traccia di un elemento in una k-algebra

[maxdic]

ciao a tutti,
sto leggendo un testo introduttivo alle algebre dei gruppi e mi sono
imbattuto nella definizione di traccia di un elemento in un'algebra su
un campo K che proprio non riesco a capire: ho familiarità con la
definizione di traccia di matrici ma non riesco a "visualizzare" il
senso della definizione che ho trovato, qualcuno mi sa illuminare ???
la def. è la seguente:
abbiamo un'algebra di ordine n con base e(1)...e(n). il generico
elemento dell'algebra si scrive x=psi(i)*e(i) omettendo il segno di
sommatoria.
tra gli elementi della base è data una tabella moltiplicativa definita
come e(i)*e(j)=theta(i,j,k)*e(k) cioè è definito un tensore di ordine
3.
fin qui tutto ok, ora la definizione che non riesco a comprendere è la
seguente:
traccia(x)=psi(i)*theta(r,i,r) con la sommatoria estesa alle i ed
alle

non riesco a vedere l'analogia con il caso delle matrici e non riesco
a capire perché devo fissare il primo ed il terzo indice di theta...
qualcuno me lo saprebbe/vorrebbe spiegare?
grazie mille!
ciao
massimo

[Neo]

On 14 Ago, 14:38, maxdic <massimo.dicas...@gmail.com> wrote:

> traccia(x)=psi(i)*theta(r,i,r) con la sommatoria estesa alle i ed
> alle
>
> non riesco a vedere l'analogia con il caso delle matrici e non riesco
> a capire perché devo fissare il primo ed il terzo indice di theta...
> qualcuno me lo saprebbe/vorrebbe spiegare?
> grazie mille!

Ciao, non riesco a capire (usi una notazione un po' strana). Se usi la
notazione di Einstein allora gli indici sommati allora va messo un
indice sopra e uno sotto.

Esempio: e_i * e_j = theta_ij ^k e_k

Un indice della theta sicuramente è in alto (se vuoi contrarre con
l'elemento della base).

Quindi quella che hai chiamato traccia dovrebbe essere

psi^i theta_ri^r e sommato su i e su r?

giusto?

Comunque giusto per capirci, la traccia di una matrice come la
definisci? Somma degli elementi della diagonale?
--
Ciao Neo

[maxdic]

ciao, pardon! spiego meglio nella notazione che usi tu (_ e ^) cmq non
volevo intendere la notazione di einstein perché qui ci sono solo gli
elementi della base che si chiamano e_i (tutti con il pedice).
e_i*e_j=somma( theta_ijk * e_k )
x = somma (psi_i * e_i)
traccia(x) = somma su i ed r di (psi_i * theta _rir)

...sì per le matrici la traccia la conosco come la somma degli
elementi sulla diagonale principale i.e. il coefficiente del primo
termine del poly caratteristico.

grazie per l'interessamento!
ciao
massimo

[Neo]

On 14 Ago, 17:13, maxdic <massimo.dicas...@gmail.com> wrote:
> ciao, pardon! spiego meglio nella notazione che usi tu (_ e ^) cmq non
> volevo intendere la notazione di einstein perché qui ci sono solo gli
> elementi della base che si chiamano e_i (tutti con il pedice).
> e_i*e_j=somma( theta_ijk * e_k )
> x = somma (psi_i * e_i)
> traccia(x) = somma su i ed r di (psi_i * theta _rir)
>
> ...sì per le matrici la traccia la conosco come la somma degli
> elementi sulla diagonale principale i.e. il coefficiente del primo
> termine del poly caratteristico.

Ok, penso di aver capito il problema. Vediamo cosa si intende per
traccia in generale.

Tu hai una matrice A, le componenti di A in una base le indichiamo con
A_ij. Supponiamo di avere una metrica euclidea, delta^ij =
diag(1,...1) ovvero una metrica euclidea diagonale. Sappiamo che sugli
spazi vettoriali una tale metrica esiste sempre.

Ora definisco la traccia di A come la saturazione degli indici di A
con quelli della metrica delta:

tr(A) = A_ij delta^ij con somme sia su i che su j. Questo banalmente è
la somma degli elementi della diagonale (puoi provare a verificarlo se
vuoi). Ovviamente se cambio la base la definizione rimane la stessa,
ma non sarà più la somma degli elementi della diagonale ma sarà
qualcosa di più complicato.

A questo punto se ho un oggetto con degli indici in generale la
traccia sarà la saturazione di tutti i suoi indici in modo che rimanga
senza indici. Si usa dire che è lo stesso una traccia.

Conosci il simbolo di levi civita? epsilon_ijk che vale (per esempio)
epsilon_123 = 1 e poi vale o 1 o -1 a seconda se la permutazione degli
indici è pari o dispari, quindi epsilon_132 = -1 e così via.

Bene se hai un oggetto con 3 indici F^ijk puoi "tracciarlo" con la
epsilon in questo modo: tr(F) = epsilon_ijk F^ijk, con somme su i,j e
k. Come vedi la definizione è molto lontana da quella di somma degli
elementi della diagonale (anche perché i tensori possono avere forma
matriciale solo quando sono di rango 2, rango 3 o li pensi come
matrici in 3d o non funziona, e comunque credo sia meglio non pensare
alla versione matriciale).

Paradossalmente se F è un tensore di rango 2 F_mu nu allora si chiama
traccia anche F_mu nu F^mu nu. Quindi quando fai una traccia devi
anche specificare con cosa la fai.

Se studi le algebre di Lie di gruppi semisemplici la traccia potrebbe
essere fatta con la metrica di Cartan Killng, la cosa è abbastanza
arbitraria.

Ma come ti ho detto se la metrica è quella solita (matrice unità)
allora la definizione coincide con quella di somma degli elementi
della diagonale.

Spero sia questo il problema
--
Ciao Neo

[maxdic]

grazie mille!
ricapitolo: in sostanza l'unica cosa importante della def di traccia è
che saturi tutti gli indici, ossia che alla fine rimanga uno scalare.
Poi ogni particolare definizione di traccia è figlia del contesto
specifico.
io sto leggendo della traccia in un capitolo che parla di group
algebras (K-algebre o algebre di Frobenius), algebre di gruppi finiti
su campi K: in questo specifico contesto viene definita traccia la
saturazione delle componenti di un elemento combinate con le
componenti del tensore di rango 3 che rappresenta la generica tabella
moltiplicativa del gruppo.
la saturazione avviene mediante psi_i * theta_rir ma in generale
poteva anche avvenire mediante che so psi_i * theta_rri...
grazie ancora e ... buon ferragosto!

PS: a proposito il libro sul quale ho trovato la def e che ha
originato i miei dubbi è "the skeleton key of mathematics", un
libretto introduttivo, in generale molto fruibile ma in alcuni
passaggi un po' troppo conciso secondo me, sulle principali strutture
algebriche, lo conosci per caso ?

[Neo]

On 14 Ago, 22:26, maxdic <massimo.dicas...@gmail.com> wrote:
> grazie mille!
> ricapitolo: in sostanza l'unica cosa importante della def di traccia è
> che saturi tutti gli indici, ossia che alla fine rimanga uno scalare.
> Poi ogni particolare definizione di traccia è figlia del contesto
> specifico.
> io sto leggendo della traccia in un capitolo che parla di group
> algebras (K-algebre o algebre di Frobenius), algebre di gruppi finiti
> su campi K: in questo specifico contesto viene definita traccia la
> saturazione delle componenti di un elemento combinate con le
> componenti del tensore di rango 3 che rappresenta la generica tabella
> moltiplicativa del gruppo.
> la saturazione avviene mediante psi_i * theta_rir ma in generale
> poteva anche avvenire mediante che so psi_i * theta_rri...
> grazie ancora e ... buon ferragosto!

Si, direi che il problema è quello. Traccia viene usato in modo
abbastanza generale e bisogna specificare il contesto. Altro esempio:
in relatività speciale hai la metrica di Minkowski, quindi un buon
modo per calcolare la traccia è usare quella. Però lo spazio tempo è
uno spazio vettoriale e su questo esistono anche quelle diagonali
euclidee. Basta solo capirsi

> PS: a proposito il libro sul quale ho trovato la def e che ha
> originato i miei dubbi è "the skeleton key of mathematics", un
> libretto introduttivo, in generale molto fruibile ma in alcuni
> passaggi un po' troppo conciso secondo me, sulle principali strutture
> algebriche, lo conosci per caso ?

No non lo conosco. Le mie conoscenze sulle varie strutture algebriche
sono limitate a quelle che puoi trovare in geometria differenziale,
quindi non saprei nemmeno consigliarti libri
--
Ciao Neo

[Neo]

On 14 Ago, 22:26, maxdic <massimo.dicas...@gmail.com> wrote:

> buon ferragosto!

Grazie anche a te e a tutti i partecipanti!
--
Ciao Neo