Differenziali metodi numerici

[salva]

Salve,
mi chiedevo perche' non sempre possiamo ottenere una esatta soluzione
del tipo
y=f(x)
ad un problema del tipo
dy/dx=f(x,y) , condizioni iniziali y(x0)=y0 ??
Ad esempio :
dy/dx=x^2+y^2 ( con determinate cond.iniziali)
Possiamo avere un grafico del campo direzionale (direction field), una
approssimazione ( Eulero, o Runge-Kutta method), ma non una esatta
soluzione.

Thanks

Salva

[cometa_luminosa]

Ho provato a risolverla scrivendo y'(x) = p e mi viene qualcosa del
tipo:

x^2 +- p^2 * {arcsin[x/Rad(p)] + x/Rad(p) * Rad[1 - (x^2)/p] - p =
cost

y = +- Rad(2p - x^2)

ovvero una soluzione in forma parametrica.

Eliminando p (p = (x^2 + y^2)/2 e poi si sostituisce nella prima) si
ottiene un'equazione che lega x ed y ma che non si puo' scrivere
esplicitando una delle due in funzione dell'altra.

Dunque il problema sta nel fatto che esistono equazioni, es. x +
log(x) = 0, che non si possono risolvere con l'utilizzo delle sole
funzioni elementari, ma questo non significa che non ne esista una
esatta soluzione.
Se poi la tua domanda intendeva essere: "perche' quel tipo di eq.
differenziale mi fornisce una soluzione in cui y non e' esplicitabile
in funzione di x o viceversa in termini di funzioni elementari?"
e' un'altro discorso.

[salva]

OK,
saro' noioso, ma perche' una funzione puo' non essere esplicitabile ?

[cometa_luminosa]

On 20 Ago, 13:44, salva <salvas...@tiscali.co.uk> wrote:
> OK,
> saro' noioso, ma perche' una funzione puo' non essere esplicitabile ?

Non sei noioso, non ti preoccupare, volevo capire se era questo che
volevi sapere.

Il fatto che una funzione f(x) non e' esplicitabile in termini di
funzioni elementari dipende dal fatto che le funzioni elementari
sono...elementari :-)
Ovvero, noi conosciamo bene quelle, ma le altre hanno pari dignita',
anche se sono diverse. Pensa, per fare un esempio, ad una funzione
cosi' definita:

f(x) = Int[1,x] e^t/t dt

Esplicitando e^t con lo sviluppo in serie di McLaurin:

f(x) = Int[1,x] {1 + t + (t^2)/2 + (t^3)/6 + ... + (t^n)/n! + ...}/t
dt =

= Int[1,x] {1/t + 1 + t/2 + (t^2)/6 + ... + [t^(n-1)]/n!} dt =

= log|x| + (x-1) + (x^2 - 1)/4 + (x^3 - 1)/18 + ... + (x^n - 1)/n*n!
+ ...}

Come vedi questa funzione ha uno sviluppo che formalmente e' poco
diverso dallo sviluppo di e^x quindi cos'ha che non va? Nulla! Eppure
non la puoi scrivere come combinazione *finita* (infinita si, infatti
lo sviluppo contiene appunto infinite funzioni semplici) delle
funzioni che sono piu' semplici, quelle appunto "elementari".

Studiando via via altre funzioni (tipo quella appena scritta), il
nostro "assortimento" di funzioni diventa piu' ampio e quindi diventa
maggiore la probabilita' che una funzione qualsiasi la si possa
scrivere come combinazione finita di quelle.

P.S. Secondo me e' utile a livello pedagogico trovarsi una funzione
non esprimibile come combinazione finita di funzioni elementari e poi
studiarsene le proprieta'. Gli potresti anche dare un nome tuo, se non
ne ha gia' uno :-)
Ciao.

[salva]

Ti ringrazio per questa chiara e ovvia (non lo era per me)
spiegazione.

P.s. ... anche gli irrazionali hanno i loro diritti !! ... in math non
ci sono razzismi.
Ciao e grazie.