Mathématique Pdf

[Ray Kowalewski]

Les mathmatiques (ou la mathmatique) sont un ensemble de connaissances abstraites rsultant de raisonnements logiques appliqus des objets divers tels que les ensembles mathmatiques, les nombres, les formes, les structures, les transformations, etc. ; ainsi qu'aux relations et oprations mathmatiques qui existent entre ces objets. Elles sont aussi le domaine de recherche dveloppant ces connaissances, ainsi que la discipline qui les enseigne.

Elles possdent plusieurs branches telles que : l'arithmtique, l'algbre, l'analyse, la gomtrie, la logique mathmatique, les probabilits, etc. Il existe galement une certaine sparation entre les mathmatiques pures et les mathmatiques appliques.

Bien que les rsultats mathmatiques soient des vrits purement formelles, ils trouvent des applications dans les autres sciences et dans diffrents domaines de la technique. C'est ainsi qu'Eugene Wigner dclare que la draisonnable efficacit des mathmatiques dans les sciences de la nature est une chose presque mystrieuse [1],[2].

La forme neutre pluriel de l'adjectif μαθηματικός a t substantive en τὰ μαθηματικά (t mathēmatik) pour dsigner les sciences mathmatiques dans leur ensemble. Cette forme, utilise par Aristote, explique l'usage du pluriel pour le substantif en latin chez Cicron (mathematica) puis en franais et dans certaines autres langues europennes.

L'usage du pluriel est un hritage de l'poque antique, o le quadrivium regroupait les quatre arts dits mathmatiques : l'arithmtique, la gomtrie, l'astronomie et la musique. Le singulier ( la mathmatique ) est parfois employ en franais, mais le mot donne alors au contexte une teinte d'archasme ou de didactisme . Toutefois, certains auteurs, la suite de Nicolas Bourbaki, insistent sur l'utilisation du singulier, pour montrer l'uniformisation apporte par l'approche axiomatique contemporaine : Jean Dieudonn semble tre le premier avoir insist sur ce point, et le vaste trait de Bourbaki (dont il est l'un des principaux rdacteurs) s'intitule lments de mathmatique, tandis que, par contraste, le fascicule historique qui l'accompagne a pour titre lments d'histoire des mathmatiques. Cdric Villani prconise l'utilisation du singulier pour affirmer l'unit du domaine[4].

Il est probable que l'tre humain a dvelopp des comptences mathmatiques avant l'apparition de l'criture. Les premiers objets reconnus attestant de comptences calculatoires sont les btons de comptage, tels que l'os d'Ishango (en Afrique) datant de 20 000 ans avant notre re. Le dveloppement des mathmatiques en tant que connaissance transmise dans les premires civilisations est li leurs applications concrtes : le commerce, la gestion des rcoltes, la mesure des surfaces, la prdiction des vnements astronomiques, et parfois l'excution de rituels religieux[rf. ncessaire].

Dans la civilisation grecque, les mathmatiques, influences par les travaux antrieurs et les spculations philosophiques, recherchent davantage d'abstraction. Les notions de dmonstration et de dfinition axiomatique sont prcises. Deux branches se distinguent, l'arithmtique et la gomtrie. Au IIIe sicle av. J.-C., les lments d'Euclide[6] rsument et ordonnent les connaissances mathmatiques de la Grce. Hypathie (ne entre 355 et 370 - 415, Alexandrie), est la premire mathmaticienne dont la vie est bien documente[7].

Les mathmatiques chinoises et indiennes (plus prcisment de la valle de l'Indus) sont parvenues en occident par la civilisation islamique travers la conservation de l'hritage grec et l'interfcondation avec les dcouvertes, notamment en matire de reprsentation des nombres[rf. ncessaire]. Les travaux mathmatiques sont considrablement dvelopps tant en trigonomtrie (introduction des fonctions trigonomtriques) qu'en arithmtique. L'analyse combinatoire, l'analyse numrique et l'algbre polynomiale sont inventes et dveloppes.

Durant la renaissance du XIIe sicle , une partie des textes grecs et arabes sont tudis et traduits en latin. Le savoir est unifi dans la scolastique, rconciliation du christianisme et de la philosophie d'Aristote. La scolastique est alors enseigne dans les universits europennes partir du XIIIe sicle. La recherche mathmatique se concentre en Europe.

Au XVIe sicle se dveloppe - avec notamment Pierre de La Rame - l'ide qu'il existe une science universelle (mathesis universalis) sur laquelle il serait possible de fonder l'ensemble des connaissances. Paralllement, la scolastique fonde sur une philosophie spculative perd de son prestige et l'aristotlisme est battu en brche, l'occasion de la controverse ptolmo-copernicienne du XVIe au XVIIIe sicle, remettant en cause le postulat antique et mdival selon lequel la Terre est au centre de l'univers physique (gocentrisme).

Au XVIIe sicle, Galile se rend compte que les mathmatiques sont un outil appropri pour dcrire le monde physique, ce qu'il rsume dans son ouvrage L'Essayeur publi en 1623 en affirmant que le livre de l'Univers est crit en langue mathmatique .Les mathmatiques constituent donc, avec la dmarche exprimentale, l'un des deux piliers du dveloppement de la science moderne. Descartes voit ds 1629, dans les Rgles pour la direction de l'esprit, les possibilits qu'offrent les mathmatiques pour jouer ce rle[8]. Descartes souligne, dans le Discours de la mthode, l'attrait des mathmatiques, cause de la certitude et de l'vidence de leurs raisons . Le calcul algbrique se dveloppe alors la suite des travaux de Vite et de Descartes. Newton[N 1] et Leibniz, indpendamment, inventent le calcul infinitsimal.

Au cours du XVIIIe sicle et du XIXe sicle, les mathmatiques connaissent de forts dveloppements avec l'tude systmatique des structures, commencer par les groupes issus des travaux de Galois sur les quations polynomiales, et les anneaux introduits par Dedekind. Wang Zhenyi, dveloppe une thorie permettant de mieux comprendre les clipses lunaires[9].

Le XIXe sicle voit avec Cantor et Hilbert le dveloppement d'une thorie axiomatique sur tous les objets tudis, soit la recherche des fondements mathmatiques[10]. Ce dveloppement de l'axiomatique conduira plusieurs mathmaticiens du XXe sicle chercher dfinir toutes les mathmatiques l'aide d'un langage, la logique mathmatique.

Le XXe sicle connat un fort dveloppement en mathmatiques avec une spcialisation des domaines, et la naissance ou le dveloppement de nombreuses branches (thorie de la mesure, thorie spectrale, thorie du chaos, topologie algbrique et gomtrie algbrique, par exemple)[N 2],[N 3]. L'informatique a eu un impact sur la recherche. D'une part, elle a facilit la communication et le partage des connaissances, d'autre part, elle a fourni un outil apprciable pour la confrontation aux exemples. Ce mouvement a conduit la modlisation et la numrisation.

Des dcoupages des mathmatiques en deux, trois ou quatre domaines diffrents sont proposs : algbre et analyse, ou bien algbre, analyse et gomtrie, ou bien algbre, analyse, gomtrie et probabilits. De tels dcoupages ne sont pas vidents et les frontires les sparant sont toujours mal dfinies. En effet, de nombreux rsultats font appel des comptences mathmatiques varies. Le thorme de Fermat-Wiles[N 4], tabli en 1994, en est un exemple. Bien que l'nonc en soit formul de manire dite arithmtique, la preuve ncessite de profondes comptences en analyse et en gomtrie.

L'algbre est l'ensemble des mthodes mathmatiques visant tudier et dvelopper les structures algbriques et comprendre les relations qu'elles entretiennent entre elles. L'algbre, au sens actuel, trouve historiquement ses origines dans la comprhension des quations polynomiales et dans les dveloppements des mthodes de rsolution : les recherches dans ces domaines ont suscit l'mergence des notions qui fondent la thorie des groupes, la thorie de Galois ou encore la gomtrie algbrique.

En un sens trs restrictif, l'analyse est la partie des mathmatiques s'intressant aux questions de rgularit des applications d'une variable relle ou complexe : on parle alors plus volontiers d'analyse relle ou d'analyse complexe. En un sens largi, elle englobe toutes les mthodes mathmatiques qui s'y apparentent, et un certain nombre de mthodes pour comprendre et analyser les espaces de fonctions.

La gomtrie tente de comprendre en premier lieu les objets dans l'espace, puis par extension s'intresse aux proprits d'objets plus abstraits, plusieurs dimensions, introduits selon plusieurs approches, relevant autant de l'analyse que de l'algbre.

En France, cette distinction structure souvent les quipes de recherche, sans forcment hypothquer les possibilits d'interactions entre elles. Toutefois, la pertinence de cette distinction est remise en cause par un certain nombre de mathmaticiens. L'volution des domaines et de leurs objets d'tude peut galement contribuer dplacer une ventuelle frontire ou notion de sparation. Selon une boutade d'Ian Stewart, auteur de nombreux ouvrages portant sur les mathmatiques populaires, dans son œuvre intitule Mon cabinet des curiosits mathmatiques, La relation entre les mathmaticiens purs et appliqus est fonde sur la confiance et la comprhension. Les mathmaticiens purs ne font pas confiance aux mathmaticiens appliqus, et les mathmaticiens appliqus ne comprennent pas les mathmaticiens purs [11]. Les mathmatiques appliques, en un sens mal dfinies, comprennent entre autres l'analyse numrique, les statistiques appliques et la thorie de l'optimisation mathmatique. Certains domaines de recherche des mathmatiques sont ns la frontire avec d'autres sciences (voir ci-dessous).

Les mathmatiques sont parfois surnommes reine des sciences . Cependant, l'expression remonte Carl Friedrich Gauss : Regina Scientiarum[12] et le mot scientiarium signifie en ralit des connaissances .

Censment, les mathmatiques utilisent la logique comme outil pour dmontrer des vrits organises en thories. Une premire analyse laisse esprer qu'une utilisation puissante de cet outil tellement sr, une rduction toujours plus pousse des bases, les axiomes, sur lesquelles s'chafaude l'difice mathmatique, finissent par mener un corpus de faits incontestables. Plusieurs obstacles se dressent pourtant.

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