta^sigma nu
dove s sono le derivate della curva su Spin(1,n-1) calcolata in t = 0.
Ora si vede facilmente che s_0^0 = - s_0^0 ovvero s_0^0 = 0
Mentre si può vedere che s_0^i = s_i^0 e che invece s_i^j = - s_j^i
Ovvero un elemento nell'algebra di Spin(1,n-1) ha una forma del tipo:
0 | v
----------
v^t | A
con v un vettore e A una matrice antisimmetrica.
In generale per Spin(r,s) con r + s = n che struttura ha (proprio
praticamente, ho bisogno di fare dei conti con maple e vorrei
l'espressione generale)?
--
Ciao Neo
>[cut]
> Quindi, data una base per l'algebra delle matrici antisimmetriche (r
> +s)x(r+s) hai immediatamente, tramite l'isomorfismo S una base per
> l'algebra di Lie di SO(r,s).
Ciao, scusa forse non ho spiegato bene il problema (o forse non ho
> +s)x(r+s) hai immediatamente, tramite l'isomorfismo S una base per
> l'algebra di Lie di SO(r,s).
capito se mi hai già dato la risposta :D).
Prendiamo SO(n) (o equivalentemente Spin(n)), le matrici nell'algebra
sono quelle antisimmetriche nxn.
Prendiamo Spin(1,n-1) allora quello che si può vedere facilmente è che
le matrici nell'algebra soddisfano l'equazione:
s_mu ^nu = - eta_mu rho s_sigma ^rho eta^sigma nu
dove s sono le derivate della curva su Spin(1,n-1) calcolata in t = 0.
Ora si vede facilmente che s_0^0 = - s_0^0 ovvero s_0^0 = 0
Mentre si può vedere che s_0^i = s_i^0 e che invece s_i^j = - s_j^i
Ovvero un elemento nell'algebra di Spin(1,n-1) ha una forma del tipo:
0 | v
----------
v^t | A
con v un vettore e A una matrice antisimmetrica.
In generale per Spin(r,s) con r + s = n che struttura ha (proprio
praticamente, ho bisogno di fare dei conti con maple e vorrei
l'espressione generale)?
--
Ciao Neo
Valter Moretti
Sep 23, 2010, 3:58:12 PM9/23/10
to Matematica (moderato)
Secondo me ti ho risposto!
Considera SO(m,n) (oppure Spin(m,n) che, per l'algebra di Lie, è
uguale). L'algebra di Lie la ottieni come l'insieme delle matrici M
tali che
ME = -(ME)^t
dove E è la metrica di Lorentz con segnatura (m,n).
Ma dato che EE=I, l'applicazione che associa M a ME è biettiva e ME
isuè una generica matrice antisimmetrica. Allora de tu trovi una base
A_1, A_2,... per le matrici antisimmetriche (m+n)x(m+n) hai
automaticamente una base per l'algebra di Lie di SO(m,n), basta
moltiplicare quegli elementi di base per E a destra.
A_1E, A_2E,...
Una base per le matrici antisimmetriche (m+n)x(m+n) si trova subito,
sono le matrici con 0 su tutta la diagonale principale e sotto al
diagonale principale sono individuate da quello che ci sta sopra
cambiando i segni. Allora puoi considerare solo la matrice triangolare
superiore, metti ovunque degli 0 eccetto in un punto dove metti 1 e fa
così per tutti i casi possibili...
In questo modo hai facilmente una forma esplicita per una base per
l'algebra di Lie di SO(m,n)
Ciao, Valter
Considera SO(m,n) (oppure Spin(m,n) che, per l'algebra di Lie, è
uguale). L'algebra di Lie la ottieni come l'insieme delle matrici M
tali che
ME = -(ME)^t
dove E è la metrica di Lorentz con segnatura (m,n).
Ma dato che EE=I, l'applicazione che associa M a ME è biettiva e ME
isuè una generica matrice antisimmetrica. Allora de tu trovi una base
A_1, A_2,... per le matrici antisimmetriche (m+n)x(m+n) hai
automaticamente una base per l'algebra di Lie di SO(m,n), basta
moltiplicare quegli elementi di base per E a destra.
A_1E, A_2E,...
Una base per le matrici antisimmetriche (m+n)x(m+n) si trova subito,
sono le matrici con 0 su tutta la diagonale principale e sotto al
diagonale principale sono individuate da quello che ci sta sopra
cambiando i segni. Allora puoi considerare solo la matrice triangolare
superiore, metti ovunque degli 0 eccetto in un punto dove metti 1 e fa
così per tutti i casi possibili...
In questo modo hai facilmente una forma esplicita per una base per
l'algebra di Lie di SO(m,n)
Ciao, Valter
Valter Moretti
Sep 23, 2010, 3:58:48 PM9/23/10
to Matematica (moderato)
Secondo me ti ho risposto!
Considera SO(m,n) (oppure Spin(m,n) che, per l'algebra di Lie, è
uguale). L'algebra di Lie la ottieni come l'insieme delle matrici M
tali che
ME = -(ME)^t
dove E è la metrica di Lorentz con segnatura (m,n).
Ma dato che EE=I, l'applicazione che associa M a ME è biettiva e ME
isuè una generica matrice antisimmetrica. Allora de tu trovi una base
A_1, A_2,... per le matrici antisimmetriche (m+n)x(m+n) hai
automaticamente una base per l'algebra di Lie di SO(m,n), basta
moltiplicare quegli elementi di base per E a destra.
A_1E, A_2E,...
Una base per le matrici antisimmetriche (m+n)x(m+n) si trova subito,
sono le matrici con 0 su tutta la diagonale principale e sotto al
diagonale principale sono individuate da quello che ci sta sopra
cambiando i segni. Allora puoi considerare solo la matrice triangolare
superiore, metti ovunque degli 0 eccetto in un punto dove metti 1 e fa
così per tutti i casi possibili...
In questo modo hai facilmente una forma esplicita per una base per
l'algebra di Lie di SO(m,n)
Ciao, Valter
On 23 Set, 21:33, Neo <neosh...@gmail.com> wrote:
Considera SO(m,n) (oppure Spin(m,n) che, per l'algebra di Lie, è
uguale). L'algebra di Lie la ottieni come l'insieme delle matrici M
tali che
ME = -(ME)^t
dove E è la metrica di Lorentz con segnatura (m,n).
Ma dato che EE=I, l'applicazione che associa M a ME è biettiva e ME
isuè una generica matrice antisimmetrica. Allora de tu trovi una base
A_1, A_2,... per le matrici antisimmetriche (m+n)x(m+n) hai
automaticamente una base per l'algebra di Lie di SO(m,n), basta
moltiplicare quegli elementi di base per E a destra.
A_1E, A_2E,...
Una base per le matrici antisimmetriche (m+n)x(m+n) si trova subito,
sono le matrici con 0 su tutta la diagonale principale e sotto al
diagonale principale sono individuate da quello che ci sta sopra
cambiando i segni. Allora puoi considerare solo la matrice triangolare
superiore, metti ovunque degli 0 eccetto in un punto dove metti 1 e fa
così per tutti i casi possibili...
In questo modo hai facilmente una forma esplicita per una base per
l'algebra di Lie di SO(m,n)
Ciao, Valter
On 23 Set, 21:33, Neo <neosh...@gmail.com> wrote:
Valter Moretti
Sep 24, 2010, 3:12:50 AM9/24/10
to Matematica (moderato)
Volevo solo aggiungere che con la ricetta che ho scritto sotto viene
immediatamente fuori che i generatori, alla fine sono, come mi pare
che dicevi tu:
A_1 B
B^t A_2
dove A_1 e A_2 sono matrici antisimmetriche qualsiasi e B è una
matrice simmetrica,
Lo splittamento in 4 della matrice scritta sopra si ottiene prendendo
la matrice metrica
E= diag(-1,....,-1, +1,....,+1)
e vedendola come matrice diagonale a blocchi, i quattro blocchi che
appaiono sono nella stessa
posizione dei blocchi che appaiono sopra.
Ciao, Valter
immediatamente fuori che i generatori, alla fine sono, come mi pare
che dicevi tu:
A_1 B
B^t A_2
dove A_1 e A_2 sono matrici antisimmetriche qualsiasi e B è una
matrice simmetrica,
Lo splittamento in 4 della matrice scritta sopra si ottiene prendendo
la matrice metrica
E= diag(-1,....,-1, +1,....,+1)
e vedendola come matrice diagonale a blocchi, i quattro blocchi che
appaiono sono nella stessa
posizione dei blocchi che appaiono sopra.
Ciao, Valter
Neo
Sep 24, 2010, 4:00:51 AM9/24/10
to Matematica (moderato)
On 24 Set, 09:12, Valter Moretti <vmoret...@hotmail.com> wrote:
> Volevo solo aggiungere che con la ricetta che ho scritto sotto viene
> immediatamente fuori che i generatori, alla fine sono, come mi pare
> che dicevi tu:
>
> A_1 B
>
> B^t A_2
>
> dove A_1 e A_2 sono matrici antisimmetriche qualsiasi e B è una
> matrice simmetrica,
Ciao, leggendolo con più calma credo di aver capito quello che dicevi.
> Volevo solo aggiungere che con la ricetta che ho scritto sotto viene
> immediatamente fuori che i generatori, alla fine sono, come mi pare
> che dicevi tu:
>
> A_1 B
>
> B^t A_2
>
> dove A_1 e A_2 sono matrici antisimmetriche qualsiasi e B è una
> matrice simmetrica,
Ad ogni modo B non penso debba essere simmetrica, altrimenti B = B^t e
quella B non dovrebbe avere vincoli. Giusto?
--
Ciao Neo
Valter Moretti
Sep 24, 2010, 4:03:55 AM9/24/10
to Matematica (moderato)
"qualsiasi".
Ciao, Valter
Neo
Sep 24, 2010, 4:08:48 AM9/24/10
to Matematica (moderato)
On 24 Set, 10:03, Valter Moretti <vmoret...@hotmail.com> wrote:
> Certo, hai ragione, mi è scappato un "simmetrica" ma doveva essere
> "qualsiasi".
Perfetto, grazie mille :D
> Certo, hai ragione, mi è scappato un "simmetrica" ma doveva essere
> "qualsiasi".
--
Ciao Neo
Reply all
Reply to author
Forward
0 new messages