Insiemi magri e di misura nulla

[Neo]

Ciao a tutti

Sia X uno spazio topologico e sia A un suo sottoinsieme. A si dice
raro se la parte interna della chiusura è vuota.

Un insieme magro è unione finita o numerabile di insiemi rari.

Domanda: A si può dotare di una sigma algebra e di una misura mu tale
che mu(A) = 0? Esistono misure in cui invece mu(A) != 0?

Quindi fondamentalmente quali sono le relazioni tra i due concetti.

Grazie mille
--
Ciao Neo

[Valter Moretti]

On 1 Ago, 13:04, Neo <neosh...@gmail.com> wrote:
> Ciao a tutti
>
> Sia X uno spazio topologico e sia A un suo sottoinsieme. A si dice
> raro se la parte interna della chiusura è vuota.
>
> Un insieme magro è unione finita o numerabile di insiemi rari.



> Domanda: A si può dotare di una sigma algebra e di una misura mu tale
> che mu(A) = 0? Esistono misure in cui invece mu(A) != 0?

La domanda si riferisce a tutti gli insiemi magri A o a un preciso
insieme magro A?
Ciao, Valter

[Neo]

On 1 Ago, 14:09, Valter Moretti <vmoret...@hotmail.com> wrote:

Scusa ho scritto A si può dotare, ma doveva essere X si può dotare

> La domanda si riferisce a tutti gli insiemi magri A o a un preciso
> insieme magro A?

Hummm, non ci avevo pensato. Direi che quella più interessante è se
tutti gli insiemi madri A hanno misura nulla, suppongo che dato un
solo insieme magro si possa sempre costruire una sigma algebra e una
misura adeguata (magari anche a mano). O sbaglio?

> Ciao, Valter
--
Ciao Neo

[Massimo Borsero]

>
> Hummm, non ci avevo pensato. Direi che quella più interessante è se
> tutti gli insiemi madri A hanno misura nulla, suppongo che dato un
> solo insieme magro si possa sempre costruire una sigma algebra e una
> misura adeguata (magari anche a mano). O sbaglio?

Prendi la sigma-algebra S generata da A, e considera questa misura:
\mu ( B) = 0 per ogni B appartenente ad S.

[Neo]

On 1 Ago, 14:23, Massimo Borsero <massimo.bors...@gmail.com> wrote:

> Prendi la sigma-algebra S generata da A, e considera questa misura:
> \mu ( B) = 0 per ogni B appartenente ad S.

Capito. Invece per tutti gli insiemi magri possibili?
--
Ciao Neo

[Massimo Borsero]

>
> Capito. Invece per tutti gli insiemi magri possibili?
> --
> Ciao Neo

Dunque. Consideriamo una enumerazione dei numeri razionali r_n (cioè
una successione esaustiva di tutti i razionali, dato che hanno
cardinalità numerabile), e una serie convergente di numeri positivi
a_n.
Consideriamo l'insieme (con U indico l'unione)

A = U_n=1^\infty (r_n - a_n , r_n + a_n )

Questo insieme è aperto perchè è unione numerabile di aperti, ed è
ovviamente denso in R perchè contiene Q. Per la sigma-subaddività
della misura abbiamo che

\mu(A) <= Sum_n=1^infty \mu [ (r_n - a_n , r_n + a_n ) ] = Sum_n=1^
\infty 2 a_n < +\infty

perché la serie a_n è scelta convergente. Quindi A ha misura finita (e
non è dunque R, in quanto ovviamente \mu(R) = +\infty)

Ora consideriamo B il complementare di A in R. B è chiuso
(complementare di aperto) e ha interno vuoto (A è denso in R). Allora
B è magro, ma ha misura infinita (perchè se avesse misura finita, R
avrebbe misura finita per l'addività della misura rispetto
all'unione). Quindi non è vero che gli insiemi magri hanno per forza
misura nulla.

Resta aperta la questione opposta, cioè "è vero che un insieme di
misura nulla è necessariamente magro?".
Ci ho pensato un po', e credo che la risposta sia "no", ma non mi
viene in mente nessun controesempio.

[Neo]

On 1 Ago, 19:11, Massimo Borsero <massimo.bors...@gmail.com> wrote:

> Resta aperta la questione opposta, cioè "è vero che un insieme di
> misura nulla è necessariamente magro?".
> Ci ho pensato un po', e credo che la risposta sia "no", ma non mi
> viene in mente nessun controesempio.

Domani penso un po' all'esempio che hai postato. Tuttavia in generale
mi pare un bel casino dimostrare se un insieme è magro o meno. Con la
definizione, magari c'è un bel teorema che agevola il compito...
--
Ciao Neo