w poszukiwaniu rekomendacji
Wlodzimierz Holsztynski
i są rekomendowane. Co dana
liczba pierwsza, a raczej jej
potęga rekomenduje można
obliczyć wprost:
sd(p^a) = ... * q^b * ...
a więc p^a rekomenduje między
innymi q^b.
Trudniej (ciekawiej) znajdować jest
liczby pierwsze p, a raczej ich
potęgi p^a, które rekomendują
daną liczbę pierwszą q oraz
jej potęgi.
Powiem, że p^a rekomenduje q
ze wspólczynnikiem k, gdy
(*) sd(p^a) = k*q
(być może k jest podzielne przez
pewną potęgę q^c; wtedy p^a
rekomenduje co najmniej q^(c+1),
ale przez chwilę tym nie myślę).
Rekomendacja (*) oznacza, że
(**) k*q - 1 = p*sd(p^(a-1))
(przy okazji rekomendowane są
także dzielniki pierwsze k).
To pozwala nam wydajnie szukać
rekomendującej liczby p. Wystarczy
rozłożyć k*q-1 na czynniki pierwsze
oraz dokonać wśród nich selekcji.
Można napisać kolejny program.
Gdy szukamy rekomendacji dla potęgi
q^b, przez p^a, to możemy stosować
uogólnienie równości (**), mianowicie:
(***) k*q^b - 1 = p * sd(p^(a-1))
PRZYKŁAD q=2
2*q-1 = 3 = 3*sd(3^0).
Zatem 3^1 rekomenduje 2, a nawet 2^2.
PRZYKŁAD q=3
3-1 = 2 = 2*sd(2^0), więc 2^1 rekomenduje
(gołe) 3.
PRZYKŁAD q=5
5-1 = 4 = 2^2 -- gołe 5 jest nierekomendowalne;
2*5 - 1 = 3^2 -- liczba 5 nie jest rekomendowalna
ze wspólczynnikiem k=2;
3*5 - 1 = 2*7 = 2*sd(2^2) -- liczba 5 jest
rekomendowana ze współczynnikiem 3
przez 2^3.
PRZYKŁAD q=7
7-1 = 2*3 = 2*sd(2^1) -- gołe 7 jest
rekomendowane przez 2^2.
PRZYKŁAD q=11
11-1 = 2*5 -- nic z tego, gołe 11 nigdy
nie jest rekomendowane;
2*11-1 = 3*7 -- ani nie jest rekomendowane
ze wspólczynnikiem 2;
3*11-1 = 2^5 -- ładnie (śmisznie) to
wygląda, ale znowu nie daje rekomendacji;
4*11-1 = 43 = 43*sd(43^0) --wreszcie 11
jest rekomendowane, ze współczynnikiem 4
przez 43^1.
PRZYKŁAD q=13
13-1 = 2^2*3 = 3*sd(3^1) -- gołe 13 jest
rekomendowane przez 3^2.
Itd.
Uwaga, gołe rekomendacje są raczej
mniej obiecujące przy polowaniu na
baroki, niż pozostałe rekomendacje;
myślę że gołe rekomendacje rzadko
występują w barokowych liczbach, ale
kto wie.
Darek wspomnial obok, że q = 7450297
często występuje w rozkładach 5000+
znanych liczb barokowych. Chyba
w 1 potędze? Wtedy samo rekomenduje
2 23 149 1087
bowiem
7450297+1 = 2 * 23 * 149 * 1087
Artur pytał o częste komplety czynników
pierwszych liczb barokowych. Niewątpliwie
23 149 1087 występują często wraz z
7450297 (także 2, ale 2 występuje jak
dotąd zawsze; 2 jest rekomendowane przez
każdą liczbę pierwszą p > 2). Jednak
muszą występować też (inne?) liczby
pierwsze z tym q, które to q rekomendują;
właśnie, jakie p rekomendują to q? (i to
q^1, a nie q^wyższej).
Pozdrawiam,
Włodek
Mirek
> Darek wspomnial obok, że q = 7450297
> często występuje w rozkładach 5000+
Często? Raczej rzadko, tylko 85 razy (789 pozycja pod względem
częstości, na 5177 sklasyfikowanych liczb piewszych, oraz 1068 pozycja
gdy rozróżnia się potęgi liczb pierwszych)
> znanych liczb barokowych. Chyba
> w 1 potędze?
tak
>Wtedy samo rekomenduje
>
> 2 23 149 1087
>
> bowiem
>
> 7450297+1 = 2 * 23 * 149 * 1087
Cżęstości występowania potęgi 2 występujące razem z 7450297:
1 2^468
9 2^334
14 2^133
18 2^267
21 2^66
22 2^200
Potęgi 23 razem z 7450297::
1 23^10
1 23^11
2 23^12
4 23^7
5 23^2
6 23^3
6 23^4
6 23^8
8 23^5
10 23^9
12 23^6
24 23
Potęgi 149 razem z 7450297::
1 149^3
13 149^2
71 149
Potęgi 1087 razem z 7450297::
13 1087^2
72 1087
Teraz statystyki dla wszystkich znanych baroków.
Tabela częstości c występowania liczb pierwszych p (dla c>1000):
c p c p c p c p
c p c p
5188 2 4798 17 3916 67 2918 73 1985 409 1489 257
5144 3 4791 31 3806 47 2793 181 1964 229 1489 1723
5124 7 4568 23 3784 53 2721 103 1945 211 1455 1093
5100 5 4508 43 3456 127 2710 109 1934 113 1392 449
5051 19 4405 37 3343 97 2681 157 1888 107 1386 241
5042 13 4370 29 3281 83 2655 131 1833 281 1367 911
5035 11 4268 61 3252 71 2593 137 1815 631 1342 467
4102 41 2587 331 1736 367
1333 523
4061 79 2548 89 1687 547
1330 313
2409 151 1676
199 1324 683
2408 59 1667
431 1282 163
2343 139 1620
193 1249 149
2305 307 1601
179 1198 433
2283 271 1553
167 1189 421
2196 223 1543
601 1157 5419
2059 191 1529
379 1134 439
2053 101 1507
263 1117 1279
1505 317 1104 521
1103 197
1084 757
1076 499
1054 3169
1027 5113
1027 2557
1005 3221
Tabela najczęstszych p^1:
c p
2022 83
2022 331
2019 127
1886 307
1798 137
1751 89
1735 181
1716 103
1715 97
1679 271
1678 73
1672 631
1671 157
1643 151
1634 131
1625 409
1619 71
1575 223
1570 431
1563 191
1527 109
1513 79
1497 139
1496 211
1436 59
1434 1723
1424 67
1421 281
1418 367
1389 61
1370 107
A oto tabela najczęstszych potęg >1 liczb pierwszych (piewsza
trzydziestka):
1363 79^2
1309 61^2
1147 67^2
1028 43^2
1020 53^2
1020 41^2
1011 97^2
973 47^2
971 71^2
964 37^2
963 127^2
911 31^2
877 29^2
869 43^3
868 83^2
844 37^3
831 31^3
820 109^2
796 61^3
778 73^2
766 79^3
761 157^2
757 53^3
734 41^3
734 37^4
728 181^2
726 67^3
724 47^3
721 29^3
709 31^4
> Artur pytał o częste komplety czynników
> pierwszych liczb barokowych. Niewątpliwie
> 23 149 1087 występują często wraz z
> 7450297
Trójka 23 149 1087 (w dowolnych potęgach) występuje 204 razy, a 85
wystąpień razem z 7450297.
(także 2, ale 2 występuje jak
> dotąd zawsze; 2 jest rekomendowane przez
> każdą liczbę pierwszą p > 2). Jednak
> muszą występować też (inne?) liczby
> pierwsze z tym q, które to q rekomendują;
> właśnie, jakie p rekomendują to q? (i to
> q^1, a nie q^wyższej).
Kombinacje potęg 23 149 1087 razem z 7450297
c
24 23 149 1087
8 23^6 149 1087
6 23^5 149 1087
6 23^4 149 1087
5 23^9 149 1087
4 23^3 149 1087
4 23^2 149 1087
2 23^9 149^2 1087
2 23^9 149 1087^2
2 23^8 149^2 1087^2
2 23^8 149 1087^2
2 23^7 149 1087
2 23^6 149^2 1087
2 23^6 149 1087^2
2 23^5 149^2 1087
2 23^3 149 1087^2
1 23^9 149^2 1087^2
1 23^8 149^2 1087
1 23^8 149 1087
1 23^7 149^3 1087^2
1 23^7 149^2 1087
1 23^2 149 1087^2
1 23^12 149^2 1087
1 23^12 149 1087
1 23^11 149 1087
1 23^10 149^2 1087
Wszystkie zaobserowane kombinacje potęg 23 149 1087 (ciekawostka
23^1 149^1 1087^1 występuje dwa razy bez 7450297):
26 23 149 1087
21 23^6 149 1087
20 23^4 149 1087
19 23^5 149 1087
13 23^9 149 1087
10 23^8 149 1087
9 23^7 149 1087
9 23^3 149 1087
8 23^9 149^2 1087
8 23^2 149 1087
5 23^8 149^2 1087
5 23^7 149^2 1087
5 23^6 149^2 1087
5 23^5 149^2 1087
5 23^12 149 1087
5 23^10 149 1087
3 23^11 149 1087
2 23^9 149 1087^2
2 23^8 149^2 1087^2
2 23^8 149 1087^2
2 23^6 149 1087^2
2 23^4 149^2 1087
2 23^3 149 1087^2
2 23^2 149^2 1087
2 23^13 149^3 1087
2 23^10 149^2 1087
1 23^9 149^2 1087^2
1 23^7 149^3 1087^2
1 23^7 149 1087^2
1 23^5 149 1087^2
1 23^4 149^3 1087
1 23^3 149^2 1087
1 23^2 149 1087^2
1 23^14 149 1087
1 23^12 149^2 1087
1 23^10 149^3 1087
Mirek
On 19 Cze, 23:58, Wlodzimierz Holsztynski <sennaj...@gmail.com> wrote:
> Powiem, że p^a rekomenduje q
> ze wspólczynnikiem k, gdy
>
> (*) sd(p^a) = k*q
>
> (być może k jest podzielne przez
> pewną potęgę q^c; wtedy p^a
> rekomenduje co najmniej q^(c+1),
> ale przez chwilę tym nie myślę).
>
> Rekomendacja (*) oznacza, że
>
> (**) k*q - 1 = p*sd(p^(a-1))
Wlodku wytłumacz proszę skąd się wzięła zależność (**).
dK
On 21 Cze, 18:40, Mirek <m...@zind.ikem.pwr.wroc.pl> wrote:
> On 19 Cze, 23:58, Wlodzimierz Holsztynski <sennaj...@gmail.com> wrote:
>
> > Darek wspomnial obok, że q = 7450297
> > często występuje w rozkładach 5000+
>
> Często? Raczej rzadko, tylko 85 razy (789 pozycja pod względem
> częstości, na 5177 sklasyfikowanych liczb piewszych, oraz 1068 pozycja
> gdy rozróżnia się potęgi liczb pierwszych)
Oczywiście pojęcia często, rzadko są względne.
Po prostu rzuciło mi się to w oczy w porównaniu z taką np.
trzycyfrowe 823, która jest tylko 44 razy, 977 - 38 razy
a nie wiele większa 1319 raptem 1 raz.
Nie sprawdzałem nielubianych w ogóle podstaw pierwszych.
Pozdrawiam
dK
Wlodzimierz Holsztynski
Ponieważ:
sd(p^a) = 1 + p + ... + p^a
= 1 + p*sd(p^(a-1))
Teraz od obu stron (*) odejmij 1,
i dostaniesz (**). Trywialne, ale
pożyteczne.
Pozdrawiam,
Włodek
dK
On 21 Cze, 20:32, dK <c...@wp.pl> wrote:
> Nie sprawdzałem nielubianych w ogóle podstaw pierwszych.
>
Jest taka całkiem nieduża, 5279 - nigdzie nie występuje
i spełnia 8*(659+1) = 4*(1319+1) = 5279+1
gdzie 659 i 1319 to też rarytasy wśród podstaw.
dK
Wlodzimierz Holsztynski
> Oczywiście pojęcia często, rzadko są względne.
> Po prostu rzuciło mi się to w oczy w porównaniu z taką np.
> trzycyfrowe 823, która jest tylko 44 razy, 977 - 38 razy
> a nie wiele większa 1319 raptem 1 raz.
Twoje, Darku, "często" interpretowałem jako
"niespodziewanie często". Spodziewamy
się częstego występowania małych liczb
pierwszych, i rzadkiego -- dużych. Możnaby
wykreślić zależnośc we współrzędnych:
jednak oś -- liczby pierwsze, druga oś --
liczba wystąpień w bazie 5000+. Wtedy wyjątki
rzucą się w oczy. Bodajże 59 występuje
"niespodziewanie rzadko", a w każdym razie
rzadziej niż liczby pierwsze nieco większe
od niej, nie mówiąć już o mniejszych.
Ponad regularnie, że tak powiem, występują
liczby pierwsze Mersenna. Chyba dlatego, że
rekomendują wysokie potęgi 2, po czym
potęga 2 rekomenduje inne liczby pierwsze.
Oczywiście, by nie było marnacji, taka
liczba Mersenna powinna (niemalże musi)
wtedy być rekomendowana przez nieparzystą
liczbę pierwszą (w jakiejś potędze), a nie
przez potęgę 2.
W zasadzie każda liczba pierwsza q, a nawet
jej dowolna potęga q^b może być rekomendowana
przez odpowiednią potęgę każdej innej liczby
pierwszej, co wynika z Małego Twierdzenia
Fermata, i jego przedłużenia:
(i) q | p^(q-1) - 1 = (p-1)*sd(p^(q-2))
Zatem przy założeniu p =/= 1 mod,
potęga p^(q-2) rekomenduje q.
Natomiast, gdy p=1 mod q, to
q | sd(p^(q-1)), czyli p^(q-1)
rekomenduje q w takim przypadku.
Oraz ogólniej:
(ii) q^b | p^((q-1)*q^(b-1)) - 1
= (p-1) * sd(p^((q-1)*q^(b-1) - 1))
Znowu, gdy p =/= 1 mod q, to
p^((q-1)*q^(b-1) - 1) rekomenduje q^b.
Itd.
Dla baroku jednak ekstra ważne są przypadki,
w których powyższego typu podzielności zachodzą
dla niższych wykładników. Wtedy q ma znacznie
większą szansę występowania w barokach.
Te niższe wykładniki zdarzają się, nawet
do pewnego stopnia muszą. Z tw. Dirichleta
wiemy, że, dla każdej liczby pierwszej q
oraz wykładnika b, oo-wiele pierwszych p,
występuje w postępie arytmetycznym:
(k*q^a - 1 : k=1 2 ...)
Czyli każda potęga q^a może być rekomendowana
wręcz przez 1-szą potęgę liczby pierwszej, przez
pewne p = p^1.
Trzeba jednak rekomendować też rekomendowaczy.
Robi się ciekawy galimatias :-)
> Nie sprawdzałem nielubianych w ogóle
> podstaw pierwszych.
Rozumiem, Darku, że jak nie lubisz, to
nie lubisz. Ale czy podzielisz się obiektywną
definicją liczb przez Ciebie nielubianych?
(A nuż inni je polubią :-).
Pozdrawiam,
Włodek
Wlodzimierz Holsztynski
> Darek wspomnial obok, że q = 7450297
> często występuje w rozkładach 5000+
> znanych liczb barokowych. Chyba
> w 1 potędze? Wtedy samo rekomenduje
>
> 2 23 149 1087
>
> bowiem
>
> 7450297+1 = 2 * 23 * 149 * 1087
>
> Artur pytał o częste komplety czynników
> pierwszych liczb barokowych. Niewątpliwie
> 23 149 1087 występują często wraz z
> 7450297 (także 2, ale 2 występuje jak
> dotąd zawsze; 2 jest rekomendowane przez
> każdą liczbę pierwszą p > 2).
Powinienem był to sformułować o wiele
dobitniej. Liczby 23 149 oraz 1087
są większe od najwięckszego wspólczynnika
barokowego w tabeli 5000+. Zatem MUSZĄ
wystąpić w liczbie barokowej tabeli 5000+ za
KAŻDYM razem, kiedy występuje 7450297^1.
Natomiast dalej nie wiemy, kto rekomenduje z
kolei 7450297 **w tabeli** 5000+ (bo w ogóle,
to owszem, każda liczba pierwsza to potrafi;
mogą jednak potrzebować wykładnika aż
7450296 :-)
Pozdrawiam,
Włodek
Mirek
On 21 Cze, 22:45, Wlodzimierz Holsztynski <sennaj...@gmail.com> wrote:
> Natomiast dalej nie wiemy, kto rekomenduje z
> kolei 7450297 **w tabeli** 5000+ (bo w ogóle,
> to owszem, każda liczba pierwsza to potrafi
> mogą jednak potrzebować wykładnika aż
> 7450296 :-)
We wszytstkich 85 przypadkach jest to ten sam przypadek sd(193707721)
= 193707722 = 26*7450297
Mirek
On 21 Cze, 22:45, Wlodzimierz Holsztynski <sennaj...@gmail.com> wrote:
> Natomiast dalej nie wiemy, kto rekomenduje z
> kolei 7450297 **w tabeli** 5000+ (bo w ogóle,
> to owszem, każda liczba pierwsza to potrafi;
> mogą jednak potrzebować wykładnika aż
> 7450296 :-)
Zawsze jest to 193707721
Wlodzimierz Holsztynski
> On 21 Cze, 22:45, Wlodzimierz Holsztynski <sennaj...@gmail.com> wrote:
>
> > Natomiast dalej nie wiemy, kto rekomenduje z
> > kolei 7450297 **w tabeli** 5000+
>
> We wszytstkich 85 przypadkach jest to ten sam przypadek sd(193707721)
> = 193707722 = 26*7450297
(gdzie 26 = 2*13).
Dziękuję, Mirku. Z tym, że według bazy danych
Achima-Darka, to obie te liczby pierwsze:
7450297 oraz 193707721 występują w bazie
5000+ tylko 84 razy. (Chyba Ci się przytrafiła
literówka, z tym 85).
Tak więc, ponieważ najwyższy współczynnik barokowości
w bazie 5000+ wynosi 11, to cały komplet liczb pierwszych:
2 13 23 149 1087 7450297 193707721
występuje razem 84 razy (liczba 2 występuje z innymi,
ale "bez powodu" :-).
Pozdrawiam,
Włodek
dK
On 22 Cze, 08:12, Wlodzimierz Holsztynski <sennaj...@gmail.com> wrote:
>
> 2 13 23 149 1087 7450297 193707721
>
> występuje razem 84 razy (liczba 2 występuje z innymi,
> ale "bez powodu" :-).
>
Włodku, to Mirek ma racje 7450297
występuje 85 razy, jakaś liczba przy imporcie
z tabeli nie przeniosła się w całosci (jej rozkład)
Muszę to zweryfikować z tabelą 5189, czy to jeden przypadek,
czy może jest takich przypadków więcej.
Wyrywkowa kontrola poprawności nie pozwala mi znaleźć jakiejkolwiek
źle przeniesionej,
więc są to sporadyczne wypadki. I nawet przypuszczam już czym
spowodowane.
Ale to szczegół administracyjnobazodanowy więc nie zanudzam.
Oczywiście wyniki weryfikacji przekażę, a zdekompletowane rozkłady
uzupełnie.
Pozdrawiam
dK
Wlodzimierz Holsztynski
> On 22 Cze, 08:12, Wlodzimierz Holsztynski <sennaj...@gmail.com> wrote:
>
>
>
> > 2 13 23 149 1087 7450297 193707721
>
> > występuje razem 84 razy (liczba 2 występuje z innymi,
> > ale "bez powodu" :-).
>
> Włodku, to Mirek ma racje 7450297
> występuje 85 razy, jakaś liczba przy imporcie
> z tabeli nie przeniosła się w całosci (jej rozkład)
> Muszę to zweryfikować z tabelą 5189, czy to jeden
> przypadek, czy może jest takich przypadków więcej.
Dziękuję Darku za powiadomienie.
Przepraszam Mirku za strrrraszliiiiwe pomówienie,
zwracam honor :-)
> są to sporadyczne wypadki. I nawet przypuszczam
> już czym spowodowane.
Przy tak długich linijkach mogą się pakować
EOL (Return lub CR lub \n kombinacje), bo
różne systemy mają różne twarde ograniczenia
na długość linii. Więc albo linię przełamują, albo
koncówkę połykają i wypluwają w kosmos, w czarne
dziury. Tak sobie plotę. Sam(i) wiecie takie rzeczy.
> Ale to szczegół administracyjnobazodanowy
> więc nie zanudzam.
>
> Oczywiście wyniki weryfikacji przekażę,
> a zdekompletowane rozkłady uzupełnie.
Żeby ominąć (zredukować) kłopoty z długimi
liniami, to proponowałem podawać indeksy
liczb pierwszych, zamiast samych liczb. Można
nawet podawać je w hex. Zysk będzie podwójny,
bo dalsza oszczędność długości linijki, a także
zwiększona możliwość zapamiętywania
odpowiedniości pomiędzy liczbami pierwszymi
i ich indeksami.
Zwiększy się też nasza świadomość teorio-
liczbowa, będziemy wiedzieć, że w hex mamy:
prime[0]=2, ..., prime[A]=31, prime[B]=37,
..., prime[F]=53, prime[10]=59, prime[11]=69, ...
(hexowe [10] oraz [11], natomiast liczby
pierwsze zapisywalem dziesiętnie).
Pozdrawiam,
Włodek
Mirek
> 7450297 oraz 193707721 występują w bazie
> 5000+ tylko 84 razy. (Chyba Ci się przytrafiła
> literówka, z tym 85).
Chyba mamy inne bazy:
$ zgrep '\.\<7450297\>' mpn.gz |wc -l
85
> Tak więc, ponieważ najwyższy współczynnik barokowości
> w bazie 5000+ wynosi 11, to cały komplet liczb pierwszych:
>
> 2 13 23 149 1087 7450297 193707721
>
> występuje razem 84 razy (liczba 2 występuje z innymi,
> ale "bez powodu" :-).
Again
$ a="2 13 23 149 1087 7450297 193707721"
$ b=$(echo $a|sed 's/\</[^^]\\</g;s/\>/\\>.*/g;s/ //g');echo "$b"
[^^]\<2\>.*[^^]\<13\>.*[^^]\<23\>.*[^^]\<149\>.*[^^]\<1087\>.*[^^]\<7450297\>.*[^^]\<193707721\>.*
$ zgrep "$b" mpn.gz |wc -l
85
Mirek
On 21 Cze, 22:25, Wlodzimierz Holsztynski <sennaj...@gmail.com> wrote:
> Rozumiem, Darku, że jak nie lubisz, to
> nie lubisz. Ale czy podzielisz się obiektywną
> definicją liczb przez Ciebie nielubianych?
> (A nuż inni je polubią :-).
Pierwsza setka liczb pierwszych nie występujących w liście 5000+:
1667, 1847, 2087, 2309, 2341, 2371, 2381, 2477, 2503, 2591, 2621,
2647, 2707, 2797, 2819, 2837, 2903, 2917, 2953, 3023, 3041, 3119,
3229, 3253, 3259, 3517, 3559, 3581, 3623, 3719, 3733, 3821, 3847,
3853, 3911, 3919, 3929, 3967, 4001, 4003, 4007, 4013, 4027, 4073,
4093, 4157, 4211, 4229, 4243, 4297, 4337, 4349, 4363, 4391, 4397,
4451, 4463, 4493, 4507, 4517, 4549, 4567, 4583, 4643, 4723, 4729,
4751, 4783, 4789, 4813, 4871, 4889, 4903, 4919, 4937, 5021, 5039,
5051, 5077, 5081, 5087, 5147, 5189, 5261, 5273, 5279, 5309, 5323,
5381, 5387, 5407, 5413, 5417, 5437, 5441, 5443, 5477, 5507, 5519, 5521
Wlodzimierz Holsztynski
> Pierwsza setka liczb pierwszych nie występujących w liście 5000+:
> 1667, 1847, 2087, 2309, 2341, 2371, 2381, 2477, 2503, 2591, 2621,
> 2647, 2707, 2797, 2819, 2837, 2903, 2917, 2953, 3023, 3041, 3119,
> 3229, 3253, 3259, 3517, 3559, 3581, 3623, 3719, 3733, 3821, 3847,
> 3853, 3911, 3919, 3929, 3967, 4001, 4003, 4007, 4013, 4027, 4073,
> 4093, 4157, 4211, 4229, 4243, 4297, 4337, 4349, 4363, 4391, 4397,
> 4451, 4463, 4493, 4507, 4517, 4549, 4567, 4583, 4643, 4723, 4729,
> 4751, 4783, 4789, 4813, 4871, 4889, 4903, 4919, 4937, 5021, 5039,
> 5051, 5077, 5081, 5087, 5147, 5189, 5261, 5273, 5279, 5309, 5323,
> 5381, 5387, 5407, 5413, 5417, 5437, 5441, 5443, 5477, 5507, 5519, 5521
Dzięki, Mirku! To cenne. Warto posprawdzać, co one
rekomendują, i kto je rekomenduje, bez jednoczesnego
rekomendowania wielkich liczb pierwszych.
Popatrzmy na rekomendowanie, bo to łatwiejsze:
O dziwo, pierwsze cztery (w potędze 1) rekomendują
niewielkie liczby pierwsze:
sd(1667) = 2^2 * 3 * 139
sd(1847) = 2^3 * 3 * 7 * 11
sd(2087) = 2^3 * 3^2 * 29
sd(2309) = 2*3*5*7*11
To dopiero -- iloczyn pięciu kolejnych, najmniejszych
liczb pierwszych!
Ich barokowa, mała jak dotąd przydatność,
"musi" być wynikiem braku rekomendacji,
które by się nie wiązały z rekomendowaniem
dużych liczb pierwszych. Ciekawe, czy to
prawda? (Na pewno!!! :-) Ale gdyby tak nie
było w przypadku jednej z tych nielubianch
liczb pierwszych, to możnaby urządzić
specjalne polowanie na baroki z jej użyciem.
Pozdrawiam,
Włodek
PS. Mirku, przeprosiłem Cię za 84/85
zanim się poparłeś. (Faktycznie,
mogłem się pofatygować z komendą:
egrep | wc).
dK
> O dziwo, pierwsze cztery (w potędze 1) rekomendują
> niewielkie liczby pierwsze:
>
> sd(1667) = 2^2 * 3 * 139
> sd(1847) = 2^3 * 3 * 7 * 11
> sd(2087) = 2^3 * 3^2 * 29
> sd(2309) = 2*3*5*7*11
>
Idąc tym tropem dalej
2*3*5*7*11*13=sd(30029)
gdzie oczywiście 30029 też jest jak dotąd też nielubiane.
Dalej się już nie da bo 2*3*5*7*11*13*17
wskazuje nam 510509, a ta liczba pierwsza już nie jest
510509=61*8369
Pozdrawiam
dK
dK
On 22 Cze, 08:36, dK <c...@wp.pl> wrote:
> Włodku, to Mirek ma racje 7450297
> występuje 85 razy, jakaś liczba przy imporcie
> z tabeli nie przeniosła się w całosci (jej rozkład)
> Muszę to zweryfikować z tabelą 5189, czy to jeden przypadek,
> czy może jest takich przypadków więcej.
>
> Wyrywkowa kontrola poprawności nie pozwala mi znaleźć jakiejkolwiek
> źle przeniesionej,
> więc są to sporadyczne wypadki. I nawet przypuszczam już czym
> spowodowane.
> Ale to szczegół administracyjnobazodanowy więc nie zanudzam.
>
> Oczywiście wyniki weryfikacji przekażę, a zdekompletowane rozkłady
> uzupełnie.
Witam,
łącznie 37 liczb z bazy 5189 nie przeniosło się w całości.
Wśród nich jest ta, która ma 85 raz wspomnianą 7450297
Mam je wszystkie już wyłapane, teraz pozostaje napisać skrypt, który
uzupełni w bazie brakujące
podzielniki i wykładniki.
Przyczyna jest już też znana, otóż na serwerze strefa.pl jest zadany
krótki czas wykonywania się skryptu
i, niestety, urywał się on w trakcie przenoszenia podzielników.
Wniosek: będę przenosił w którymś
momencie nasze narzędzia bazodanowe na inny serwer, który nie serwuje
takich niespodzianek. Tym bardziej, że
do dyspozycji na nim jest raptem 25 MB pojemności dla bazy danych, a
nasza ma już 21, więc jak dorzucimy sami
z 1000 nowych baroków, to nam pęknie w szwach ;-)
Przy okazji, byłem przekonany, że identyfikator Richa jest unikalny,
otóż nie jest
np liczb identyfikowanych jako f34i3c są dwie a na dodatek obie mają
taką samą głębokość -
parametr podawany razem z identyfikatorem. Nie znam algorytmu
tworzenia tego identyfikatora
ale chyba spotkałem gdzieś jego opis.
Pozdrawiam
Darek
Mirek
> Przy okazji, byłem przekonany, że identyfikator Richa jest unikalny,
> otóż nie jest
> np liczb identyfikowanych jako f34i3c są dwie a na dodatek obie mają
> taką samą głębokość -
Takich nieunikalnych id+deep jest 136 :)
A nawet jeden jest poczwórny: g39s7e,12 - pozostałe duplikaty są podwójne.
> parametr podawany razem z identyfikatorem. Nie znam algorytmu
> tworzenia tego identyfikatora
> ale chyba spotkałem gdzieś jego opis.
W opisie tabelki na stronie Achima?
dK
On 23 Cze, 19:15, dK <c...@wp.pl> wrote:
> łącznie 37 liczb z bazy 5189 nie przeniosło się w całości.
Baza porawiona.
dK
Wlodzimierz Holsztynski
> Przy okazji, byłem przekonany, że identyfikator
> Richa jest unikalny, [...]
Relacyjne bazy danych sa wielowymiarowymi tabelami,
a właściwie parametryzacją w wielowymiarowej przestrzeni
t.zw. pól (fields). Jeden z parametrów może być, i niech
będzie, czysto dla raz na zawsze identyfikacji w ramach
bazy danych--w naszym wypadku liczb barokowych.
Niech każda pojawiająca się liczba barokowa otrzyma
jednoznaczny, nowy, kolejny numerek, id. Tak mechanicznie,
chronologicznie otrzymane id nie ma żadnego znaczenia
poza naszą księgowością. Wlaśnie id jest parametyzującym
polem, jak t w przypadku krzywej r(t) w R^n.
A teraz wyliczmy koncepcyjne pola (własności,
features) liczby barokowej x:
(1) brq(x) -- stopień barokowości; na przykład
liczby doskonałe ma ją stopień barokowości 2;
(2) wykładnik 2 czyli vertex[0] := ord_2(b);
(3) wykładnik 3 czyli vertex[1] := ord_3(b);
(4) moc nośnika czyli liczba pierwszych
dzielników liczby x:
supp(x) := # { p \in P : p | b }
= # { j: vertex[j] > 0 }
(5) liczba dzielników pierwszych występujących
w potędze wyższej niż 1:
SUPP(x) := # { p \in P : p^2 | x }
= # { j: vertex[j] > 1 }
(5') liczba dzielników pierwszych występująca
w potędze pierwszej:
single(x) := supp(x) - SUPP(x)
(6) suma wykładników:
wkdSum(x) := Sum { vertex[j] : j < pDim }
(7) największy pierwszy podzielnik;
(8) największa co do wielkości pierwsza potęga
prime[j] ^ vertex[j];
(9) reprezentacja x w postaci x = i^a.j^b.k^c...
gdzie i j k ... jest roznącym ciągiem indeksów
liczb pierwszych z nośnika liczby x:
x = vertex[i]^a * vertex[j]^b * ...
Darku, jako możliwość, przedstawiam opcję
prezentowania w tabelach wybranych pól
spośród (1)-(9) (w szczególności wszystkich),
wraz z sortowaniem względem pierwszego
wskazanego pola i drugiego--są to standardowe
opcje relacyjnych baz danych. Nie wiem
jak trudne jest to w kontekście internetowym,
jak nasz. (Nie czuj przypadkiem presji, miej
Darku tylko przyjemność i satysfakcję).
Pozdrawiam,
Włodek
dK
http://www.caria.strefa.pl/lb/liczba.php?idLiczby=1057
Otóż jednym z czynników jest 10052678938039 która to liczba
rekomenduje 4280767,
ale tej już nie ma wśród czynników samej liczby. NIe wiem czy znowu
jakieś kuriozum,
czy tez sytuacje występujące regularnie.
Przejrzałem kilkadziesiąt liczb i pierwszy raz na taką sytuację
natrafiłem.
dK
Wlodzimierz Holsztynski
> Kolejna ciekawostkahttp://www.caria.strefa.pl/lb/liczba.php?idLiczby=1057
>
> Otóż jednym z czynników jest 10052678938039
> która to liczba rekomenduje 4280767,
> ale tej już nie ma wśród czynników samej liczby.
Gdzieś skrył się błąd. Bowiem w poprawnym wypadku
oznaczałoby to liczbę, której współczynnik barokowy
dzieli się przez 4280767, a więc byłby równy co
najmniej 4280767. Ale takie liczby barokowe
są nieznane i nieprędko będą znane, gdyż musiałyby
być przepotężne.
Pozdrawiam,
Włodek
dK
On 24 Cze, 13:06, Wlodzimierz Holsztynski <sennaj...@gmail.com> wrote:
> On 24 Cze, 03:13, dK <c...@wp.pl> wrote:
>
> > Kolejna ciekawostkahttp://www.caria.strefa.pl/lb/liczba.php?idLiczby=1057
>
> > Otóż jednym z czynników jest 10052678938039
> > która to liczba rekomenduje 4280767,
> > ale tej już nie ma wśród czynników samej liczby.
>
> Gdzieś skrył się błąd. Bowiem w poprawnym wypadku
> oznaczałoby to liczbę, której współczynnik barokowy
> dzieli się przez 4280767, a więc byłby równy co
> najmniej 4280767.
Rzeczywiście, masz rację sprawdziłem ręcznie i nie ma takiej
rekonmendacji
jest natomiast 36833, czyli OK
Przepraszam za zamieszanie, idę oberwać uszy procedurze :>
dK
dK
On 24 Cze, 13:38, dK <c...@wp.pl> wrote:
> Rzeczywiście, masz rację sprawdziłem ręcznie i nie ma takiej
> rekonmendacji
> jest natomiast 36833, czyli OK
>
> Przepraszam za zamieszanie, idę oberwać uszy procedurze :>
>
Procedura nie winna - winny serwer, który w php nie oferuje
biblioteki gmp(!!!). To takie badziewie, że nawet nie jestem w stanie
wywołać polecenia, które
powie mi jaka to wersja php'a :<<<
Decyzja zapadła baza będzie przeniesiona na inny serwer - no i ten
krótki czas wykonywania skryptu, ech..
Na razie pozostawiam tak jak jest, przy czym dla dużych podzielników
serie rekomendacji będa błędne
opis rekomendacje są wyświetlone "kaskadowo"
tzn jak to czytać
przykładowo przy 2888330917
mamy:
414157(317, 11, 2), 207079(2), 167(31, 5, 2, 2, 2), 7(3, 2, 2, 2),
2(2, 2)
oznacza to, że 2888330917 rekomenduje 414157, 317, 11, 2
dalej pierwsza z tej listy 414157 rekomenduje 207079,2
dalej pierwsza z tej listy 207079 rekomenduje 167, 31, 5, 2, 2, 2
itd...
ale uwaga zaufać można podzielnikom co najwyżej 10-cyfrowym. Wyżej
mogą być i są bzdury.
dK
PS. Widzę, ze są różnego rodzaju interpelacje i postulaty w różnych
wątkach. Proponuję odrębny wątek
pt. Wnioski do "sprawdzarki".
Mirek
On 21 Cze, 22:45, Wlodzimierz Holsztynski <sennaj...@gmail.com> wrote:
> Natomiast dalej nie wiemy, kto rekomenduje z
> kolei 7450297 **w tabeli** 5000+ (bo w ogóle,
> to owszem, każda liczba pierwsza to potrafi;
> mogą jednak potrzebować wykładnika aż
> 7450296 :-)
Mam dwa pytanie do Włodka:
====================================
(*)
Jak to jest z tymi wykładnikami, mie wyszło (empirycznie),
że minimalny wykładnik a dowolnej liczby pierwszej q:
q^a rekomenduje p
należy do zbioru:
A: a \in { d-1 : d>1, d|(p-1) } + {p-1}
PYTANIE_1: Czy to prawda?
(**)
W dodatku wyszło mi, że minimalna wartość wykładnika b, gdy q^b
rekomenduje p^c dla c>1
b= (a+1) * p^(c-1) - 1, gdzie a jak wyżej.
========================
Korzystając z (*) wziąłem na tapetę p=1667
(pierwsza z nieobecnych w tabeli 5000+).
Dla liczb pierwszych q<10^6 szukałem rekomendacji dla
p=1667 takich, że maksymalny dzielnik pierwszy sd(q^a)
jest też mniejszy od 10^6.
Na razie przejrzałem ok 25% zakresu i znalazłem takie
rekomendacje q^a:
90017^1
100019^1
116689^1
126691^1
136693^1
160031^1
236713^1
Żadna z tych q nie występuje w tabeli 5000+!!!!
PYTANIE_2:
Interesuje mnie, czy istnieje jakieś oszacowanie
(szczególnie od dołu) maksymalnego dzielnika pierwszego
wartości:
sd(p^n)
Mirek
Wlodzimierz Holsztynski
> (*)
> Jak to jest z tymi wykładnikami, mie wyszło (empirycznie),
> że minimalny wykładnik a dowolnej liczby pierwszej q:
>
> q^a rekomenduje p
>
> należy do zbioru:
>
> A: a \in { d-1 : d>1, d|(p-1) } + {p-1}
>
> PYTANIE_1: Czy to prawda?
***
Trochę to niejasno napisałeś, ale widzę co chciałeś powiedzieć.
Zachodzi więcej (o czym pisałem pod psem; wszystko jedno
śmiało Mirku pytaj, nie przejmuj się). Mamy dwa przypadki
(i) oraz (ii):
(i) q = 1 mod p
===========
Wtedy p | sd(q^a) <==> p | a+1
Zatem najmniejsze a, dla którego q^a rekomenduje p,
wynosi, w przypadku (i), a := p-1.
(ii) q =/= 1 mod p
=============
Wtedy najmniejsze a, dla którego q^a rekomenduje p,
spełnia warunek a+1 | p-1.
> (**)
> W dodatku wyszło mi, że minimalna wartość
> wykładnika b, gdy q^b rekomenduje p^c dla c>1
>
> b= (a+1) * p^(c-1) - 1, gdzie a jak wyżej.
Chociaż to jest fałszywe, to ma zdrowe jądro. Pisałem
o tym więcej niż raz pod psem (nie przejmuj się, Mirku :-),
ale zawsze ciut nie do końca. Napiszę o tym raz jeszcze
tutaj, albo gdzie indziej po angielsku, gdy zakończę
pierwszy etap s.a. Poprawny wynik daje lepsze minimalne b,
bowiem zachodzi następujące twierdzenie:
p | sd(q^a) ==>
ord_p ( sd(q^((a+1)*p^c - 1)) ) = ord_p (sd(q^a)) + c
***
> ========================
>
> Korzystając z (*) wziąłem na tapetę p=1667
> (pierwsza z nieobecnych w tabeli 5000+).
>
> Dla liczb pierwszych q<10^6 szukałem rekomendacji dla
> p=1667 takich, że maksymalny dzielnik pierwszy sd(q^a)
> jest też mniejszy od 10^6.
>
> Na razie przejrzałem ok 25% zakresu i znalazłem takie
> rekomendacje q^a:
>
> 90017^1
> 100019^1
> 116689^1
> 126691^1
> 136693^1
> 160031^1
> 236713^1
>
> Żadna z tych q nie występuje w tabeli 5000+!!!!
Chyba nawet nie są rekomendowane przez
potęgi p^a, będące pełnymi dzielnikami
liczb barokowych z tabeli 5000+ (?).
> PYTANIE_2:
>
> Interesuje mnie, czy istnieje jakieś oszacowanie
> (szczególnie od dołu) maksymalnego dzielnika
> pierwszego wartości:
>
> sd(p^n)
Nie dziwię się, że Cię to interesuje :-)
Niestety, nie znam literatury.
Pozdrawiam,
Włodek
PS. Dziękuję, Mirku, za przejrzyste formatowanie
postu. Czyta mi się o wiele łatwiej.
PPS. Napisałem ten post 2' raz. Za pierwszym
straciłem, mimo, że Google poprawił się. Nie
wymazuje postu, tylko informuje, że sesja
wygasła. Zrobiłem Ctrl-A + Ctrl-C. Ale potem,
po Ctrl-A dałem znowu Ctrl-C, zamiast Ctrl+V.
Grrrr... Odtąd będę tworzył nowe okno,
a tekst w starym trzymał aż do sukcesu.
Aha! Tak się stało :-)
Mirek
> Poprawny wynik daje lepsze minimalne b,
> bowiem zachodzi następujące twierdzenie:
>
> p | sd(q^a) ==>
>
> ord_p ( sd(q^((a+1)*p^c - 1)) ) = ord_p (sd(q^a)) + c
No tak, pod warunkiem, że zachodzi
ord_p (sd(q^a)) > 1 ,
ale nie dopuszczałem myśli o takim przypadku,
znowu załapałem się PML (Prawo Małych Liczb) :(
> > Dla liczb pierwszych q<10^6 szukałem
> > rekomendacji dla p=1667 takich, że maksymalny
> > dzielnik pierwszy sd(q^a) jest też mniejszy
> > od 10^6.
Do 10^6 jest 39 takich liczb q - wszystkie
rekomendacje są postaci q^1.
> > Żadna z tych q nie występuje w tabeli 5000+!!!!
Co jest prawdą dla wszystkich 39 liczb -
oczywiście q^1 nie mogło wystąpić, ale miałem
nadzieję, że będą jakieś q^n.
> Chyba nawet nie są rekomendowane przez
> potęgi p^a, będące pełnymi dzielnikami
> liczb barokowych z tabeli 5000+ (?).
Nie do końca rozumiem :(
Czy chodzi o
a=ord_p(x), x liczba barokowa z tabeli
Jeżeli tak, to jest to truizm - inaczej w tabeli
byłyby liczby
brq(x) > 1000
> PS. Dziękuję, Mirku, za przejrzyste formatowanie
> postu. Czyta mi się o wiele łatwiej.
Staram się, chyba zrozumiałem Ciebie.
> PPS. Napisałem ten post 2' raz. Za pierwszym
> straciłem, mimo, że Google poprawił się. Nie
> wymazuje postu, tylko informuje, że sesja
> wygasła. Zrobiłem Ctrl-A + Ctrl-C. Ale potem,
> po Ctrl-A dałem znowu Ctrl-C, zamiast Ctrl+V.
> Grrrr... Odtąd będę tworzył nowe okno,
> a tekst w starym trzymał aż do sukcesu.
A może skorzystasz z mojej wcześniejszej sugestii
dotyczącej obsługi grupy via e-mail? Ja z tego
właśnie korzystam.
(1) Wiadomości na grupę można postować także
wysyłając e-maile na adres
liczby-barokowe (at) googlegroups.com
(2) W panelu grupy na www w googlu można sobie
wyklikać (instrukcja jest poniżej), aby
wszystkie posty na grupie były automatycznie
przesyłane na konto e-mailowe.
Co daje prywatne archiwum i ułatwia
odpowiedzi via e-mail.
Mirek
============================================
INSTRUKCJA do pkt (2)
==== wersja (EN)
Wchodzisz na:
http://groups.google.com/group/liczby-barokowe
Z prawej strony (u mnie na szarym tle) klikasz:
Edit my membership
i zaznaczasz:
Email (Approximately 1 email per day)
Send each message to me as it arrives
==== wersja (PL)
http://groups.google.pl/group/liczby-barokowe
Edycja mojego profilu ->
E-mail (Mniej więcej 1 e-mail dziennie)
Przesyłaj mi każdą wiadomość, która się ukaże
============================================
PS.
Ja nie znoszę interfejsów webowych do grup czy
poczty. Większość piszę na konsoli tekstowej
- prawie wszyscy się pytają: a ty znowu używasz
DOS-a :)
Wlodzimierz Holsztynski
> On Sun, Jul 15, 2007 at 04:12:20PM -0700, Wlodzimierz Holsztynski wrote:
> > Poprawny wynik daje lepsze minimalne b,
> > bowiem zachodzi następujące twierdzenie:
>
> > p | sd(q^a) ==>
>
> > ord_p ( sd(q^((a+1)*p^c - 1)) ) = ord_p (sd(q^a)) + c
>
> No tak, pod warunkiem, że zachodzi
>
> ord_p (sd(q^a)) > 1 ,
Mirku, dlaczego tylko "> 1"? Napisałem, że dla
"ord_p (sd(q^a)) > 0", tyle, że w równoważnej
postaci, łatwiejszej dla oka: p | sd(q^a).
Czy serio uważasz, że się pomyliłem, czy też
przydażyła Ci się literówka?
***
Jeszcze wrócę ewentualnie do Twojego listu.
Teraz jest tu prawie 2am, a ja sobie debuguję
te trochę kodu, co mam. W pewnym momencie
mam nadzieję, że przyspieszę. Grunt, że idę
do przodu. Potem podam też inne podejście,
może lepsze niż s.a., do szukania baroków,
systematyczne poprzez TWRy.
***
DYGRESJA:
Mirku, dlaczego uważasz, że TWRu mają coś
wspólnego z pokrewieństwem różnych baroków;
sam tak nigdy nie patrzyłem, lecz napisałem w
pełni, dlaczego warto, wręcz należy, ograniczać
się do baz typu TWR -- w przeciwnym wypadku
marnuje się ruchy które trafiają w przestrzeń
pomiędzy daną bazą (wektorem wykładników),
a TWR poniżej tej bazy (jest taki, wyznaczony
jednoznacznie!), bo w tej przestrzeni pod
nie TWRowską baza na pewno nie ma baroków.
Na pokrewieństwa warto być uczulonym,
ale nie widzę związku z pojęciem TWRu.
***
Pozdrawiam,
Włodek
Mirek
>
> On 16 Lip, 01:05, Mirek <mk...@zind.ikem.pwr.wroc.pl> wrote:
>
> > On Sun, Jul 15, 2007 at 04:12:20PM -0700, Wlodzimierz Holsztynski wrote:
>
> > > Poprawny wynik daje lepsze minimalne b,
> > > bowiem zachodzi następujące twierdzenie:
> >
> > > p | sd(q^a) ==>
> >
> > > ord_p ( sd(q^((a+1)*p^c - 1)) ) = ord_p (sd(q^a)) + c
> >
> > No tak, pod warunkiem, że zachodzi
> >
> > ord_p (sd(q^a)) > 1 ,
>
> Mirku, dlaczego tylko "> 1"? Napisałem, że dla
> "ord_p (sd(q^a)) > 0", tyle, że w równoważnej
> postaci, łatwiejszej dla oka: p | sd(q^a).
Upał od rana mi doskwiera :(
Chciałem napisać, że popełniłem błąd zakładając
spełnienie równości:
ord_p (sd(q^a)) == 1
dla minimalnego a dającego rekomendację q^a -> p.
Mirek
>
> DYGRESJA:
>
> Mirku, dlaczego uważasz, że TWRu mają coś
> wspólnego z pokrewieństwem różnych baroków;
Intuicja - być może ślepa :(
Braki w wiedzy pokrywam zapałem do pracy.
> sam tak nigdy nie patrzyłem, lecz napisałem w
> pełni, dlaczego warto, wręcz należy, ograniczać
> się do baz typu TWR
Właśnie nie czuję za bardzo niuansów TWRów.
A zaplanowana lektura Twoich wcześniejszych
postów jest w zawieszeniu - własnie google padł:(
> -- w przeciwnym wypadku
> marnuje się ruchy które trafiają w przestrzeń
> pomiędzy daną bazą (wektorem wykładników),
> a TWR poniżej tej bazy (jest taki, wyznaczony
> jednoznacznie!), bo w tej przestrzeni pod
> nie TWRowską baza na pewno nie ma baroków.
Czy mógłbyś mnie oświecić co znaczy
"wyznaczony jednoznacznie"?
> Na pokrewieństwa warto być uczulonym,
> ale nie widzę związku z pojęciem TWRu.
Sorry za szum informacyjny.
W dodatku zapomniałem przekazać na grupie, że
dałem sobie spokój z klonowanie cyklotomicznym.
Oszacowałem, że do końca roku nie byłbym w stanie
przetrawić tą metodą tabeli 5000+. O ile niektóre
pary kończyły swój żywot góra w kilkuset krokach,
to trafiałem też na takie dające miliony
iteracji.
Twoja nazwa "tabela 5000+" jest ładna, ale męczy
mnie to pisanie - od dziś będę używał oznaczenia
t5k ;)
Natomiast mam następne wnioseki z analizy t5k:
1)
Przez p_max(n) oznaczam największy dzielnik
pierwszy liczby barokowej n.
W większości przypadków (>3500) p_max jest
rekomendowany przez 2^a
p_max(n) | sd(2^ord_2(n))
2) W t5k jest tylko:
- 435 unikalnych wartości p_max
- 496 unikalnych rekomendacji p_max
Wlodzimierz Holsztynski
> > -- w przeciwnym wypadku
> > marnuje się ruchy które trafiają w przestrzeń
> > pomiędzy daną bazą (wektorem wykładników),
> > a TWR poniżej tej bazy (jest taki, wyznaczony
> > jednoznacznie!), bo w tej przestrzeni pod
> > nie TWRowską baza na pewno nie ma baroków.
Zachodzi o wiele więcej (tym bardziej należy stosować
TWRy; pisałem niekoncentrując się, chcę programować :-) :
Niech wkd : P --> {0 1...} będzie dowolną bazą.
Niech twr : P --> {0 1...} będzie największym TWRem,
spłniającym twr \< wkd. Wtedy każda liczba barokowa b,
spełniająca logp(b) \< wkd, spełnia logp(b) \< twr.
Jest tak, bo logp(b) jest TWRem dla każdej liczby
barokowej b.
17 Lip, 10:33, Mirek <mk...@zind.ikem.pwr.wroc.pl> pyta:
> Czy mógłbyś mnie oświecić co znaczy
> "wyznaczony jednoznacznie"?
Dla każdego wkd : P --> {0 1...} istnieje TWR twr \< wkd
taki, że dla każdego TWRu t : P --> {0 1...}, spełniającego
warunek t \< wkd, zachodzi t \< twr. Taki twr : P --> {0 1...}
jest dla każdego wkd : P --> {0 1...} dokładnie jeden
(oczywiście, że co najwyżej jeden, bo gdy t jest jeszcze
jeden taki, to twr \< t oraz t \< twr, więc t = twr).
Pozdrawiam,
Włodek
PS. Chyba napiszę i wkleję post
"Multiplikatywne N oraz zbiór TWRów, jako kraty Birkhoffa",
w którym wyjaśnię, jak najklarowniej potrafię,
położenie TWRów wśrod wszystkich baz
wkd : P --> {0 1...}