liczby grube, chude, i (lepsze) szczupłe TWRy
Wlodzimierz Holsztynski
Przypominam, że sd_Q(n) oznacza sumę dzielników
liczby naturalnej n, ale ta suma jest "obcięta" do n
(ścisłą defionicję podaję na zakończenie postu, w
appendix).
Liczbę n nazwę Q-grubszą od jej dzielnika
właściwego k | n, gdy sd_Q(n) | sd_Q(k).
Liczbę Q-grubszą od innej nazywam Q-grubą.
W przeciwnym wypadku nazywam ją Q-chudą.
Niech pd(n) będzie zbiorem wszystkich różnych
dzielników pierwszych liczby n. Na przykład:
pd( 16900000000 ) = {2 3 13}
Będę też używał skrótu:
sd_pd(n) := sd_{pd(n)} (n)
Liczbę naturalną n nazywam grubszą od k, gdy
n jest pd(n)-grubsza od k (a więc k musi być
dzielnikiem liczby n).
Liczbę nazywam grubą, gdy jest grubsza od choćby
jednej innej liczby. W przeciwnym wypadku nazywam
ją chudą.
PRZYKŁAD pds(360) = {2 3 5}. Ponieważ 360 =
======== 2^3*3^2*5, to:
sd(360) = 15 * 13 * 6 = 2 * 3^2 * 5 * 13
oraz
sd_pd(360) = 2 * 3^2 * 5
Z drugiej strony 120 | 360 oraz:
sd(120) = 2^3 * 3^2 * 5
Widzimy, że dla Q := pd(360) zachodzi:
sd_pd(360) = sd_Q(360) | sd_Q(120)
czyli 360 jest grubsze od 120; a więc 360
jest grube.
*********
Każda liczba chudsza od barokowej jest barokowa.
Ponadto, dla dowolnej liczby barokowej łatwo jest
podać wszystkie liczby barokowe, grubsze od danej.
Dlatego w zasadzie możnaby ograniczyć się do
szukania tylko chudych liczb barokowych.
*****
Jest dosyć jasnym, że warto, a nawet należy,
ograniczyć się do baz barokowych, które są chudymi
TWRami, ale dokładniej napiszę o tym potem.
Piszę o tym, by później to zaprogramować, by o tym
nie zapomnieć.
Pozdrawiam,
Włodek
********************************
APPENDIX
Dla k \in N, mamy k = P^logp(n), gdzie
P := {2 3 ...} jest zbiorem wszystkich liczb pierwszych,
oraz logp(k) : P --> {0 1...} jest ciągiem wykładników,
z jakimi liczby pierwsze wystyepują w liczbie k:
k = Prod (p^(logp(k))(p) : p \in P).
Wtedy
k_Q := Q^(logp(k)|Q)
= Prod (q^(logp(k))(q) : q \in Q)
Wreszcie:
sd_Q(n) := (sd(n))_Q
Uffff...
Mirek
wątek o Q-tokach wydaje mi się, że zrozumiałem...
On Tue, Jul 17, 2007 at 02:02:28AM -0700, Wlodzimierz Holsztynski wrote:
> Każda liczba chudsza od barokowej jest barokowa.
Zbadałem chudość w tabeli 5000+.
O ile się nie pomyliłem:
1)
JEDYNYMI chudymi liczbami barokowymi są
liczby DOSKONAŁE :(
2)
"Chyba" tylko liczby doskonałe nr 1-12 mają liczby
barokowe grubsze o siebie.
Chyba, gdyż nie byłem w stanie sprawdzić
numerów >31.
W tabeli 1 podaję liczebności liczb grubych dla
poszczególnych chudzielców
=======
Tabela 1: Wykaz "mocy" chudości:
nr - numer kolejny
lG - liczba grubszych
D2 - 2^ord_2(n)
nr l_G D2
1: 5143 2
2: 5123 2^2
3: 4790 2^4
4: 3454 2^6
5: 630 2^12
6: 294 2^16
7: 273 2^18
8: 170 2^30
9: 74 2^60
10: 79 2^88
11: 40 2^106
12: 30 2^126
=======
3)
Tylko 4 grube liczby barokowe mają jednego
chudego rodzica.
4)
Ponieważ suma wartości w drugiej kolumnie
tabeli 1 przekracza liczbę znanych liczb
barokowych, to istnieją grubasy związane
więcej niż z jednym chudzielcem.
=======
Tabela 2: Wykaz liczebności powiązań chudy-gruby
LG - liczba grubasów mających dokładnie LC
chudzielców.
LC LG
1 4
2 139
3 1246
4 2774
5 909
6 72
7 1
>7 0
=======
> Ponadto, dla dowolnej liczby barokowej łatwo jest
> podać wszystkie liczby barokowe, grubsze od danej.
To proszę: dobij Achima i całą resztę ;)
> Dlatego w zasadzie możnaby ograniczyć się do
> szukania tylko chudych liczb barokowych.
Wybacz, ale nie będę życzył powodzenia.
Wlodzimierz Holsztynski
On 17 Lip, 09:44, Mirek <mk...@zind.ikem.pwr.wroc.pl> wrote:
> Czasami notacja była niejasna. Ale czytąć także
> wątek o Q-tokach wydaje mi się, że zrozumiałem...
> JEDYNYMI chudymi liczbami barokowymi są
> liczby DOSKONAŁE :(
Jestem pewny, że prawie wszystkie znane
liczby barokowe są chude (może wręcz
wszystkie znane 5000+).
Mimo to nastawienie się wyłącznie na chude liczby
barokowe może istotnie zwiększyć wydajność programu.
Popatrzmy na 3-barokową liczbę 120 = 2^3*3*5.
Mamy: sd_pd(120) = 3*120 = 2^3 * 3^2 * 5
Niech Q := pd(120) = {2 3 5}. Nie istnieje dzielnik
liczby właściwy n liczby 120, taki że 360 | sd_Q(n):
-- gdy 5 nie dzieli n, to 3^2 nie dzieli sd(n);
-- gdy 3 nie dzieli n, to 2^3 nie dzieli sd(n);
-- gdy 2^3 nie dzieli n, to 5 nie dzieli sd(n).
Zatem 120 jest chude, jest przykładem chudej
liczby 3-barokowej.
Powinienem napisać teraz o chudych i szczupłych
TWRach, ale chcę się skupić na programowaniu.
Napiszę potem.
Pozdrawiam,
Włodek
Mirek
> Jestem pewny, że prawie wszystkie znane
> liczby barokowe są chude (może wręcz
> wszystkie znane 5000+).
Sorry, znowu zrobiłem zamieszanie :(
Dopiero idąc do domu pomyślałem, że coś nie tak.
Był błąd w sprawdzaniu podzielności sd_Q (była
relacja odwrotna).
Więc z pewną dozą nieśmiałości:
dla żadnej pary x,y w t5k nie zachodzi relacja
chudszy-grubszy.
Czy wszystkie są chude?
W sensie zbioru t5k - tak.
Ale czy są chude w całej populacji liczb
barokowych?
Tego nie potrafię stwierdzić - brak mi twojej
wiedzy - zwłaszcza o tuszy liczb.