Vetores

[Ronardão]

Resumo Teórico
VETORES

Vetor é um símbolo físico-matemático utilizado para representar o módulo, a direção e o sentido de uma grandeza física vetorial.
    Parece ser bem complicado, mas na realidade é uma coisa bastante simples. Para facilitar, imagine uma situação em que você está em uma rua movimentada de São Paulo e visualiza um carro muito bonito. Impressionado com a imagem corre para contar a um colega sobre o tal carro, e no mesmo instante este colega lhe pergunta:
    - Uau! Onde você viu este carro?
    - No centro de São Paulo.
    - Mas o carro ia em que direção?
    - Ele ia na mesma direção da Av. Rebouças.
    - Mas em que sentido o carro seguia?
    - Ele ia pela Rebouças sentido ao centro.
    - E qual era a velocidade em que o carro se movia?
    - Pô! uma máquina daquelas só podia estar a uns 190 km/h.
   Sem perceber você acabou de determinar ao seu colega o VETOR que representa o carro visto.
    Antes de lembrá-los como é que se pode enxergar um vetor em uma história como esta, precisamos lembrar da definição de um vetor.

O QUE É VETOR

    Vetor (do latim vector = condutor), como já dissemos é um instrumentos usado, principalmente pela física, que reúne "dentro de si" três informações sobre um corpo ou um móvel.

• MÓDULO (intensidade, número real não-numérico)
• SENTIDO
• DIREÇÃO

    Os vetores são representados por qualquer letra e por uma seta desenhada por sida da letra, como . O módulo deste vetor é representado pela letra que representa o vetor, porém sem a seta em cima, v, ou então pelo símbolo do vetor entre os sinais matemáticos que representam módulo, ||.
    Para facilitar a nossa compreensão vamos pegar um exemplo simples

Neste exemplo tempos um vetor que possui todas as informações necessárias. veja:

·         Direção: como vemos, o vetor acima possui a mesma direção da reta r, horizontal;

·         Sentido: Fica notável que o vetor segue de P para O, da esquerda para direita, neste caso;

·         Módulo: O módulo é a intensidade do vetor, como já sabemos. O módulo é, graficamente  representado, pelo tamanho do vetor desenhado, que em nossa caso é de três unidades de medidas u, ou seja 3u.
OBS.: Devemos sempre notar que se a unidade de medida fosse centímetros, o módulo do vetor seria 3 cm, e se a unidade de medida fosse metros, o módulo do vetor possuiria 3 metros, etc.

         Agora, possuímos todo o conhecimento necessário para retornar àquela história e dela tirar todas as informações do vetor que representa o carro visto. Então faça isto antes de continuar o seu estudo.

    As informações do vetor são:

·         Sentido: Sentido centro de São Paulo.

·         Direção: A mesma direção da Av. Rebouças.

·         Módulo: Aproximadamente 190 km/h.

 

VETORES IGUAIS E VETORES DIFERENTES

   Este é outro item muito importante para entendermos, definitivamente, um vetor.
Para que dois vetores sejam iguais eles, necessariamente, precisam possuir módulos, sentidos e direção iguais. Por exemplo:

Os vetores acima são iguais, pois possuem as três informações, que constitui um vetor, iguais.

   Se tivermos dois vetores que possuem módulos e direções iguais, porém sentidos diferentes, dizemos que que estes vetores são diferentes e opostos. Por exemplo:

Estes dois vetores são diferentes, pois possuem a mesma direção (horizontal), o mesmo módulo, porém o sentido contrário e opostos.

CÁLCULOS COM VETORES

     Agora que já sabemos tudo o que é importante sobre um vetor, iremos aprender a trabalhar com eles.
    Alguns dos cálculos que iremos analisar necessitará das lembranças que possuímos sobre trigonometria, se por algum acaso você não se lembrar deles, recomendo que faça uma pequena revisão com seu livro ou caderno para que depois possamos estar dando continuidade a este estudo.

ADIÇÃO DE VETORES

    Quando executamos uma operação com vetores, chamados o seu resultado de resultante . Dado dois vetores = A - O e = B - O, a resultante é obtida graficamente trançando-se pelas extremidades de cada um deles uma paralela ao outro.

    Em que é o vetor soma. Como a figura formada é um paralelogramo, este método é denominado método do paralelogramo. A intensidade do vetor é dado por:

Esta expressão é obtida pela lei dos co-senos para o triângulo OÂC:

    E a partir desta equação basta substituir os valores do paralelogramo acima, para se obter a equação do método do paralelogramo.
Quando temos um caso particular onde os vetores estão em posições ortogonais entre si, basta aplicar o teorema de Pitágoras.

                    

SUBTRAÇÃO ENTRE DOIS VETORES

   Dados dois vetores  = A - O e = B - O, o vetor resultante é dado por = - = (A - O) - (B - O) = A - O - B + O;
= A - B, onde A é a extremidade e B é a origem.

    Analiticamente o vetor é dado por:

·         Módulo: 

·         Direção: da reta AB

·         Sentido: de B para A

Se tivéssemos efetuado = A - B, o sentido seria de A para B e o módulo seria o mesmo.

 

PRODUTO DE UM NÚMERO POR UM VETOR

   O produto de um número a por um vetor , resultará em um outro vetor dado por:

·         Módulo: || = a · 

·         Direção: A mesma de ;

·         Sentido:    1) se a > 0 - o mesmo sentido de 
                2) se a < 0 - contrário de .

 

Vetor Oposto

    Antes de entrarmos em outra parte importante do estudo de vetor, precisamos entender o que é um vetor oposto. Denomina-se vetor oposto de um vetor , o vetor com as seguintes características:

        A figura representa o vetor e o seu oposto .

Preste Atenção para dois detalhes:

1.      Quando dois vetores tiverem a mesma direção e o mesmo sentido (a = 0º), o vetor resultante será:

2.      Quando dois vetores tiverem a mesma direção e os sentidos opostos (a = 180º), o vetor resultante será:

DECOMPOSIÇÃO DE UM VETOR

 

São dados um vetor e um sistema de dois eixos ortogonais x e y:

Projetando ortogonalmente as extremidades do vetor nos eixos x e y, obtendo suas componentes retangulares e .

Analiticamente temos: o triângulo OP'P é retângulo, portanto

ADIÇÃO DE MAIS DE DOIS VETORES (método do polígono)

 

        Neste método o objetivo é formar um polígonos com os vetores que se deseja somar, obedecendo ao seguinte critério: a partir de um ponto, previamente escolhido, coloca-se um vetor eqüipolente a um dos outros vetores dados e assim sucessivamente.
    O vetor soma ou resultante será aquele que tem origem na origem do primeiro e extremidade do último .
    Vetor eqüipolente é um vetor que tem o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido que o vetor considerado. Exemplo: Determinar o vetor soma dos vetores abaixo.

Resolução: Fixando o ponto O arbitrariamente

Note que:

·         Quando a extremidade do último vetor coincidir  com a origem  do primeiro, isto é, quando o polígono for fechado, o vetor resultante será nulo. (R = 0)

·         Em qualquer ordem de colocação dos vetores, o vetor Resultante terá o mesmo módulo.

VETOR SOMA DE MAIS DE DOIS VETORES

   Quando o sistema é formado por mais de dois vetores concorrentes e co-planares, a solução analítica é possível. Para tanto deve-se empregar o método das projeções de cada vetor em dois eixos perpendiculares. Neste item vamos considerar o ângulo que o vetor forma com o eixo de referência  como sendo um ângulo menor ou igual a 90º. O eixo de referência será sempre o eixo x. De acordo com esta convenção, observa-se o ângulo que cada vetor da figura forma com o eixo x.