Problema di difficoltà incredibile...

Daniele Rossi

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May 23, 1998, 3:00:00 AM5/23/98

to

Si considerino due circonferenze C e C1,di raggi rispettivamente R ed R1,tra
loro tangenti esternamente in un punto P,ed una retta alfa,tangente ad
entrambe,non passante per P.Siano poi:
C2,la circonferenza tangente ad alfa,a C ed a C1,di raggio R2>R1;
C3 la circonferenza tangente ad alfa,a C ed a C2,di raggio R3>R2;
............................................................................
.......................................
Ck+1,la circonferenza tangente ad alfa,a C ed a Ck,di raggio Rk+1>Rk;
............................................................................
.......................................
Sapendo che R=100R1,trovare,al variare dell'intero k,il valore di Rk,e dire
se
i cerchi Ck esistono per ogni k;in caso contrario,trovare il massimo k per
cui Ck esiste.
(Si consiglia di determinare preliminarmente la relazione che intercorre fra
i raggi di tre cerchi,ciascuno dei quali tangente esternamente agli altri
due,e tutti tangenti ad una stessa retta).
--
Daniele Rossi
email: w.mo...@iol.it

Andrea Spallanzani

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May 24, 1998, 3:00:00 AM5/24/98

to

Ciao Daniele,

>Si considerino due circonferenze C e C1,di raggi rispettivamente R ed R1,tra
>loro tangenti esternamente in un punto P,ed una retta alfa,tangente ad
>entrambe,non passante per P.Siano poi:
>C2,la circonferenza tangente ad alfa,a C ed a C1,di raggio R2>R1;
>C3 la circonferenza tangente ad alfa,a C ed a C2,di raggio R3>R2;

>.......................................
>Ck+1,la circonferenza tangente ad alfa,a C ed a Ck,di raggio Rk+1>Rk;
>.......................................................................

>Sapendo che R=100R1,trovare,al variare dell'intero k,il valore di Rk,e dire

>se i cerchi Ck esistono per ogni k;in caso contrario,trovare il massimo k
>per cui Ck esiste.

Consideriamo due circonferenze di raggio R ed r (con R>=r), tangenti
esternamente e tangenti ad una stessa retta; i loro centri e i loro
punti di contatto con la retta sono i vertici di un trapezio
rettangolo, di basi R ed r, lato obliquo R+r ed altezza h uguale al
doppio della media geometrica di R ed r (infatti applicando il teorema
di Pitagora si ha (R-r)^2+h^2=(R+r)^2 da cui h=2sqrt(Rr) ).
Consideriamo ora la circonferenza tangente esternamente alle due circ.
ed alla retta, con raggio x>r. Dalla relazione tra le altezze dei tre
trapezi:
- basi R ed r
- basi R ed x
- basi r ed x
si puo' concludere che 2sqrt(Rx)=2sqrt(Rr)+2sqrt(rx) da cui

sqrt(x) = sqrt(r) / (1-sqrt(r/R) ).

Applicando questa formula a C, C1, C2,... si ha

sqrt(R2) = sqrt(R1) / (1-sqrt(R1/R) )
e, finche' Rk e' minore di R,
sqrt(R{k+1}) = sqrt(Rk) / (1-sqrt(Rk/R) ).
E' facile provare per induzione su k che per k>=1 (ed Rk<R) si ha
sqrt(R{k+1}) = sqrt(R1) / (1-k*sqrt(R1/R) ).
Essendo R1/R=1/100, risulta
sqrt(R{k+1}) = sqrt(R1) / (1-k/10)
e quindi C11 non esiste perche' si avrebbe un denominatore nullo.
Infatti C10 ha raggio R10 = R1 / (1-9/10)^2 = 100*R1 = R, e risulta
impossibile trovare C11 tangente a due circonferenze di uguale raggio
R ed alla retta alfa. Ciao

Andrea Corona

unread,

May 24, 1998, 3:00:00 AM5/24/98

to

On Sat, 23 May 1998 15:48:33 +0200, "Daniele Rossi" <dac...@tin.it>
wrote:

>Si considerino due circonferenze C e C1,di raggi rispettivamente R ed R1,tra
>loro tangenti esternamente in un punto P,ed una retta alfa,tangente ad
>entrambe,non passante per P.Siano poi:
>C2,la circonferenza tangente ad alfa,a C ed a C1,di raggio R2>R1;
>C3 la circonferenza tangente ad alfa,a C ed a C2,di raggio R3>R2;

>............................................................................

>Ck+1,la circonferenza tangente ad alfa,a C ed a Ck,di raggio Rk+1>Rk;

>............................................................................

>Sapendo che R=100R1,trovare,al variare dell'intero k,il valore di Rk,e dire
>se
>i cerchi Ck esistono per ogni k;in caso contrario,trovare il massimo k per
>cui Ck esiste.

>(Si consiglia di determinare preliminarmente la relazione che intercorre fra
>i raggi di tre cerchi,ciascuno dei quali tangente esternamente agli altri
>due,e tutti tangenti ad una stessa retta).
>--
>Daniele Rossi
>email: w.mo...@iol.it

Non esagerare, il problema non è banale ma neanche impossibile.
Sebbene sia stato assegnato nel test d'ingresso alla Scuola Normale
Superiore nel 1979-80, può essere risolto con poche considerazioni
geometriche e qualche passaggio algebrico.
Siano O, O(k), O(k+1) i centri rispettivamente delle circonferenze C,
C(k), C(k+1), e H, H(k), H(k+1) i punti di tangenza delle
circonferenze suddette con la retta alpha. Considerando il trapezio
rettangolo OHH(k+1)O(k+1) per il teorema di Pitagora si ha che
[HH(k+1)]^2=(R+R(k+1))^2-(R-R(k+1))^2=4R*R(k+1) (1)
Se indichiamo con K e K(k+1) i piedi della perpendicolare condotta da
O(k) a OH e a O(k+1)H(k+1) rispettivamente, allora è banale
verificare che
KO(k)+O(k)K(k+1)=HH(k+1) (2)
Ma per il teorema di Pitagora applicato ai triangoli rettangoli OKO(k)
e O(k+1)K(k+1)O(k) si ha
[KO(k)]^2=(R+R(k))^2-(R-R(k))^2=4R*R(k) (3)

[K(k+1)O(k)]^2=(R(k+1)+R(k))^2-(R(k+1)-R(k))^2=4R(k+1)*R(k) (4)

Dopo qualche passaggio dalle (1) (2) (3) (4) si ottiene
R(k+1)=(R*R(k))/(R+R(k)-2*sqrt(R*R(k))) (5)
Sostituendo nella (5) i valori 100R(1) e R(1) si ottiene che
R(2)=(100/81)R(1) e proseguendo R(3)=(100/64)R(1) ...
In generale R(k)=(100/((11-k)^2))R(1).
Pertanto k può assumere solo i valori 1, 2, ..., 10. prima che la
successione di circonferenze C(k) si arresti con k=10.

P.S.
La dimostrazione diretta che ho fornito poteva essere evitata,
rifacendosi direttamente alla formula dei cerchi osculanti di Soddy:
2(1/(a^2) + 1/(b^2)+ 1/(c^2) + 1/(d^2))=(1/a + 1/b + 1/c + 1/d)^2
con a=R, b=R(k), c=R(k+1) e d=infinito (la retta può essere
considerato una circonferenza di raggio infinito). Per ulteriori
informazioni puoi consultare il capitolo 3 del "Circo Matematico" di
Martin Gardner.

Tanti saluti. Andrea

Daniele Rossi

unread,

May 24, 1998, 3:00:00 AM5/24/98

to

grazie ad entrambi per le gentili risposte.Aggiungo(per Andrea Corona) che
sapevo benissimo la provenienza del problema e la sua difficoltà.Se avessi
detto: problema facile...dubito che qualcuno si sarebbe cimentato nel
risolverlo.

saluti,
Daniele Rossi,email: w.mo...@iol.it

P.S.=non avrete mica copiato la soluzione? sono sicuro di no... :-))

ho una soluzione leggermenta diversa dalla vostra,anche se uguale nella
sostanza....se vi interessa...