homorfizmy Mersenna (gcdisms po angielsku ;-)

[Wlodzimierz Holsztynski]

Skoro mamy operację gcd : N x N --> N, to
mamy także gcd-homomorfizmy. W języku
wektora wykładników gcd jest operacją
minimum po współrzednych (indeksowanych
liczbami pierwszymi). Takie homomorfizmy
możemy nazywać homomorfizmami
Mersenna, ze względu na zachowanie
liczb Mersenna (patrz niżej).

Pod psem wprowadziłem pojęcie, zresztą pewnie
klasycznie badane, ale nie wiem czy zgrabnie
nazwane, mianowicie (uogólnione) liczby Mersenna

M_a(n) := 1 + a + ... + a^(n-1)

o podstawie a, gdzie a jest liczbą naturalną.
Gdy p jest liczbą pierwszą, to

M_p(n) = sd(p^(n-1))

ale TYLKO, gdy p jest pierwsze. Oczywiście:

M_1(n) = n

(co raz jeszcze jest argumentem za tym, żeby
nie włączać 1 do liczb pierwszych). Otóż zachodzi:

TWIERDZENIE

gcd(M_a(k) M_a(n)) = M_a (gcd(k n))

***

Innymi słowy, funkcja n |--> M_a(n) jest
homomorfizmem Mersenna.

Dla a=2 jest to znane, klasyczne twierdzenie.
Dla pozostałych a dowód jest niemal ten sam.
Teraz się spieszę. Podałem dowód kiedyś pod
psem.

Pozdrawiam,

Włodek

[Mirek]

On Wed, Jul 11, 2007 at 05:50:17PM -0700, Wlodzimierz Holsztynski wrote:
> Pod psem wprowadziłem pojęcie, zresztą pewnie
> klasycznie badane, ale nie wiem czy zgrabnie
> nazwane, mianowicie (uogólnione) liczby Mersenna

Dzięki - odnalazłem to był 2004 rok, a google po
ostatnich udoskonaleniach coś szwankuje.

http://groups.google.pl/group/pl.sci.matematyka/browse_thread/thread/52030c63b675fe91/

Aż mnie czasami korci, aby przepostować parę
Twoich archiwalnych myśli do naszej grupy.

> M_a(n) := 1 + a + ... + a^(n-1)
>
> o podstawie a, gdzie a jest liczbą naturalną.
> Gdy p jest liczbą pierwszą, to

Ponawiam pytanie z wątku "Szalony pomysł":

Czy M_a dla "a" niebędących liczbami pierwszymi
mają jakieś zastosowanie dla liczb barokowych?

> TWIERDZENIE
>
> gcd(M_a(k) M_a(n)) = M_a (gcd(k n))

Uff, to jest mocniejszą wersją mojego
(nie)podobieństaw cyklotomicznego.