Exercicios resolvidos de vetores

[Ronardão]

Exercícios Resolvidos
Vetores

·         Estes Exercícios estão separados por modelos e cada exemplo refere-se a uma série de exercícios contidos na página EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO, se possível imprima esta página que certamente te auxiliara na resolução dos exercícios

 

Dados os modelos dos vetores e .
|| = a = 3 cm
|| = b = 4 cm

 

MODELO 1

SOMA DE VETORES



Represente graficamente o vetor e calcule o seu módulo.

 

Exemplo I:     Vetores na mesma direção e mesmo sentido

RESOLUÇÃO

A regra dos vetores consecutivos, consiste em traçar os vetores na seqüência (Método Poligonal)

        A resultante tem origem na origem do vetor e extremidade na extremidade do vetor .

módulo: 7 cm 
Direção: horizontal
Sentido: para a direita

OBS.: Vetores na mesma direção e mesmo sentido basta somar os valores numéricos para calcular o módulo, a direção e o sentido conserva-se .



Exemplo II: Vetores na mesma direção e sentido contrário.

RESOLUÇÃO

        Regra dos vetores consecutivos (Método Poligonal)

A resultante é o vetor com origem na origem do vetor e extremidade na extremidade do vetor .

Módulo: 1 cm
Direção: horizontal
Sentido: para a esquerda

OBS.: Vetores na mesma direção e sentido contrário: basta subtrair os valores numéricos para calcular o módulo, a direção conserva-se, porém o sentido será o do vetor de valor numérico maior.



Exemplo III: Direções ortogonais

RESOLUÇÃO

     Regra do Paralelogramo

1.      adotar um ponto O (origem);a partir do ponto O traçar os vetores;

2.      tracejar retas paralelas aos vetores e a partir da extremidade dos vetores  e ;

3.      a resultante será a diagonal do paralelogramo partindo do ponto O;

4.      Use o teorema de Pitágoras para calcular o módulo da resultante.

S² = a² + b²
S² = 3² + 4² 
 
S = 5 cm      

Direção e sentido: conforme a figura 

Exemplo IV: Quaisquer direções

Dados: cos 60º = 0,5

 

RESOLUÇÃO

        Regra do Paralelogramo

Módulo:     S² = a² + b² + 2 · a · b · cos 60º
                 S² = 3² + 4² + 2 · 3 · 4 · 0,5
                 S² = 9 + 16 + 12
                 S = 6,1 cm

Direção e Sentido: de acordo com a figura

 

MODELO 2

Representação Gráfica

Dados os vetores , e , represente graficamente os vetores:

a) + 
b) + 
c) + + 

RESOLUÇÃO

 

        Regra dos Vetores Consecutivos (Método Poligonal)

a) A Resultante +  tem origem na origem do vetor  e extremidade na extremidade do vetor .

 

b) A Resultante  +  tem origem na origem do vetor  e extremidade na extremidade do vetor .

          

c) A Resultante + + tem origem na origem do vetor e extremidade na extremidade do vetor . 
          

Modelo 3

Produto de um Número Real Por um vetor

 

Módulo: 
Direção: a mesma de (com n 0)
Sentido: mesmo de , para n > 0
                 contrário de , para n < 0.

Obs.:  quando n = 0 temos p = 0

 

EXEMPLO I:

        Dados os vetores: ,  e  .

Represente graficamente : 2, -3 e 2.

RESOLUÇÃO

 

Modelo 4

Subtração Vetorial

 

Dados os vetores e conforme a figura, determine graficamente o vetor diferença = - e calcule o seu módulo.

Dados: || = 4 cm 
              || = 3 cm
                   cos 60º = 0,5

RESOLUÇÃO

1.      = -      = + (-)

2.      Trocar o sentido do vetor 

3.      Utilizar a regra do paralelogramo

4.      Calcular o Módulo

d ² = a ² + b ² - 2·a·b·cos 60º
d ² = 4 ² + 3 ² - 2·4·3·0,5
d ² = 16 + 9 -12
d ² = 13
d = 3,7 cm

 

Modelo 5

Projeção de Vetores

 

        Para cada vetor, teremos duas projeções, uma no eixo x (horizontal) e outra no eixo y (vertical).

        Projetar um vetor é determinar as componentes cartesianas desse vetor. (comprimento da "sombra" no eixo x e y)

 

EXEMPLO I: Determinar o comprimento da "sombra" do vetor no eixo x, devemos "olhar" o vetor de cima para baixo até o eixo x. Dado: || = a = 2 cm

RESOLUÇÃO

 

    a)    Para determinar o comprimento da "sombra" do vetor no eixo x, devemos "olhar" o vetor de cima para baixo até o eixo x.

Módulo: || = 2 cm

    b)    Para determinar o comprimento da "sombra" do vetor no eixo y, devemos "olhar" o vetor de frente, da direita para a esquerda até o eixo y.

Módulo: || = 0 cm

Portanto: = 2 cm 
                = 0 cm

 

EXEMPLO II: Determinar as projeções do vetor nos eixos x e y. Considere: || = a = 2 cm.

RESOLUÇÃO

 

    a)     Para determinar o comprimento da "sombra" do vetor no eixo x, devemos "olhar" o vetor de cima para baixo até o eixo x.

Módulo:  || = 0 cm

    b)    Para determinar o comprimento da "sombra" do vetor no eixo y, devemos "olhar" o vetor de frente, da direita para a esquerda até o eixo y.

Módulo: || = 2 cm

Portanto: = 0 cm 
               = 2 cm

Obs.: Vetor paralelo ao eixo medida real do vetor
         Vetor ortogonal ao eixo zero

 

EXEMPLO III: Determine as projeções do vetor nos eixos x e y. 
                                      Dados: || = a =  2 cm, cos 60º = 0,5 e sen 60 = 0,87.

RESOLUÇÃO

    a)    Para determinar o comprimento da "sombra" do vetor no eixo x, devemos traçar uma reta paralela ao eixo y, da extremidade do vetor até o eixo x.

Módulo: || = a · cos 60º
              || = 2 · 0,5 = 1 cm
              || = 1 cm

    b)    Para determinar o comprimento da "sombra" do vetor no eixo y, devemos traçar uma reta paralela ao eixo x, da extremidade do vetor até o eixo y.

Módulo:  || = a · sen 60º
               || = 2 · 0,87 1,74 cm
               || = 1,74 cm

Portanto: = 1 cm       
               = 1,74 cm