Ex falso quodlibet : F => Qualunque
radicale 004
i matematici / logici.
Ex falso quodlibet : F => Qualunque
... Si,
pero' non e' che siccome F e' falso allora tutto quello che
segue e' vero.
Invece se l' antecedente e' falso, e' sempre vera *tutta*
questa cosa qui : ( F -> Qualunque ).
Cioe' e' l' *implicazione* che e' vera.
'Sta cosa non e' mica tanto ovvia, anche perche'
"ex falso quod libet" vuol dire che dal falso posso
derivare tutto. E quindi a prima vista parrebbe che
siccome l' antecedente e' vero, allora qualunque
cosa ci metta dopo e' vera.
Invece da 1 + 1 = 3 posso dire che tutta sta roba :
(1 + 1 = 3) => (5 + 5 = 34)
e' vera.
Ma 5 + 5 = 34 continua spudoratamente ad essere
falso.
No, tanto per ...
Pangloss
>
> Ex falso quodlibet : F => Qualunque
> ... Si,
> pero' non e' che siccome F e' falso allora tutto quello che
> segue e' vero.
> Invece se l' antecedente e' falso, e' sempre vera *tutta*
> questa cosa qui : ( F -> Qualunque ).
>
> Cioe' e' l' *implicazione* che e' vera.
>
> 'Sta cosa non e' mica tanto ovvia, anche perche'
> "ex falso quod libet" vuol dire che dal falso posso
> derivare tutto. E quindi a prima vista parrebbe che
> siccome l' antecedente e' vero, allora qualunque
> cosa ci metta dopo e' vera.
>
> Invece da 1 + 1 = 3 posso dire che tutta sta roba :
> (1 + 1 = 3) => (5 + 5 = 34)
> e' vera.
> Ma 5 + 5 = 34 continua spudoratamente ad essere falso.
Come hai gia' notato, "sequitur" va inteso come implicazione (sintattica)
e non come conseguenza (semantica).
Con la tradizionale terminologia "Ex falso sequitur quodlibet" (o legge di
Duns Scoto) si designa il seguente teorema della logica degli enunciati:
P -> (nP -> Q)
Nelle dimostrazioni si usa la "regola di distacco": se sono stabilite
(assiomi o teoremi) sia l'asserzione A->B che l'asserzione A, allora si
asserisce B.
Pertanto "Ex falso sequitur quodlibet" si potrebbe oggigiorno liberamente
tradurre (in base al suo significato applicativo) come segue:
"Da una contraddizione si puo' dedurre qualunque cosa".
Infatti una teoria assiomatica e' contradditoria se in essa e' possibile
dimostrare una proposizione P ed anche la sua negazione nP. Una teoria
contradditoria (basata sulla logica degli enunciati) e' priva di interesse
poiche' in essa (per la legge di Duns Scoto) ogni proposizione Q e' un
teorema.
--
Elio Proietti
Valgioie (TO)
radicale 004
> Pertanto "Ex falso sequitur quodlibet" si potrebbe oggigiorno liberamente
> tradurre (in base al suo significato applicativo) come segue:
> "Da una contraddizione si puo' dedurre qualunque cosa".
> Infatti una teoria assiomatica e' contradditoria se in essa e' possibile
> dimostrare una proposizione P ed anche la sua negazione nP. Una teoria
> contradditoria (basata sulla logica degli enunciati) e' priva di interesse
> poiche' in essa (per la legge di Duns Scoto) ogni proposizione Q e' un
> teorema.
E se ogni Q e' un teorema, ci troveremmo di fronte ad
un completo "distacco" tra semantica e sintattica.
Cioe' voglio dire :
il sistema formale non sarebbe piu' in grado di
trovare verita'. Da buttare.
Non so se ho reso l' idea.
LordBeotian
> 'Sta cosa non e' mica tanto ovvia, anche perche'
> "ex falso quod libet" vuol dire che dal falso posso
> derivare tutto. E quindi a prima vista parrebbe che
> siccome l' antecedente e' vero, allora qualunque
> cosa ci metta dopo e' vera.
Quale antecedente sarebbe vero?
radicale 004
Cioe' volevo dire :
siccome l' antecedente e' /falso/.
Sorry
Pangloss
> E se ogni Q e' un teorema, ci troveremmo di fronte ad
> un completo "distacco" tra semantica e sintattica.
> Cioe' voglio dire :
> il sistema formale non sarebbe piu' in grado di
> trovare verita'. Da buttare.
> Non so se ho reso l' idea.
Hai reso l'idea... :-)
radicale 004
D' altra parte, adesso che ci penso, anche se la
conclusione (B) e' vera a prescindere, allora (A -> B)
e' sempre vera, indipendentemente dal fatto che A sia
vera o falsa, in quanto e' impossibile trovare una coppia
(A,B) tale che (A = V, B = F). In quanto B = V.
Quindi ricapitolando :
{ non A => (A -> B) } e' una tautologia
{ B => (A -> B) } e' una tautologia
... Dico bene ?
superpollo
ancora piu' sinteticamente:
{ (non A) o B <=> (A->B) } e' una tautologia.
bye
--
La logica vera è che la parte per numero di parti
equivale a numero di parti.
Dunque le i sono le parti.
Dunque non esistono discussioni.
radicale 004
> radicale 004 ha scritto:
>
>
>
>
>
> > On 14 Lug, 15:41, Pangloss <proie...@ica-net.it> wrote:
>
> >> [it.scienza.matematica 14 Jul 2011] radicale 004 ha scritto:
>
> >>> E se ogni Q e' un teorema, ci troveremmo di fronte ad
> >>> un completo "distacco" tra semantica e sintattica.
> >>> Cioe' voglio dire :
> >>> il sistema formale non sarebbe piu' in grado di
> >>> trovare verita'. Da buttare.
> >>> Non so se ho reso l' idea.
> >> Hai reso l'idea... :-)
>
> > D' altra parte, adesso che ci penso, anche se la
> > conclusione (B) e' vera a prescindere, allora (A -> B)
> > e' sempre vera, indipendentemente dal fatto che A sia
> > vera o falsa, in quanto e' impossibile trovare una coppia
> > (A,B) tale che (A = V, B = F). In quanto B = V.
>
> > Quindi ricapitolando :
> > { non A => (A -> B) } e' una tautologia
> > { B => (A -> B) } e' una tautologia
>
> > ... Dico bene ?
>
> ancora piu' sinteticamente:
>
> { (non A) o B <=> (A->B) } e' una tautologia.
Ma cosi' non si capisce un tubo :-)
superpollo
guarda che e' esattamente quel che hai scritto tu, compattificato.
bye
--
La logica vera � che la parte per numero di parti
radicale 004
Ma lo so, io ti credo !
Ma continuo a dire che, compattificato, non si
capisce piu' altrettanto bene. Molto imho, s' intende.
superpollo
forse non si capisce, ma e' la *definizione* di implicazione: non A o B.
bye
--
La logica vera è che la parte per numero di parti
radicale 001
> forse non si capisce, ma e' la *definizione* di implicazione: non A o B.
Adesso l' ho capita :-)))
Pangloss
> Quindi ricapitolando :
> { non A => (A -> B) } e' una tautologia
> { B => (A -> B) } e' una tautologia
> ... Dico bene ?
Dici bene...
La proprieta' di essere una "tautologia" vale per tutti gli assiomi della
logica degli enunciati e si trasmette ereditariamente con le regole di
sostituzione e di distacco: pertanto ogni teorema sintattico della logica
degli enunciati e' una tautologia dal punto di vista semantico.
Nella logica degli enunciati e' banale costruire esempi di proposizioni
che non sono tautologie, dunque non possono essere teoremi: cio' mostra
che la logica degli enunciati e' una teoria coerente.
radicale 001
> Dici bene...
> La proprieta' di essere una "tautologia" vale per tutti gli assiomi della
> logica degli enunciati
> e si trasmette ereditariamente con le regole di
> sostituzione e di distacco: pertanto ogni teorema sintattico della logica
> degli enunciati e' una tautologia dal punto di vista semantico.
> Nella logica degli enunciati e' banale costruire esempi di proposizioni
> che non sono tautologie, dunque non possono essere teoremi: cio' mostra
> che la logica degli enunciati e' una teoria coerente.
Atch.
Cioe' a sua volta la logica enunciativa e' un sistema formale ?
Ma ... Scusa : se lo fosse, allora con quale logica faccio le
derivazioni in quell' SF ?
Cioe' ... Come faccio a dire, con la logica, che l' SF della
logica e' coerente ? S' alluppa su ste stesso questa cosa !
Pangloss
> On 16 Lug, 17:45, Pangloss <proie...@ica-net.it> wrote:
>> La proprieta' di essere una "tautologia" vale per tutti gli assiomi della
>> logica degli enunciati e si trasmette ereditariamente con le regole di
>> sostituzione e di distacco: pertanto ogni teorema sintattico della logica
>> degli enunciati e' una tautologia dal punto di vista semantico.
>> Nella logica degli enunciati e' banale costruire esempi di proposizioni
>> che non sono tautologie, dunque non possono essere teoremi: cio' mostra
>> che la logica degli enunciati e' una teoria coerente.
> Atch.
> Cioe' a sua volta la logica enunciativa e' un sistema formale ?
Il mio discorso si riferisce al calcolo delle proposizioni, formalizzato
ad es. con il sistema HA (Hilbert-Ackermann); lo schema di ragionamento
riportato costituisce un esempio di "prova assoluta di coerenza" nel senso
di Hilbert.
> Ma ... Scusa : se lo fosse, allora con quale logica faccio le
> derivazioni in quell' SF ?
> Cioe' ... Come faccio a dire, con la logica, che l' SF della
> logica e' coerente ? S' alluppa su ste stesso questa cosa !
Critica sacrosanta, che condivido.
IMHO esiste pur sempre una "deontologia del ragionamento" che regola
l'attivita' del logico-matematico nei lavori di assiomatizzazione.
Nel costruire il calcolo delle proposizioni, quello dei predicati ecc.
si puo' cercare di adattare la teoria assiomatica alla "logica operatoria"
di chi assiomatizza, ma tra logica e metalogica non si potra' costruire
una corrispondenza completa.
Naturalmente la metalogica puo' essere a sua volta formalizzata (e molti
autori usano farlo, in modo piu' o meno esauriente), ma la metalingua ed
il suo calcolo saranno potenzialmente oggetto di una nuova meta-metalogica
ed il regresso non puo' continuare all'infinito.
LordBeotian
> Cioe' ... Come faccio a dire, con la logica, che l' SF della
> logica e' coerente ? S' alluppa su ste stesso questa cosa !
Non lo dici mica con la logica, lo dici con la matematica, e ti serve
il principio di induzione.
radicale 001
Impossibile.
C'e' (volendo) logica senza matematica.
Ma non c'e' matematica senza logica.
radicale 001
> > Cioe' a sua volta la logica enunciativa e' un sistema formale ?
>
> Il mio discorso si riferisce al calcolo delle proposizioni, formalizzato
> ad es. con il sistema HA (Hilbert-Ackermann); lo schema di ragionamento
> riportato costituisce un esempio di "prova assoluta di coerenza" nel senso
> di Hilbert.
Che pero' non ho afferrato bene. Potresti farmi capire meglio
questo schema di ragionamento che prova la coerenza, se
possibile ?
> > Ma ... Scusa : se lo fosse, allora con quale logica faccio le
> > derivazioni in quell' SF ?
> > Cioe' ... Come faccio a dire, con la logica, che l' SF della
> > logica e' coerente ? S' alluppa su ste stesso questa cosa !
>
> Critica sacrosanta, che condivido.
> IMHO esiste pur sempre una "deontologia del ragionamento" che regola
> l'attivita' del logico-matematico nei lavori di assiomatizzazione.
> Nel costruire il calcolo delle proposizioni, quello dei predicati ecc.
> si puo' cercare di adattare la teoria assiomatica alla "logica operatoria"
> di chi assiomatizza, ma tra logica e metalogica non si potra' costruire
> una corrispondenza completa.
> Naturalmente la metalogica puo' essere a sua volta formalizzata (e molti
> autori usano farlo, in modo piu' o meno esauriente), ma la metalingua ed
> il suo calcolo saranno potenzialmente oggetto di una nuova meta-metalogica
> ed il regresso non puo' continuare all'infinito.
Credo di aver capito.
Pangloss
> On 16 Lug, 20:55, Pangloss <proie...@ica-net.it> wrote:
>> Il mio discorso si riferisce al calcolo delle proposizioni, formalizzato
>> ad es. con il sistema HA (Hilbert-Ackermann); lo schema di ragionamento
>> riportato costituisce un esempio di "prova assoluta di coerenza" nel senso
>> di Hilbert.
> Che pero' non ho afferrato bene. Potresti farmi capire meglio
> questo schema di ragionamento che prova la coerenza, se
> possibile ?
Presumo che tu conosca sommariamente qualche esempio di formulazione
assiomatica del calcolo proposizionale (es. sistema assiomatico HA).
Se tale calcolo non fosse coerente, ogni formula sarebbe un teorema.
Si tratta allora di mostrare che esistono formule (morfologicamente ben
formate) che non sono teoremi, ossia che non possono essere ottenute
dagli assiomi applicando ripetutamente le regole di formazione del
sistema: regola di sostituzione e regola di distacco (modus ponens).
Non essendo possibile esaminare tutte le infinite catene sintattiche
possibili, si procede cercando una qualsiasi proprieta' che sia comune
a tutti gli assiomi (4 nel sistema HA) e che sia trasmessa dalle regole
di formazione (ereditarieta'). Per il sistema HA una proprieta' idonea
e' quella di "essere una tautologia" (si tratta di una proprieta'
semantica (che a prezzo di lievi complicazioni puo' essere rimpiazzata
con proprieta' sintattiche).
Dunque nel sistema HA ogni teorema e' tautologico.
Poiche' esistono banalmente fbf che non sono tautologie, queste formule
non possono essere teoremi, con il che la "prova assoluta di coerenza"
(secondo Hilbert) e' ultimata.
Esaminando semplicemente a vista gli assiomi e le regole del sistema
formale HA, la coerenza del calcolo non era affatto ovvia a priori.
Naturalmente l'elegante ragionamento proposto e' di natura metalogica,
nessun dio me lo garantisce e potrei essere inconsapevolmente pazzo. :-(
radicale 001
> Presumo che tu conosca sommariamente qualche esempio di formulazione
> assiomatica del calcolo proposizionale (es. sistema assiomatico HA).
> Se tale calcolo non fosse coerente, ogni formula sarebbe un teorema.
Ma CERTO ! Che sciocco, mi ero dimenticato che da un sistema
incoerente si puo' derivare tutto. :-)
Ho capito perfettamente. Grazie. Grazie mille per la pazienza.
LordBeotian
> > > Cioe' ... Come faccio a dire, con la logica, che l' SF della
> > > logica e' coerente ? S' alluppa su ste stesso questa cosa !
>
> > Non lo dici mica con la logica, lo dici con la matematica, e ti serve
> > il principio di induzione.
>
> Impossibile.
>
> C'e' (volendo) logica senza matematica.
> Ma non c'e' matematica senza logica.
Rimane il fatto che l'unica dimostrazone esistente di coerenza della
logica proposizionale fa uso della logica predicativa e del principio
di induzione.
radicale 001
Non basta far vedere che c'e' almeno una proposizione ben
formata che non e' una tautologia ?
LordBeotian
> > > > > Cioe' ... Come faccio a dire, con la logica, che l' SF della
> > > > > logica e' coerente ? S' alluppa su ste stesso questa cosa !
>
> > > > Non lo dici mica con la logica, lo dici con la matematica, e ti serve
> > > > il principio di induzione.
>
> > > Impossibile.
>
> > > C'e' (volendo) logica senza matematica.
> > > Ma non c'e' matematica senza logica.
>
> > Rimane il fatto che l'unica dimostrazone esistente di coerenza della
> > logica proposizionale fa uso della logica predicativa e del principio
> > di induzione.
>
> Non basta far vedere che c'e' almeno una proposizione ben
> formata che non e' una tautologia ?
A che servirebbe?
radicale 001
Beh, se l' SF fosse incoerente non sarebbe possibile
che possa generare una fbf che non e' una tautologia.
LordBeotian
Al contrario: se è incoerente può dimostrare qualsiasi cosa
(tautologie e contraddizioni incluse).
radicale 001
E io che ho detto ?
Ogni fbf sarebbe, per quel sistema, una
tautologia.
Ma siccome non e' cosi', il sistema non e' incoerente.
LordBeotian
> > > > > > > > > Cioe' ... Come faccio a dire, con la logica, che l' SF della
> > > > > > > > > logica e' coerente ? S' alluppa su ste stesso questa cosa !
>
> > > > > > > > Non lo dici mica con la logica, lo dici con la matematica, e ti serve
> > > > > > > > il principio di induzione.
>
> > > > > > > Impossibile.
>
> > > > > > > C'e' (volendo) logica senza matematica.
> > > > > > > Ma non c'e' matematica senza logica.
>
> > > > > > Rimane il fatto che l'unica dimostrazone esistente di coerenza della
> > > > > > logica proposizionale fa uso della logica predicativa e del principio
> > > > > > di induzione.
>
> > > > > Non basta far vedere che c'e' almeno una proposizione ben
> > > > > formata che non e' una tautologia ?
>
> > > > A che servirebbe ?
>
> > > Beh, se l' SF fosse incoerente non sarebbe possibile
> > > che possa generare una fbf che non e' una tautologia.
>
> > Al contrario: se è incoerente può dimostrare qualsiasi cosa
> > (tautologie e contraddizioni incluse).
>
> E io che ho detto ?
> Ogni fbf sarebbe, per quel sistema, una
> tautologia.
Ma essere una tautologia non è mica sinonimo di essere dimstrabile.
Tautolgia significa un'altra cosa.
superpollo
gia'... se non ricordo male una tautologia altro non e' se non la
negazione di una contraddizione.
LordBeotian
Non proprio: una tautologia è una proposizione che risulta vera
rispetto a qualsiasi assegnazione di valori di verità ai simboli
proposizionali che contiene.
radicale 001
> > > Al contrario: se è incoerente può dimostrare qualsiasi cosa
> > > (tautologie e contraddizioni incluse).
>
> > E io che ho detto ?
> > Ogni fbf sarebbe, per quel sistema, una
> > tautologia.
>
> Ma essere una tautologia non è mica sinonimo di essere dimstrabile.
Lo so. Ma che c' entra ?
Non c'e' bisogno che *ogni* tautologia sia dimostrabile.
Quello e' richiedere la completezza. Dico bene ?
Bisognerebbe invece dimostrare che il sistema puo' produrre
SOLTANTO tautologie.
Oppure (dualmente) bisognerebbe dimostrare che,
data una fbf NON tautologica, il sistema non puo'
derivarla.
Ma, dico io, il fatto stesso che si possa scrivere
una fbf non tautologica non dovrebbe essere sufficiente ?
No, vero ?
radicale 001
Certo che no.
Hai ragione te.
radicale 001
> > > Ma essere una tautologia non è mica sinonimo di essere dimstrabile.
> > > Tautolgia significa un'altra cosa.
>
> > gia'... se non ricordo male una tautologia altro non e' se non la
> > negazione di una contraddizione.
> Non proprio: una tautologia è una proposizione che risulta vera
> rispetto a qualsiasi assegnazione di valori di verità ai simboli
> proposizionali che contiene.
Credo abbia ragione superpollo.
Infatti :
1)
la negazione di una tautologia, proprio perche' definita
(giustamente) come hai scritto tu, e' ovviamente una
contraddizione.
Infatti e' falsa per ogni assegnazione, che e' la defin. di
contraddizione.
2)
Data una contraddizione, la sua negazione e' evidentemente
una tautologia, perche' e' vera per qualunque assegnazione.
superpollo
e una contraddizione e' una proposizione che risulta falsa rispetto a
qualsiasi assegnazione di valori di verita' ai simboli proposizionali
che contiene... ti torna?
LordBeotian
Sì esatto, però non tutte le tautologie sono negazioni di
contraddizioni (alcune non contengono neanche il simbolo di negazione).
superpollo
mi fai un esempio?
--
La merdatica è il pensiero distorto della Matematica
E' responsabile di numerosi delitti contro l'umanita'
e disastro perpetrato e continuato contro la scienza
responsabile di disastri e attentati all'equilibrio delle menti Umane,
Vittime impotenti ed innocenti,della sua estrema insensatezza.
LordBeotian
> > > > Al contrario: se è incoerente può dimostrare qualsiasi cosa
> > > > (tautologie e contraddizioni incluse).
>
> > > E io che ho detto ?
> > > Ogni fbf sarebbe, per quel sistema, una
> > > tautologia.
>
> > Ma essere una tautologia non è mica sinonimo di essere dimstrabile.
>
> Lo so. Ma che c' entra ?
C'entra con il fatto che tu scrivi "tautologia *per quel sistema*":
non ha senso, puoi dire "dimostrabile per il sistema" ma non
"tautologia per il sistema".
> Non c'e' bisogno che *ogni* tautologia sia dimostrabile.
> Quello e' richiedere la completezza. Dico bene ?
Sì.
> Bisognerebbe invece dimostrare che il sistema puo' produrre
> SOLTANTO tautologie.
Non necessariamente, ma se lo dimostri hai dimostrato la coerenza.
> Ma, dico io, il fatto stesso che si possa scrivere
> una fbf non tautologica non dovrebbe essere sufficiente ?
>
> No, vero ?
Il solo fatto che tu possa scrivere una cosa non ti dice niente su
quello che si può dimostrare con degli assiomi qualsivoglia.
radicale 004
Si si ma certo.
Grazie.