Fibonacci Sorozat

[Azalee Freas]

Nhny vide a Fibonacci szmokkal kapcsolatban:
A Fibonacci szmokbl alkotott meldia
Fibonacci sorozat a termszetben (angol nyelvű)
A varzslatos Fibonacci szmok (angol nyelvű)
A Fibonacci szmok s a tőzsde kapcsolata
Fibonacci s a FOREX
Fibonacci hasznlata

A Fibonacci-szmok (ejtsd: fibonaccsi) a matematikban az egyik legismertebb msodrendben rekurzv sorozat elemei. A nulladik eleme 0, az első eleme 1, a tovbbi elemeket az előző kettő sszegeknt kapjuk. Kpletben:

A Fibonacci-szmok vgtelen, nvekvő sorozatot alkotnak; ennek első nhny eleme a nulladiktl kezdve 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Fibonacci-szmok tbb nagy listja is szabadon letlthető az internetről.[1][2][3]

A sorozatot előszr 1150-ben rta le kt indiai matematikus, Gopala s Hemacsandra, akik a szanszkrit kltszet elmleti krdseit vizsglva tkztek egy sszegre bontsi problmba (hnyflekppen lehet rvid s hossz sztagokkal kitlteni egy adott időtartamot, ha egy hossz sztag kt rvidnek felel meg?). Nyugaton tőlk fggetlenl tallta meg 1202-ben Fibonacci, aki Liber Abaci (Knyv az abakuszrl) cmű művben egy kpzeletbeli nylcsald nvekedst adta fel gyakorlfeladatknt: hny pr nyl lesz n hnap mlva, ha felttelezzk, hogy

Ha n tart a vgtelenhez, a msodik tag nullhoz konvergl, azaz a Fibonacci-szmok a ϕ n / 5 \displaystyle \phi ^n/\sqrt 5 sorozathoz tartanak, ebből addik az arnyuk konvergencija. Mi tbb, a msodik tag mr kezdetben is olyan kicsi, hogy a Fibonacci-szmokat gy is megkaphatjuk, hogy csak az első tagot szmoljuk ki, s kerektnk a legkzelebbi egszre.

Az egyetlen Fibonacci-szm, ami egyben ngyzetszm is (a 0-t s az 1-et kivve) a 144. 1982-ben igazolta Pethő Attila, hogy csak vges sok Fibonacci-szm teljes hatvny. Legjabban Y. Bugeaud, M. Mignotte s S. Siksek bebizonytotta, hogy csak 8 s 144 teljes hatvnyok.

A rekurzv implementci a legegyszerűbb, de kzvetlenl nem alkalmas nagy Fibonacci-szmok kiszmtsra, mert a korbbi Fibonacci-szmokat sokszor ki kell szmtani hozz, amitől a futsidő exponenciliss vlik, mint pldul az albbi Perl illetve Java implementcikban:

Lineris futsidő rhető el kt vltoz hasznlatval, amelyek kezdetben 0 s 1 rtkeket kapnak, majd az elsőt minden lpsben fellrjuk a msodikkal, a msodikat pedig a kettő sszegvel.Ezt szemllteti az albbi Perl s Java implementci:

A Binet-formula hasznlata konstans futsidejű megoldst eredmnyez, de mgsem clszerű, mert a lebegőpontos szmbrzols ltalban nem elg pontos hozz, s a felgylemlő kerektsi hibk miatt tves eredmny addhat.

Minden pozitv egsz szm felrhat klnbző Fibonacci-szmok sszegeknt; ha a Fibonacci-szmok kztt nem lehet kt egymst kvető, akkor a felrs egyrtelmű. Ez a Zeckendorf-ttel, maga a felrs pedig Zeckendorf-reprezentci vagy Fibonacci-szmrendszer nven ismeretes.

A virgszirmok szma gyakran Fibonacci-szm: pldul a liliomnak, a nősziromnak s a hrmassziromnak hrom; a haranglbnak, a boglrknak, a larkspurnak s a vadrzsnak t; a szarkalbnak, a vrpipacsnak s a pillangvirgnak nyolc; a jakabnapi aggfűnek, a hamvasknak s a krmvirgnak 13; az őszirzsnak, a borzas kpvirgnak s a cikrinak 21; a fodroslevelű margitvirgnak, az tilapunak s egyes szzszorszpeknek 34; ms szzszorszp-fajoknak pedig 55 vagy 89 szirma van.

Fibonacci-spirlba rendeződnek pldul a fenyőtoboz s az anansz pikkelyei, a napraforg magjai, a mlna szemei, a karfiol rzsi s egyes kaktuszok tski. A nautiluszok hza is hasonlt a Fibonacci-spirlhoz, de nem egy negyed, hanem egy teljes kr alatt nő meg a sugr ϕ \displaystyle \phi \, -szeresre.

Przemyslaw Prusinkiewicz szerint ezen jelensgek egy rsze megmagyarzhat szabad csoportok bizonyos algebrai megktseinek kifejeződseknt, konkrtabban bizonyos Lindenmayer-nyelvtanokknt. A fraktlgeometriban a Fuchs-csoportok s a Klein-csoportok tanulmnyozsa kzben tallkozhatunk Fibonacci-szmokkal.

Lendvai Ernő magyar zenetrtnsz Bartk Bla muzsikjt elemző knyvben mutatja be azt, hogyan tagolta zeneműveiben az egyes zenei gondolatok temsorrendjt a Fibonacci-szm hosszsg szakaszok flhasznlsval Bartk. A Lendvai Ernő ltal felfedezett Fibonacci szerkezetelmleti sszefggseket Bartk sztnsen alkalmazta zenjnek formai arnyrendszerben.

Mindentt ott vannak. A csigahztl, a flkagylnkon t a galaxisokig szinte minden spirlis kpződmnyben. De vajon honnan ismeri a mikro s makrokozmosz a Fibonacci sorozatot? Netn a vilgmindensget ez alapjn teremtette a Mindenhat?

Ahhoz, hogy belssuk, milyen szinten van jelen a szmsor mindennapi letnkben, elg, ha rnznk sajt keznkre. 2 keznkn 5 ujjunk van s mindegyik ujjunkon 3 ujjpercnk, gyki csigolynk pedig nem tbb, nem kevesebb csontbl ll, mint 5-ből.

A varzslatos szmsor a zenben is elksr minket. Ha csak a kromatikus sklra tekintnk, 13 flhangbl ll, amelyet a zongora billentyűire nzve (mely ennek legkzenfekvőbb vizulis szemlltetse) pontosan 5 fekete s 8 fehr billentyűzet alkot. A legszebben csengő dr akkord pedig sorrendben az 1-ső, 5-dik s 8-dik (sic!) hang egyttes megszlaltatsval rhető el.

De felkaphatjk a fejket Douglas Adams rajongi is, hiszen a vilgmindensg rtelmnek kikiltott 42-es szm nem ms, mint a Fibonacci szmsorozatban egyms utn kvetkező 8+13+21 sszege. Sőt, msik kt Fibonacci szm sszege a 34 s a 8 sszege is ugyanezt a szmot adja eredmnyl.

Ha pedig ezeket a szmokat ngyszgek oldalnak hosszaknt hasznljuk fel, a ngyszgeket egyms mell rakjuk s pontjaikat krvekkel sszektjk, akkor az aranyspirlhoz jutunk, amelyet a termszet megannyi csodlatos teremtmnyben, sőt a vilgegyetemben is felfedezhetnk.

Ha megnzzk a napraforg fejt, spirl alakzatokat fedezhetnk fel benne, egszen pontosan 21-et vagy 34-et, attl fggően, melyik irnybl nzzk. Az anansz esetben szintn felfedezhetjk a spirlokat, szm szerint 8-at illetve 13-at. Ugyanerre a spirlra ismerhetnk r a Nautilus kagylban vagy ppen a fejes kposztban. De, ha tvolabbra tekintnk, a spirlgalaxisok is rendszerint ugyanezt az alakzatot mutatjk.

Az 1170 s 1250 kztt lt itliai matematikus, Leonardo di Pisa (ma ismert nevn Leonardo Fibonacci) valsznűleg sosem gondolta volna, hogy az internet s a kreacionizmus ltens hveinek ksznhetően ilyen legendss vlik az egybknt mr a 6. szzadi Indiban is ismert szmsorozat.

A XII. szzad Itlijban mg mindig a rmai szmokat hasznltk, amely igencsak megneheztette a szmokkal foglalkozk, elsősorban kereskedők lett. Leonardo maga is megtapasztalhatta ezt, amikor apjnak segtett, aki kereskedelmi gyvivő volt az Almohd-Dinasztia szultnusban, a mai Algria terletn. Itt botlott bele az ifj Leonardo az arabok ltal hasznlt tzes szmrendszerbe, amellyel sokkal egyszerűbben s hatkonyabban lehetett szmolni. Tbb arab matematikusnl tanult, hogy minl jobban elmlyedjen a tzes szmra az arab szmok tudomnyban, majd 1200 krl hazatrve Liber Abaci cmű művben kezdje npszerűsteni azokat.

A knyv a tzes szmrendszer s vele val műveletek ismertetsn tl szmos gyakorlati tmutatt knlt az let klnbző terleteire, a slyok s mrtkegysgek tvltstl a tőkekalkulcikon keresztl egszen a nyltenyszet elmleti nvekedsi grbjnek meghatrozsig. Ez utbbihoz hasznlt, meglehetősen erőltetett pldval vezette be az eurpai kztudatba az azta misztikuss vl szmsort, amelyet az irnta val tiszteletből rla neveztek el.

Valjban ppannyira vannak jelen, mint szmos egyb mintzat, amelyet matematikai modellekkel le tudunk rni. A misztikum azonban, amelyre cikknk elejn mi is pldkat hoztunk fel, nem ms, mint szemfnyveszts, egyszerű bűvszmutatvny. Kiragadott pldkat kerestnk a Fibonacci szmokra illetve a Fibonacci spirlra, nagyvonalan elfeledkezve mindazon esetekről, amikor a Fibonacci rejtlyt semmilyen mdon sem tudnnk rerőltetni a termszetre. 33 darab csigolynk van, nyakcsigolynk 7, htcsigolynk pedig 12. Egyikk sem Fibonacci szm. Ahogyan szmos virgnak a Fibonacci szmtl eltrő szm szirma van (pl. liliom 6, gardnia 9, hegyi babr 10).

Nem magyarztuk meg, mirt 12 hangbl ll egy oktv, ahogyan azt sem, hogy a flbemsz melankolikus dallamok elengedhetetlen kellke, a moll akkord mirt az 1-ső 4-dik s 8-dik (sic!) billentyű lenyomsval szlaltathat meg.

Szndkosan elfelejtettk megemlteni a szmsor nhny fontos matematikai trvnyszerűsgt. Egyrszt, hogy brmely egsz szm felrhat Fibonacci szmok segtsgvel, msrszt brmely szm előllthat kt vagy tbb olyan Fibonacci szm sszeadsval, amelyek nem szomszdai egymsnak. gy nem okozott klnsebb nehzsget a 42-t egymst kvető, illetve egymssal nem szomszdos Fibonacci szmokbl előlltani.

A Fibonacci spirlt gyakran hasonltjk az n. aranyspirlhoz, amely nem ms, mint az aranymetszsből ismert Fi alap logaritmikus spirl. Termszettudsok szerint a logaritmikus spirl mintzatt valban sok lőlny prblja kvetni, azon egyszerű oknl fogva, hogy ez a legjobb mdszer az arnyos nvekedsre, a napraforg tnyrja esetben pedig megkzeltőleg a leghatkonyabban tlthetik ki a magok a rendelkezsre ll terletet. Nmi kutatmunkval, a legszablyosabb egyedek megfelelő szgből trtnő lefnykpezsvel knnyen lehet tallni olyan spirlis alakzatokat, amelyek tkletesen kvetik az arany spirlt (ahogyan rengeteg olyat is, amelyek ms spirl alakzatokat kvetnek), de a termszet ritkn produkl matematikai tkletessget, elg ha pros szerveink eltrseire gondolunk. A művszeti alkotsok kapcsn, ahol a kompozci eleve megkvetel az alkottl bizonyos arnytartsokat, szintn lehet tallni pldkat az aranyspirlra, illetve az aranyszmmal, a Fi-vel lerhat arnyprokra. Ahogyan olyanokat is, ahol mg vletlenl sem talljuk őket.

A Fi egy irracionlis szm, kzeltő rtkkel 1,618, reciproka pedig 0,618. A Fibonacci szmsor elemeire 55-től kezdődően valban igaz, hogy az egymst kvető szmok hnyadosai egyre jobban kzeltik ezt az rtket, ebből addan a Fibonacci spirl s az aranyspirl kztt csak kzelebbről szemgyre vve vehető szre a klnbsg.

Ha lethű ft, vagy virgszirmot akarunk rajzolni, vagy biztosra akarunk menni egy kp belltsnl, a fenti arnyok figyelembevtelvel biztosan nem lvnk mell. Nem mellkesen pedig ilyen s ehhez hasonl szemet gynyrkdtető videkat lehet kszteni s megosztani.

Taln mr hallottl valamit a Fibonacci szmsorrl, ha mshol nem, akkor a Da Vinci kd cmű knyv vagy film kapcsn. A Fibonacci szmsor egy rendkvl rdekes matematikai sorozat melynek tagjai egymsra plnek.

c80f0f1006