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epsilon piccolo a piacere...
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alessio_d
Dec 27, 2012, 1:47:32 PM12/27/12
to
Se ho una relazione di questo tipo:
0 <= x - y <= epsilon, per ogni epsilon > 0
con x e y reali e epsilon positivo;
ne consegue che x = y ?
Si tratta di un'applicazione del teorema del confronto?
Eppure non si sta parlando di limiti, ma solo di un epsilon
arbitrariamente piccolo.
� determinante, ai fini della veridicit� dell'implicazione, che x e y
siamo dipendenti da epsilon (come del resto � specificato sul testo da
cui ho preso questo stralcio di dimostrazione)?
0 <= x - y <= epsilon, per ogni epsilon > 0
con x e y reali e epsilon positivo;
ne consegue che x = y ?
Si tratta di un'applicazione del teorema del confronto?
Eppure non si sta parlando di limiti, ma solo di un epsilon
arbitrariamente piccolo.
� determinante, ai fini della veridicit� dell'implicazione, che x e y
siamo dipendenti da epsilon (come del resto � specificato sul testo da
cui ho preso questo stralcio di dimostrazione)?
cometa_luminosa
Dec 27, 2012, 1:58:53 PM12/27/12
to
On Dec 27, 7:47 pm, alessio_d <x...@y.z> wrote:
> Se ho una relazione di questo tipo:
>
> 0 <= x - y <= epsilon, per ogni epsilon > 0
>
> con x e y reali e epsilon positivo;
> ne consegue che x = y ?
No. x puo' essere = y ma non necessariamente. Per esempio (esempio
> Se ho una relazione di questo tipo:
>
> 0 <= x - y <= epsilon, per ogni epsilon > 0
>
> con x e y reali e epsilon positivo;
> ne consegue che x = y ?
noto anche storicamente) se x = sqrt(2) e y e' un razionale n/m, la
differenza x - y si puo' ridurre quento si vuole, ovvero si puo'
approssimare quanto si vuole sqrt(2) con un razionale, ma non potranno
mai essere uguali (come sai, sqrt(2) e' irrazionale).
> è determinante, ai fini della veridicità dell'implicazione, che x e y
> siamo dipendenti da epsilon (come del resto è specificato sul testo da
> cui ho preso questo stralcio di dimostrazione)?
Dipende dal contesto ovvero da quello che ti interessa. Se x = y, per
esempio, allora di sicuro non e' determinante :-)
Di solito lo e' perche' riducendo il valore di epsilon riduci
l'intervallo dei possibili valori di y (fissato x).
Comunque se riporti qui per intero l'esempio che ti interessa, si
capisce meglio.
--
cometa_luminosa
josh
Dec 27, 2012, 2:01:56 PM12/27/12
to
se x diverso da y allora |x-y|>0, e quindi esiste un epsilon tale
che |x-y|>epsilon...
hint 2:
"A" implica "B"
equivale a
"not B" implica "not A".
Ciao, Josh.
josh
Dec 27, 2012, 2:06:53 PM12/27/12
to
On 12/27/2012 07:58 PM, cometa_luminosa wrote:
> On Dec 27, 7:47 pm, alessio_d <x...@y.z> wrote:
>> Se ho una relazione di questo tipo:
>>
>> 0 <= x - y <= epsilon, per ogni epsilon > 0
>>
>> con x e y reali e epsilon positivo;
>> ne consegue che x = y ?
>
> No. x puo' essere = y ma non necessariamente. Per esempio (esempio
> noto anche storicamente) se x = sqrt(2) e y e' un razionale n/m, la
> differenza x - y si puo' ridurre quento si vuole, ovvero si puo'
> approssimare quanto si vuole sqrt(2) con un razionale, ma non potranno
> mai essere uguali (come sai, sqrt(2) e' irrazionale).
Stai mischiando un po' i quantificatori.
> On Dec 27, 7:47 pm, alessio_d <x...@y.z> wrote:
>> Se ho una relazione di questo tipo:
>>
>> 0 <= x - y <= epsilon, per ogni epsilon > 0
>>
>> con x e y reali e epsilon positivo;
>> ne consegue che x = y ?
>
> No. x puo' essere = y ma non necessariamente. Per esempio (esempio
> noto anche storicamente) se x = sqrt(2) e y e' un razionale n/m, la
> differenza x - y si puo' ridurre quento si vuole, ovvero si puo'
> approssimare quanto si vuole sqrt(2) con un razionale, ma non potranno
> mai essere uguali (come sai, sqrt(2) e' irrazionale).
Se per ogni epsilon >0 risulta
0<=|x(eps)-y(eps)|<=eps
allora il limite per eps che tende a zero di |x(eps)-y(eps)|
esiste ed � uguale a zero. In particolare se x ed y sono costanti
(indipendenti da eps) allora
0=lim_{eps->0} |x(eps)-y(eps)|=|x-y|
Ciao, Josh.
Giorgio Bibbiani
Dec 27, 2012, 2:10:30 PM12/27/12
to
alessio_d wrote:
> Se ho una relazione di questo tipo:
>
> 0 <= x - y <= epsilon, per ogni epsilon > 0
>
> con x e y reali e epsilon positivo;
> ne consegue che x = y ?
Si'.
> Se ho una relazione di questo tipo:
>
> 0 <= x - y <= epsilon, per ogni epsilon > 0
>
> con x e y reali e epsilon positivo;
> ne consegue che x = y ?
> Si tratta di un'applicazione del teorema del confronto?
> Eppure non si sta parlando di limiti, ma solo di un epsilon
> arbitrariamente piccolo.
Per la prima disuguaglianza x - y >= 0, se fosse
x - y > 0 allora esisterebbe epsilon = (x - y) / 2 > 0
tale che la seconda disuguaglianza non
sarebbe soddisfatta, quindi deve essere
x - y = 0 cioe' x = y.
> � determinante, ai fini della veridicit� dell'implicazione, che x e y
> siamo dipendenti da epsilon (come del resto � specificato sul testo da
> cui ho preso questo stralcio di dimostrazione)?
Se x e y fossero funzioni di epsilon allora ovviamente
il teorema non sarebbe vero, basta prendere come
controesempio y = 0 e x = epsilon/2.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
cometa_luminosa
Dec 27, 2012, 2:15:45 PM12/27/12
to
Piu' che altro non e' chiaro il contesto, per me almeno.
--
cometa_luminosa
--
cometa_luminosa
alessio_d
Dec 27, 2012, 3:28:37 PM12/27/12
to
On Thu, 27 Dec 2012 11:15:45 -0800 (PST), cometa_luminosa
<albert...@virgilio.it> wrote:
>On Dec 27, 8:06�pm, josh <j...@nomail.com> wrote:
>
>> Stai mischiando un po' i quantificatori.
>
>Piu' che altro non e' chiaro il contesto, per me almeno.
Vi riporto parte della dimostrazione in oggetto:
<albert...@virgilio.it> wrote:
>On Dec 27, 8:06�pm, josh <j...@nomail.com> wrote:
>
>> Stai mischiando un po' i quantificatori.
>
>Piu' che altro non e' chiaro il contesto, per me almeno.
http://i.imgur.com/jRaq2.png
In questa parte di dimostrazione (una delle due implicazioni che
compongono l'equivalenza logica del teorema), viene dedotto che inf S
= sup s ("x = y") per "l' arbitrariet� di epsilon"
fm2766
Dec 27, 2012, 4:16:11 PM12/27/12
to
x = a + 3 epsilon
e
y = a + 2 epsilon
x - y = epsilon
che soddisfa la relazione
0 <= x - y = epsilon <= epsilon, per ogni epsilon > 0..
cio�
x = y + epsilon, e x>y per ogni epsilon>0
ergo
x pu� essere diverso da y
cometa_luminosa
Dec 27, 2012, 5:29:54 PM12/27/12
to
On Dec 27, 9:28 pm, alessio_d <x...@y.z> wrote:
> On Thu, 27 Dec 2012 11:15:45 -0800 (PST), cometa_luminosa
>
> On Thu, 27 Dec 2012 11:15:45 -0800 (PST), cometa_luminosa
>
> <alberto.r...@virgilio.it> wrote:
> >On Dec 27, 8:06 pm, josh <j...@nomail.com> wrote:
>
> >> Stai mischiando un po' i quantificatori.
>
> >Piu' che altro non e' chiaro il contesto, per me almeno.
>
> Vi riporto parte della dimostrazione in oggetto:http://i.imgur.com/jRaq2.png
>
> In questa parte di dimostrazione (una delle due implicazioni che
> compongono l'equivalenza logica del teorema), viene dedotto che inf S
> = sup s ("x = y") per "l' arbitrarietà di epsilon"
> >On Dec 27, 8:06 pm, josh <j...@nomail.com> wrote:
>
> >> Stai mischiando un po' i quantificatori.
>
> >Piu' che altro non e' chiaro il contesto, per me almeno.
>
> Vi riporto parte della dimostrazione in oggetto:http://i.imgur.com/jRaq2.png
>
> In questa parte di dimostrazione (una delle due implicazioni che
> compongono l'equivalenza logica del teorema), viene dedotto che inf S
Ok, adesso e' chiaro, e quindi si, la deduzione e' corretta, come
hanno gia' scritto Josh e Bibbiani.
In questo caso, si stabilisce che la relazione e' vera, fissati x ed
y, per qualsiasi epsilon. Se invece, come nell'esempio che avevo
fatto, si fissasse uno dei due (x od y) e si facesse variare l'altro
in modo da soddisfare comunque la relazione, una volta fissato
epsilon, allora x e y potevano essere differenti.
--
cometa_luminosa
alessio_d
Dec 27, 2012, 5:32:21 PM12/27/12
to
On Thu, 27 Dec 2012 22:16:11 +0100, fm2766 <fm2...@yahoo.it> wrote:
>Il 27/12/2012 19:47, alessio_d ha scritto:
>> Se ho una relazione di questo tipo:
>>
>> 0 <= x - y <= epsilon, per ogni epsilon > 0
>>
>> con x e y reali e epsilon positivo;
>> ne consegue che x = y ?
>> Si tratta di un'applicazione del teorema del confronto?
>> Eppure non si sta parlando di limiti, ma solo di un epsilon
>> arbitrariamente piccolo.
>>
>> � determinante, ai fini della veridicit� dell'implicazione, che x e y
>> siamo dipendenti da epsilon (come del resto � specificato sul testo da
>> cui ho preso questo stralcio di dimostrazione)?
>>
>
Chiedo scusa mi sono sbagliato a scrivere. Intendevo:
>Il 27/12/2012 19:47, alessio_d ha scritto:
>> Se ho una relazione di questo tipo:
>>
>> 0 <= x - y <= epsilon, per ogni epsilon > 0
>>
>> con x e y reali e epsilon positivo;
>> ne consegue che x = y ?
>> Si tratta di un'applicazione del teorema del confronto?
>> Eppure non si sta parlando di limiti, ma solo di un epsilon
>> arbitrariamente piccolo.
>>
>> � determinante, ai fini della veridicit� dell'implicazione, che x e y
>> siamo dipendenti da epsilon (come del resto � specificato sul testo da
>> cui ho preso questo stralcio di dimostrazione)?
>>
>
0 <= x - y < epsilon
Enrico Gregorio
Dec 27, 2012, 5:48:17 PM12/27/12
to
alessio_d <x@y.z> scrive:
Per fortuna, la dimostrazione a cui ti riferisci, non riporta
"piccolo a piacere". :) Il testo usa il simbolo di "per ogni"
che io eviterei, preferendo scrivere a parole, ma � questione
di gusti.
Quanto al problema in discussione, lo riduci correttamente
all'asserzione
per ogni e > 0, 0 <= x - y < e
da cui vuoi dedurre che x = y. Puoi ridurlo ancora:
se, per ogni e > 0, si ha 0 <= z < e, allora z = 0
Infatti i casi sono due: o z = 0 e hai finito, oppure
z > 0. Ma in tal caso z sarebbe minore di s� stesso,
perch� potresti scegliere e = z.
Ciao
Enrico
"piccolo a piacere". :) Il testo usa il simbolo di "per ogni"
che io eviterei, preferendo scrivere a parole, ma � questione
di gusti.
Quanto al problema in discussione, lo riduci correttamente
all'asserzione
per ogni e > 0, 0 <= x - y < e
da cui vuoi dedurre che x = y. Puoi ridurlo ancora:
se, per ogni e > 0, si ha 0 <= z < e, allora z = 0
Infatti i casi sono due: o z = 0 e hai finito, oppure
z > 0. Ma in tal caso z sarebbe minore di s� stesso,
perch� potresti scegliere e = z.
Ciao
Enrico
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