Banalità sui tensori
Lambda
non capisco...
Fissato un sistema di riferimento posso rappresentare un tensore (diciamo di
rango r e lo spazio a n dimensioni) attraverso dei numeri che sono le sue
componenti.
Ho r indici che variano da 1 a n e scrivo qualcosa del tipo: T i1, i2, ... ,
ir.
I vari indici possono stare in alto o in basso a seconda che io consideri le
componenti controvarianti o covarianti.
La domanda � ma la posizione "orizzontale" dell'indice cosa rappresenta? E'
importante?
E collegata in qualche modo a questa:
suppongo di voler confrontare due tensore attraverso le loro componenti in
un fissato sistema di riferimento, e prendiamole per semplicit� tutte
covarianti,
allora il tensore A=B se e solo se:
A ijk = B ijk
cio� per ogni scelta di ijk ho un numero e quindi si possono confrontare.
Se tutto questo non fosse chiaro (cosa estremamente probabile) quello che
voglio dire � che non basta avere i numeri che rappresentano le componenti
del tensore ma devono anche essere organizzati quindi la posizione
"orizzontale dell'indice conta?
Se � cos� gli indici dovrebbero, alti o bassi che siano, non dovrebbero
stare l'uno sopra l'altro!
Perch� in molte scritture vedo proprio questo fatto?
Help sto rincoglionendo.
Grazie :)
Tetis
E' tutto corretto, ma non ha importanza l'ordine di esposizione degli
indici covarianti rispetto agli indici controvarianti perché non ha
senso scambiare argomenti eterogenei. Infatti ricorda che il tensore
rappresenta una funzione multilineare in un certo numero di vettori ed
un certo numero di covettori, ed il tipo di argomento (vettore o
covettore) dev'essere stabilito a priori. Poi nel momento in cui
consideri operazioni di trasformazione fra tensori diversi, a meno che
non stai considerando tensori simmetrici, ha certamente importanza in
quale posizione comparirà l'indice "abbassato". Quindi l'ordine degli
indici covarianti e l'ordine degli indici controvarianti è importante.
Dalet
>E' tutto corretto, ma non ha importanza l'ordine di esposizione degli
>indici covarianti rispetto agli indici controvarianti perch� non ha
>senso scambiare argomenti eterogenei.
Occhio che non e' cosi' - se capisco bene questo che scrivi,
perche' indici di valenza opposta li trovi anche senza che
intervenga e neppure sia gia' definito lo spazio duale.
In altre parole e anche se non in tutti gli autori, il tensore
A_i^k come matrice e' la trasposta di quella di A^j_h.
(mo' se legge lo senti il Neo!;-))
Inoltre si puo' ricordare che si puo' usare un puntino
proprio per indicare un posto vuoto, es. in R_abr^s quello
controvariante e' il quarto (Riemann, anche se coi puntini
non si scrive mai), pero' l's si mette tutto a destra, o no?
--
Saluti, Dalet
Tetis
> Il 16-02-2010, Tetis dice:
>
> >E' tutto corretto, ma non ha importanza l'ordine di esposizione degli
> >senso scambiare argomenti eterogenei.
>
> Occhio che non e' cosi' - se capisco bene questo che scrivi,
> perche' indici di valenza opposta li trovi anche senza che
> intervenga e neppure sia gia' definito lo spazio duale.
Si, ma non è vero che intervengono senza che sia definito lo spazio
duale, che è implicito. Tutt'al più si può fare a meno del
sollevamento e abbassamento di indici per parlare di tensori.
> In altre parole e anche se non in tutti gli autori, il tensore
> A_i^k come matrice e' la trasposta di quella di A^j_h.
> (mo' se legge lo senti il Neo!;-))
E' verissimo e sono d'accordo che può essere una notazione anche
comoda, ma da un punto di vista strettamente logico si tratta di due
tensori diversi e potresti infatti scrivere:
A_i^k ed ^tA_i^k.
Pangloss
> In altre parole e anche se non in tutti gli autori, il tensore
> A_i^k come matrice e' la trasposta di quella di A^j_h.
Se ad un operatore A descritto da una certa matrice si associa
l'operatore A' descritto dalla matrice trasposta _non_ si crea
una relazione tensoriale, poichè l'associazione dipende dalla
base vettoriale scelta per scrivere le componenti.
Per definire l'operatore trasposto di A bisogna usare il prodotto
scalare, cioè porsi in uno spazio metrico. Fra l 'altro la matrice
A_i^k risulta essere la trasposta della matrice A^j_h solo in
base ortonormale e metrica euclidea.
> Inoltre si puo' ricordare che si puo' usare un puntino
> proprio per indicare un posto vuoto, es. in R_abr^s quello
> controvariante e' il quarto (Riemann, anche se coi puntini
> non si scrive mai), pero' l's si mette tutto a destra, o no?
Autore che leggi, usanza che trovi: ho visto scrivere le componenti
del tensore Riemann in almeno quattro modi diversi. Per confrontare
libri diversi occorre esaminare con attenzione l'ordine di _tutte_
le componenti.
IMHO Tetis ha ragione dal punto di vista concettuale, ma da un punto
di vista pratico tu non hai affatto torto, la prassi delle notazioni
tensoriali non è molto limpida.
--
Elio Proietti
Valgioie (TO)
Dalet
>On 16 Feb, 19:41, Dalet <da...@address.invalid> wrote:
>>perche' indici di valenza opposta li trovi anche senza che
>>intervenga e neppure sia gia' definito lo spazio duale.
>Si, ma non � vero che intervengono senza che sia definito lo spazio
>duale, che � implicito. Tutt'al pi� si pu� fare a meno del
>sollevamento e abbassamento di indici per parlare di tensori.
Perche' e' implicito? io definisco le leggi di covarianza e
controvarianza senza neanche parlare di spazi duali, no?
>>In altre parole e anche se non in tutti gli autori, il tensore
>>A_i^k come matrice e' la trasposta di quella di A^j_h.
>>(mo' se legge lo senti il Neo!;-))
>E' verissimo e sono d'accordo che pu� essere una notazione anche
>comoda, ma da un punto di vista strettamente logico si tratta di due
>tensori diversi e potresti infatti scrivere:
>A_i^k ed ^tA_i^k.
Ma _sono_ due tensori diversi a tutti gli effetti, per
questo dico che l'ordine e' significativo.
Insomma o passi alla trasposta e allora scambi i posti agl'
indici, o fai colonne per righe, no? io sono abituato col
secondo metodo.
E poi non ci sono solo i tensori doppi.
--
Saluti, Dalet
Dalet
>[it.scienza.matematica 16 Feb 2010] Dalet ha scritto:
>>In altre parole e anche se non in tutti gli autori, il tensore
>>A_i^k come matrice e' la trasposta di quella di A^j_h.
>Se ad un operatore A descritto da una certa matrice si associa
>l'operatore A' descritto dalla matrice trasposta _non_ si crea
>una relazione tensoriale, poich� l'associazione dipende dalla
>base vettoriale scelta per scrivere le componenti.
Non credo di capir bene.. vedi dopo.
>Per definire l'operatore trasposto di A bisogna usare il prodotto
>scalare, cio� porsi in uno spazio metrico. Fra l 'altro la matrice
>A_i^k risulta essere la trasposta della matrice A^j_h solo in
>base ortonormale e metrica euclidea.
Forse non mi sono spiegato allora, perche' questo che dici
mi sembra che non c'entra nulla, oppure sono in errore io.
Io dico che:
1. A_ik e A_ki sono indistinguibili
2. A_i^k e A^i_k son tensori distinti
3. se per avventura scrivi su due tabelle le componenti di 2
tenendo il primo indice come indice di riga, allora capita
il fatto che le tabelle risultano matrici n x n trasposte
l'una dell'altra.
[.......]
>IMHO Tetis ha ragione dal punto di vista concettuale, ma da un punto
>di vista pratico tu non hai affatto torto, la prassi delle notazioni
>tensoriali non � molto limpida.
Bello! mi sembri il Pauli;-) Ok, ma vedi sopra e dimmi se
sbaglio o no.
--
Saluti, Dalet
Dalet
>1. A_ik e A_ki sono indistinguibili
O meglio, anzi: molto meglio, anzi: piu' correttamente, sono
lo stesso tensore che diamine.
--
Saluti, Dalet
Pangloss
> 1. A_ik e A_ki sono indistinguibili
Gli indici rappresentano variabili o slots, li puoi denominare come vuoi,
è indifferente scrivere A_ik, A_jh, A_ki ecc.
Ovviamente se si cambia di nome un indice in una relazione tensoriale
bisogna farlo in tutte le sue occorrenze; scrivere A_ik=B_ik è lo stesso
che scrivere A_ki=B_ki e significa che i tensori A e B sono identici; ma
scrivere A_ik=A_ki significa che A è un tensore simmetrico, lo sai bene.
> 2. A_i^k e A^i_k son tensori distinti
Certo.
> 3. se per avventura scrivi su due tabelle le componenti di 2
> tenendo il primo indice come indice di riga, allora capita
> il fatto che le tabelle risultano matrici n x n trasposte
> l'una dell'altra.
Qui diventa difficile essere brevi e capirsi bene.
L'algebra delle matrici con le sue convenzioni (moltiplicazione righe per
colonne ecc.) di per sè non ha nulla a che vedere con i tensori. Non vi
sono basi, gli indici non si distinguono in contro|covarianti, il concetto
di matrice trasposta è banale.
E' del tutto spontaneo disporre le componenti di un tensore di rango 2 in
una matrice nxn ma la cosa è fattibile in più modi e può creare confusioni.
L'unica convenzione standard riguarda gli operatori lineari T^i_k per i
quali l'indice controvariante è sempre considerato primo indice (di riga),
quello covariante secondo (di colonna): in questo modo l'algebra degli
operatori lineari e quella delle matrici risultano isomorfe.
Adesso entriamo in un campo minato, cerchiamo di definire il concetto di
operatore trasposto. Io dico che definire il trasposto tA di un operatore
A tramite la matrice trasposta di quella che rappresenta A è incoerente,
perchè in questo modo l'operatore trasposto tA di un dato operatore A
risulterebbe dipendente non solo da A ma anche dalla scelta della base.
Se fin qui fosssimo d'accordo si potrebbe proseguire e discutere il modo
corretto di definire il trasposto tA (usando necessariamente la metrica)
e scegliere per esso le notazioni più opportune.
Tetis
> Il 16-02-2010, Tetis dice:
>
> >On 16 Feb, 19:41, Dalet <da...@address.invalid> wrote:
> >>perche' indici di valenza opposta li trovi anche senza che
> >>intervenga e neppure sia gia' definito lo spazio duale.
> >sollevamento e abbassamento di indici per parlare di tensori.
>
> Perche' e' implicito? io definisco le leggi di covarianza e
> controvarianza senza neanche parlare di spazi duali, no?
Puoi parlarne o meno, sta di fatto che la relazione fra le
trasformazioni covarianti e controvarianti fa in modo che gli
argomenti di trasformazione: le due n-ple delle coordinate variano in
modo da garantire l'invarianza dei prodotto scalari, il che è quanto
dire che le due n-ple rappresentano la medesima coppia di un vettore
ed un covettore in spazio duale, al variare delle basi nei rispettivi
spazi, basi che vengono scelte in accordo alla convenzione di
Kronecker.
> >>In altre parole e anche se non in tutti gli autori, il tensore
> >>A_i^k come matrice e' la trasposta di quella di A^j_h.
> >>(mo' se legge lo senti il Neo!;-))
> >E' verissimo e sono d'accordo che può essere una notazione anche
> >comoda, ma da un punto di vista strettamente logico si tratta di due
> >tensori diversi e potresti infatti scrivere:
> >A_i^k ed ^tA_i^k.
>
> Ma _sono_ due tensori diversi a tutti gli effetti, per
> questo dico che l'ordine e' significativo.
Quello che intendo è che è ben possibile (e per questo hai fatto bene
ad intervenire e ricordarlo) scegliere convenzionalmente di accordare
un significato all'ordine relativo fra indici covarianti e
controvarianti e individuare questo significato nella funzione di
distinguere tensori diversi, io stesso mi sono avvalso spesso di
questa convenzione, ed infatti avevo anche aggiunto che l'ordine con
cui vai ad alzare ed abbassare gli indici è importante. E siccome è
importante questo rende molto pratica la notazione dipendente
dall'ordine complessivo di tutti gli indici covarianti e
controvarianti, tuttavia finché parli di un dato tensore e non hai una
convenzione di innalzamento e abbassamento degli indici è
completamente irrilevante l'ordine con cui elenchi gli indici
covarianti rispetto agli indici controvarianti semplicemente perché
non ha significato considerare uno scambio fra un vettore covariante
ed un vettore controvariante. Mi spiego meglio nel linguaggio dei
tensori come tabelle di numeri:
A_ik x^i y^k ha tanto significato quanto A_ik y^i x^k
mentre:
A_i^k x^i y_k ha significato, ma A_i^k y^i x_k non ha alcun
significato a meno che non sia stata già definita in modo univoco la
convenzione di innalzamento ed abbassamento degli indici.
Tu potresti dire che semplicemente y_i è definito uguale in valore ad
y^i, il che però, corrisponde implicitamente a scegliere una metrica
euclidea nello spazio delle n-ple ed abbassare l'indice con quella.
In ogni caso questa scelta, come qualunque altra scelta di metrica,
garantisce piena coerenza alla scelta di indicare la trasposta come
fai tu.
> Insomma o passi alla trasposta e allora scambi i posti agl'
> indici, o fai colonne per righe, no? io sono abituato col
> secondo metodo.
In un certo modo, che voglio ridiscutere, assegnata la convenzione
dell'abbassamento e innalzamento degli indici per mezzo di matrici
inverse (che poi sono la metrica in V e la metrica indotta in V*) è
esattamente come dici, con la scelta di fare la trasposizione al modo
che dici, risulta quanto segue, e questo indipendentemente dalla
metrica:
A_k^i x_i = A_{ki} x^i
A^i_k x_i = A_{ik} x^i
Nel secondo caso se identifichiamo A_{ki} con le componenti di una
matrice A ed x^i con le componenti di un vettore colonna x abbiamo Ax,
nel primo caso abbiamo A^t x oppure possiamo, come dici tu, intendere
la trasposizione come una deroga alla regola di moltiplicare righe per
colonne, anche se personalmente trovo questa una complicazione e
preferisco fare riferimento alla trasposizione esattamente come la
corrispondenza fra elementi per effetto dello scambio dell'ordine
degli indici fra due matrici distinte A e la sua trasposta, oppure non
nominare affatto le matrici, definire la trasposizione fra due indici
in un tensore con indici omogenei e quindi ricavarne le espressioni
equivalenti avvalendomi della convenzione di scambio degli indici. In
altre parole per me la cosa che ha significato universalmente è la
trasposizione fra due indici omogenei, mentre in presenza di metrica
ha senso anche prendere in considerazione la trasposizione fra indici
eterogenei.
Questo modo di vedere le cose dipende dal libro di Eisenhart dove
imparai il calcolo tensoriale. Dal momento che Eisenhart definisce
dapprima i tensori misti in generale senza curarsi dell' ordine
complessivo, mentre in seconda battuta, dopo avere introdotto la
metrica comincia a scrivere cose come:
a_i^j_k = g^jl a_ilk
solo che nella mia fotocopia del libro Riemann Geometry erano
perfidamente saltate le pagine 14 e 15, dove questa cosa viene scritta
e spiegata in dettaglio, sicché a lungo ho brancolato a ricostruirmela
mentalmente senza molta sicurezza, adesso sono riuscito a recuperare
le pagine mancanti. Grazie.
Dalet
>On 16 Feb, 22:41, Dalet <da...@address.invalid> wrote:
>>Perche' e' implicito? io definisco le leggi di covarianza e
>>controvarianza senza neanche parlare di spazi duali, no?
>Puoi parlarne o meno, sta di fatto che la relazione fra le
>trasformazioni covarianti e controvarianti fa in modo che gli
>argomenti di trasformazione: le due n-ple delle coordinate variano in
>modo da garantire l'invarianza dei prodotti scalari, il che � quanto
>dire che le due n-ple rappresentano la medesima coppia di un vettore
>ed un covettore in spazio duale, al variare delle basi nei rispettivi
>spazi, basi che vengono scelte in accordo alla convenzione di
>Kronecker.
Va be' mi sa che siamo arrivati al TMTOWTDI, anche
con Pangloss, e son d'accordo col resto che dici e che
non riporto.
Sul quotato tuo qui su aggiungo solo questo: le leggi di
controvarianza e covarianza io le conosco come indipendenti
da spazi/basi duali o da prodotti scalari.
La prima e': "..si trasforma come le componenti d'un
vettore", la seconda: "..come i vettori della base".
[.......]
>Dal momento che Eisenhart definisce
>dapprima i tensori misti in generale senza curarsi dell'ordine
>complessivo, mentre in seconda battuta, dopo avere introdotto la
>metrica comincia a scrivere cose come:
>a_i^j_k = g^jl a_ilk
Be' certo, innalzare o abbassare un indice e' proprio una
delle mansioni del tensore metrico.
Dev'essere interessante questo Einsenhart che dici, ma
chissa' se lo si trova, mi piacerebbe proprio vedere come
tratta i tensori.
--
Saluti, Dalet
Dalet
>Se fin qui fosssimo d'accordo si potrebbe proseguire e discutere il modo
>corretto di definire il trasposto tA (usando necessariamente la metrica)
>e scegliere per esso le notazioni pi� opportune.
Si' siam d'accordo come ho detto anche a Tetis, ma non ho
una preparazione adatta a discuterne sai, conosco solo le
convenzioni che ho detto salvo decifrare le altre, quando
capita grazie e ciao.
--
Saluti, Dalet
Lambda
> senso scambiare argomenti eterogenei. Infatti ricorda che il tensore
> rappresenta una funzione multilineare in un certo numero di vettori ed
> un certo numero di covettori, ed il tipo di argomento (vettore o
> covettore) dev'essere stabilito a priori. Poi nel momento in cui
> consideri operazioni di trasformazione fra tensori diversi, a meno che
> non stai considerando tensori simmetrici, ha certamente importanza in
> indici covarianti e l'ordine degli indici controvarianti � importante.
Grande Tesis che mi hai capito subito! :)
Sono (aspirante) fisico e i tensori mi sono stati introdotti come oggetti
che si trasformano cos�...
(E poi facciamo corsi di analisi e meccanica analitica con uno stile che
neanche i matematici pi� puri)
Quindi parlo con la relativit� ristretta in mente.
Non ho seguito tutta la discussione che avete fatto e continuo la mia su
cose pi� semplici. :D
Quello che non mi era chiaro � che mentre la relazione (la dualit� credo)
tra un vettore ed un covettore � evidente,
in generale per tensori di rango qualsiasi (diciamo r) ci sono 2^r modi di
disporre gli indici tra su e gi�.
Quindi ho 2^r tensori diversi! Come sono questi?
Da un po' di algebra vista per conto mio guardando ad un tensore come il
prodotto tensoriale di vettori e covettori credo di aver capito che
i 2^r altri tensori sono i tensori che derivano dal prodotto (tensoriale)
degli elementi del primo dove uno o pi� sono stati sostitui con il loro
vettore o covettore corrispondente (duale).
Giusto?
Ma allora io devo sapere quale indice corrisponde a quale vettore tra quelli
con cui ho costruito il tensore e analogamente per i covettori.
La domanda � come ottengo questo risultato?
(Comunque chiamare tanti tensori diversi con la stessa lettera "solo" perch�
sono collegati nella maniera che dicevo prima non � il massimo
dell'intuibilita!)
Grazie ancora...