ตอนผมเรียน
วิธีแก้สมการของนิวตัน ผมพบว่าเราสามารถใช้วิธีนี้หาค่าของการหารโดยใช้ขบวนการบวกลบและคูณเท่านั้น พบว่านักเรียนหลายๆคนไม่ทราบเรื่องนี้เลยมาบันทึกไว้ครับ
สมมุติว่าเราต้องการหาผลหาร B/A แล้วเราใช้ได้แต่การบวก การลบ การคูณเท่านั้น เราจะทำอย่างไร
เราสังเกตว่า B/A = B คูณกับหนึ่งหารด้วย A = B x 1/A
ดังนั้นท่าเราหาค่า 1/A ได้ เราก็เอา 1/A ไปคูณกับ B แล้วจะได้ผลลัพธ์ B/A นั่นเอง
วิธีหา 1/A ด้วยวิธีของนิวตันก็คือการหาค่า x ที่ทำให้สมการ f(x) = A-1/x = 0 เป็นจริง ค่า x ที่ได้จะมีค่าเท่ากับ 1/A พอดี
วิธีการของนิวตันบอกว่า ถ้าจะแก้สมการ f(x) = 0 ให้เราเดาค่า x มาสักค่า (เรียกมันว่า x
0) ก็แล้วกัน แล้วค่า x อันต่อไป (เรียกมันว่า x
1) ที่น่าจะทำให้ f(x) ใกล้ศูนย์มากขึ้น ควรจะคำนวณอย่างนี้ครับ:
x
1 = x
0 - f(x
0)/f'(x
0) โดยที่ f'(x) คือ derivative ของ f(x) ครับ
ถ้าค่า x
1 ทำให้ f(x) ไม่ใกล้ 0 พอ เราก็หา x
2, x
3, x
4, ... ไปเรื่อยๆจนเราพอใจว่าค่า f(x
n) ใกล้ 0 พอแล้ว โดยที่ x
n หาได้จาก x
n-1 ดังนี้ครับ:
x
n = x
n-1 - f(x
n-1)/f'(x
n-1)
ในกรณีที่ f(x) = A-1/x อย่างของเรา f'(x) = x
-2 ดังนั้น
x
n = x
n-1 - (A- 1/x
n-1)/x
-2
หรือ
x
n = 2 x
n-1 - A x
2 ซึ่งใช้แค่การคูณและการลบเท่านั้น ไม่มีการหาร
ยกตัวอย่างเช่น ถ้าเราจะหาค่า 1/5 เราก็ให้ค่า A = 5 แล้วเราก็เดาค่าเริ่มต้น x
0 ว่าเป็นสัก 0.1 แล้วหาค่า x
1, x
2, x
3 ไปเรื่อยๆด้วยสมการ x
n = 2 x
n-1 - A x
2
จะได้ว่า
x
1 = 0.15
x
2 = 0.1875
x
3 = 0.199219
x
4 = 0.199997
x
5 = 0.2
x
6 = 0.2
พอค่า x ไม่เปลี่ยนแล้วเราก็ได้คำตอบว่า 1/A = 1/5 = 0.2 ตามที่มันควรจะเป็นนั่นเองครับ
--
Posted By Blogger to
Interesting Things at 2/28/2014 02:19:00 PM