Il misterioso (x me) Tensore
Aflone
Sono al terzo anno di fisica, ma cosa sia un tensore rimane ancora per me un
mistero...
Sto leggendo delle dispense di Metodi in cui un tensore viene definito come
un' applicazione multilineare da un certo spazio PIsr ad R. Multilineare
vuol dire lineare in tutti gli argomenti dice la diepensa.. e gia' la cosa
e' oscura.. cosa sono gli argomenti???. Poi lo spazio PIsr e' definito come
il prodotto cartesiano di s copie di uno spazio vettoriale V ed r copie del
suo duale. La definizione di PIsr mi e' chiara.
Questi tensori, il secondo anno in meccanica razionale li avevo visti come
delle quantita'... Ci sono gli scalari, i vettori e i tensori... Poi avevo
visto che in realta' un vettore lo si puo' considerare come un tensore un
po' particolare, e addirittura uno scalare e' un tensore di rango 0 mi pare
(ma non ne sono sicuro).
La mia domanda e': i tensori sono applicazioni lineari o quantita'???
Sicuramente mi risponderete che sono entrambe le cose, ma come posso
riuscire a collegare le due cose??
Grazie
Michelangelo
GiovanniN
wrote:
>La mia domanda e': i tensori sono applicazioni lineari o quantita'???
cos'e' una quantita', scusa l'ignoranza?
--
>GiovanniN
"Chi va dritto
va afflitto
chi va stortariello
va benariello"
(proverbio triventino)
Aflone
"GiovanniN" <naj...@supereva.it> ha scritto nel messaggio
news:3ce0b0fa...@powernews.inwind.it...
> On Sat, 04 May 2002 09:53:09 GMT, "Aflone" <michela...@libero.it>
> wrote:
>
> >La mia domanda e': i tensori sono applicazioni lineari o quantita'???
>
> cos'e' una quantita', scusa l'ignoranza?
Molto probabilmente mi sono espresso male...
Il momento d'inerzia per esempio e' un tensore. In fisica 1 lo si trattava
come uno scalare per non complicare troppo le cose, ma in realta' e' un
tensore.
Cio' che intendo dire e' la seguente cosa:
Quando in fisica dobbiamo rappresentare certe quantita' utiliziamo certi
oggetti matematici che "funzionano bene"... faccio qualche esempio che e'
meglio, mi rendo conto di non esprimermi proprio bene.
La temperatura di un corpo e' espressa da uno scalare.
Il potenziale di un punto dello spazio e' espresso anch'esso da uno scalare.
La velocita' di un corpo invece e' espressa da un vettore.
La forza che agisce su un corpo lostesso e' espressa da un vettore.
La posizione di un corpo rispetto ad un sistema di riferimento e' espressa
da un vettore.
Il momento di inerzia di un corpo rotante non isotropo e' espresso da un
tensore
Ricordo anche un'altra quantita' legata alla polarizzazione dei dielettrici
non isotropi che e' un tensore.
Spero che ti sia chiaro ora cosa intendo forse impropriamente per
"quantita'" e che tu sia in grado di rispondere alla mia domanda
originale...
Ciao
M.
Elio Fabri
> ...
> Cio' che intendo dire e' la seguente cosa:
> Quando in fisica dobbiamo rappresentare certe quantita' utiliziamo certi
> oggetti matematici che "funzionano bene"... faccio qualche esempio che e'
> meglio, mi rendo conto di non esprimermi proprio bene.
l'inglese "quantity", ai tempi della mia gioventu' si chiamava
"grandezza (fisica)", a me sembra tutto chiaro.
Non c'e' alcun contrasto: per es. il momento d'inerzia e' una grandezza
fisica, la cui caratterizzazione matematica e' un tensore.
Tensore (come anche vettore) e' invece un oggetto esclusivamente
matematico.
Percio' non sono i vettori o i tensori a essere grandezze, ma sono le
grandezze, che oltre a essere tali, ossia ad avere un qualche
significato fisico, hanno proprieta' matematiche (vettore, tensore, ma
anche operatore autoaggiunto, o qualsiasi altra che possa servire).
Ti torna?
-------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
-------------------
GiovanniN
wrote:
>> >La mia domanda e': i tensori sono applicazioni lineari o quantita'???
>> cos'e' una quantita', scusa l'ignoranza?
>Molto probabilmente mi sono espresso male...
>Il momento d'inerzia per esempio e' un tensore. In fisica 1 lo si trattava
>come uno scalare per non complicare troppo le cose, ma in realta' e' un
>tensore.
Piu' semplicemente puoi considerare la matrice del momento d'inerzia.
>Spero che ti sia chiaro ora cosa intendo forse impropriamente per
>"quantita'" e che tu sia in grado di rispondere alla mia domanda
>originale...
Ci sono diversi modi di vedere diverse parti della matematica e della
fisica.
Il calcolo tensoriale e' molto rigoroso e formalizzato, pero' puoi
impararlo anche in maniera piu' semplice.
Un primo passo e' considerare i tensori a 2 indici come delle matrici,
nei casi piu' semplici.
Aflone
"Elio Fabri" <mc8...@mclink.it> ha scritto nel messaggio
news:3CD41267...@mclink.it...
> Premesso che quella che e' invalso di chiamare "quantita'", copiando
> l'inglese "quantity", ai tempi della mia gioventu' si chiamava
> "grandezza (fisica)", a me sembra tutto chiaro.
> Non c'e' alcun contrasto: per es. il momento d'inerzia e' una grandezza
> fisica, la cui caratterizzazione matematica e' un tensore.
> Tensore (come anche vettore) e' invece un oggetto esclusivamente
> matematico.
> Percio' non sono i vettori o i tensori a essere grandezze, ma sono le
> grandezze, che oltre a essere tali, ossia ad avere un qualche
> significato fisico, hanno proprieta' matematiche (vettore, tensore, ma
> anche operatore autoaggiunto, o qualsiasi altra che possa servire).
>
> Ti torna?
Mi torna abbastanza.. quello che ancora torna poco e':
Dato che un tensore di ordine 0 e' uno scalare (correggimi se sbaglio, ed e'
facile che sbagli), come posso immaginarlo come applicazione lineare?
Dato che un tensore di ordine 1 e' un vettore, come posso immaginarlo come
applicazione lineare?
Un tensore di ordine 2 e' invece una matrice? In questo caso immaginarla
come applicazione non e' difficile dato che ad ogni applicazione lineare
corrisponde una matrice...
Ma vettore e scalare come saltano fuori da un'applicazione lineare?
Grazie
Mic.
Aflone
> On Sat, 04 May 2002 11:22:59 GMT, "Aflone" <michela...@libero.it>
> wrote:
>
>
> Ci sono diversi modi di vedere diverse parti della matematica e della
> fisica.
>
> Il calcolo tensoriale e' molto rigoroso e formalizzato, pero' puoi
> impararlo anche in maniera piu' semplice.
>
> Un primo passo e' considerare i tensori a 2 indici come delle matrici,
> nei casi piu' semplici.
si ok, ma questo non risolve il mio problema...
Non capisco come da quella definizione di tensore come applicazione lineare
dallo spazio del prodotto cartesiano tra uno o piu' copie di V ed una o piu'
copie di V* ad R possano saltar fuori scalari, vettori e matrici.
Le mie dispense parlano di tensori di rango n e rango duale m... non riesco
a ricollegare tutto questo alle cose intuitive che gia' conosco riguardo ai
tensori.
Grazie
Mic
Gabriele 'LightKnight' Stilli
> Ma vettore e scalare come saltano fuori da un'applicazione lineare?
Uno scalare è una matrice 1x1.
Un vettore è una matrice nx1 (o 1xn)...
(OK, OK, sto scherzando, fino a un certo punto... :-) )
Gabry senza ritegno :-)
--
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rez
>La mia domanda e': i tensori sono applicazioni lineari o quantita'???
I tensori sono un'applicazione bilineare, cioe` lineare sul campo e
sul modulo.
Un tensore NOn e` ne' una quantita`, ne' un insieme di quantita`.
Le sue componenti sono invece quantita`: numeriche, o aventi una
qualche dimensione fisica. Sono quantita` munite di indici e associate
necessariamente ad una prefissata "base".
Fissato un sistema di coordinate (se vuoi un riferimento), una matrice
individua un tensore e puo` pertanto identificarsi con esso.
Ma tale corrispondenza svanisce cambiando il sistema di coordinate.
Generalmente si considerano tensori "affini", cioe` associati ad
_un solo_ spazio vettoriale.
>Sicuramente mi risponderete che sono entrambe le cose, ma come posso
>riuscire a collegare le due cose??
Be' puoi considerare che, *fissato un sistema di coordinate*, allora
le due cose si identificano, ma -come dicevo prima- la corrisponndenza
non vale piu` passando ad altre coordinate (ce ne sara` una nuova,
generalmente diversa).
--
Ci sentiamo, | Remigio Zedda || Attenzione! campo "From:" alterato
ciao Remigio | || ==> E-mail: remi...@tiscali.it
-------------| ..si` d'accordo.. ma con la Deb e` un'altra cosa!
/* Linux 2.2.19pre17 su Debian GNU/Linux 2.2 Potato */
Pangloss
- i tensori vengono definiti (in modo rigoroso, ma poco intuitivo) come
applicazioni multilineari tra certi insiemi ;
- i vettori sono tensori (di rango uno);
- le grandezze fisiche possono essere scalari, vettoriali o tensoriali (di
rango due o superiore).
Ma che senso ha dire che una grandezza fisica vettoriale (ad es. una forza)
sia un'applicazione lineare!?
Per chiarire a fondo gli equivoci contenuti nel precedente discorso
bisognerebbe scrivere:
- un trattato matematico di calcolo tensoriale;
- un trattato epistemologico riguardante il rapporto (e l'eventuale criterio
di demarcazione) tra matematica e fisica.
Trattati matematici di calcolo tensoriale ve ne sono molti.
Quelli piu' datati definivano i tensori in modo concettualmente orrendo come
n^r-ple di componenti numeriche dotate di certe proprieta' di trasformazione.
Oggi per fortuna i tensori sono presentati come strutture algebriche
costruite nell'ambito della teoria degli spazi vettoriali.
Come ben sai, in algebra con il nome di "vettore" si designano semplicemente
gli elementi di un gruppo abeliano additivo V correlato ad un corpo
commutativo A (R,C...) tramite operazioni ed assiomi specifici.
Come vedi, per diritto di nascita, i vettori _non_ sono matrici, _non_ sono
applicazioni lineari, _non_ sono grandezze vettoriali. Semmai si possono
formulare, con opportune precisazioni, le proposizioni inverse.
Nell'algebra degli spazi vettoriali nascono (di parto naturale) strutture
varie che verranno poi chiamate tensori, ad esempio:
- operatori lineari V->V
- funzioni scalari lineari di un vettore V->A (detto spazio duale W)
- funzioni scalari multilineari di piu' vettori VxVx...xV->A
Quando nello spazio vettoriale V (di dimensione finita n) sia fissata una
base vettoriale, ogni tensore puo' essere rappresentato in modo alquanto
naturale con un set di n^r componenti (r=rango del tensore).
Alla sofisticata definizione generale di tensore quale applicazione
multilineare del tipo:
(VxVx...xV)x(Wx...xW) -> A
non si perviene solo iterando e generalizzando gli esempi elementari di
tensori anzidetti.
Lo spazio vettoriale V non e' un'applicazione nel corpo A, come tu osservi.
Neppure il classico esempio degli operatori lineari V->V lo e'.
Qui entra in gioco il cosidetto "isomorfismo canonico", volgarmente la
possibilita' di identificare tensori di uguale rango r definiti in modo
diverso, ma caratterizzati dalle medesime proprieta' di trasformazione
(covarianza e controvarianza); ad esempio:
V ->A spazio duale W tensore rango 1 covariante
VxW ->A isomorfo a V->V tensore rango 2 misto
W ->A isomorfo a V tensore rango 1 controvariante
Come vedi vettori ed operatori lineari pur _non_ essendo applicazioni nel
corpo A possono essere chiamati tensori ai sensi della definizione
multilineare generale, in nome dell'isomorfismo canonico.
Tutto questo discorso non richiede che lo spazio vettoriale V sia metrico.
Non e' stato definito il prodotto scalare. I vettori non hanno modulo.
Il tipo di tensore (covarianza e controvarianza) e' intrinsecamente legato
alla sua definizione e non puo' essere modificato neppure a martellate (in
mancanza appunto dell'isomorfismo metrico).
Fine del discorso matematico, passiamo al discorso fisico.
Trattati epistemologici che discutano in modo soddisfacente il controverso
rapporto matematica/fisica non ne conosco.
IMO gli equivoci e gli sconfinamenti maldestri nascono dall'uso di un
linguaggio formale comune, che la matematica sviluppa dal punto di vista
morfologico-sintattico, mentre la fisica sviluppa anche dal punto di vista
semantico.
Il formalismo matematico nulla dice sul significato delle grandezze fisiche
(scalari, vettoriali o tensoriali). Una discussione _operativa_ di tale
significato, dal punto di vista classico e da quello quantistico, e'
evidentemente OT su questo NG.
--
Elio Proietti
Debian GNU/Linux
Elio Fabri
> Mi torna abbastanza.. quello che ancora torna poco e':
> Dato che un tensore di ordine 0 e' uno scalare (correggimi se sbaglio, ed e'
> facile che sbagli), come posso immaginarlo come applicazione lineare?
> Dato che un tensore di ordine 1 e' un vettore, come posso immaginarlo come
> applicazione lineare?
spazi vettoriali con cui lavori sono dotati di prodotto scalare. Di
conseguenza, la distinzione fra V e il suo duale V^* non e' piu'
naturale...
Infatti u.v e' uno scalare che dipende linearmente da v, quindi e'
un'applicazione lienare V-->R, ossia un elemento di V^*, determinato
univocamente da u; ed e' anche vero il viceversa.
Ossia, c'e' un isomorfismo naturale, indotto dal prodotto scalare, tra V
e V^*.
Cio' premesso, prendiamo un tensore T del tipo V --> R. Questo e' un
elemento di V^*, e per l'isomorfismo che ho detto, lo puoi interpretare
come vettore. E viceversa: ogni vettore u definisce, attraverso T(v) =
u.v, un'applicazione V --> R.
Se non fosse per quell'isomorfismo, dovresti distinguere due tipi di
tensori di ordine 1: quelli di ordine (1,0) (V^* --> R) e quelli di
ordine (0,1) (V --> R).
E uno scalare? Secondo la definizione di tensore di ordine 0, dovrebbe
essere un'applicazione dal prodotto cartesiano di zero copie di V^* e
zero copie di V, in R. Ma in quel prodotto cartesiano c'e' un solo
elemento (l'insieme vuoto) e quindi l'applicazione e' da quel solo
elemento in R, ossia e' definita assegnando *un unico* reale: appunto lo
scalare.
Ci sarebbe poi da dire qualcosa sui tensori di ordine 2: intanto, ne
avresti in realta' di 3 tipi: (2,0), (1,1), (0,2). Poi, se pensi ad es.
al tipo (1,1), lo puoi leggere anche come un'applicazione V --> V,
oppure V^* --> V^*. (E poi giocando sull'isomorfismo, e' lo stesso...)
Questo riesce utile, ad es. per il tensore d'inerzia. Infatti la
definizione piu' significativa (secondo me) e' vederlo come l'oggetto
che determina il momento angolare data la velocita' angolare: da vettore
a vettore (a parte che a rigore vel. ang. e mom. ang. sono vettori per
modo di dire...).
> Un tensore di ordine 2 e' invece una matrice? In questo caso immaginarla
> come applicazione non e' difficile dato che ad ogni applicazione lineare
> corrisponde una matrice...
Infine le matrici: queste non sono che le rappresentazioni del tensore
*in una data base*.
Scelta una base per V, ne segue automaticamente una per V^*, e poi per
V^* x V, eccetera.
La matrice e' la tabella delle componenti del tensore, che quindi cambia
se cambi la base. Per questo motivo non e' bello dire "un tensore non e'
che una matrice": rischia di farti dimenticare che la matrice dipende
dalla base, non e' intrinseca.
valkan
"relativity" trovi delle informazioni e dei links a delle buone dispense. Ad
esempio il libro di Schutz è un buon compromesso fra matematica e fisica.
Altrimenti mi ricordo che molto buono è il Dodson-Poston "Tensor geometry".
Parte dalle basi e spiega in dettaglio molte cose che sui testi classici di
geometria differenziale non ci sono.
"rez" <r...@tiscali.it> ha scritto nel messaggio
news:ab2a6l$1de$1...@pegasus.tiscalinet.it...
Stefano Crispino
8<
> Infatti u.v e' uno scalare che dipende linearmente da v, quindi e'
> un'applicazione lienare V-->R, ossia un elemento di V^*, determinato
> univocamente da u; ed e' anche vero il viceversa.
> Ossia, c'e' un isomorfismo naturale, indotto dal prodotto scalare, tra V
> e V^*.
E questo morfismo prende il curioso nome di isomorfismo musicale, e per la
precisione diesis (#). L'isomorfismo inverso e' invece l'isomorfismo bemolle
(b).
Giusto per sfizio.
Ciao,
Stefano
--
"Piu' l'isola della conoscenza cresce,
piu' la superficie a contatto col mare
dell'ignoto si estende"
Proverbio cinese
Elio Fabri
> E questo morfismo prende il curioso nome di isomorfismo musicale, e per la
> precisione diesis (#). L'isomorfismo inverso e' invece l'isomorfismo bemolle
> (b).
Pangloss
>"Elio Fabri" ha scritto
>> Infatti u.v e' uno scalare che dipende linearmente da v, quindi e'
>> univocamente da u; ed e' anche vero il viceversa.
>> Ossia, c'e' un isomorfismo naturale, indotto dal prodotto scalare, tra V
>> e V^*.
>precisione diesis (#). L'isomorfismo inverso e' invece l'isomorfismo bemolle
Ho qualche difficolta' a distinguere il diesis dal bemolle...
Saro' stonato? ;-)
Comunque musicale, naturale o metrico che lo si voglia chiamare, non va
confuso con quello che nel mio post ho chiamato isomorfismo canonico.
Ad un elemento di V e' possibile associare univocamente un'applicazione
lineare V^*-->R anche senza uso del prodotto scalare.
Ciao
Paola Pannuti
> Ho qualche difficolta' a distinguere il diesis dal bemolle...
> Saro' stonato? ;-)
> Comunque musicale, naturale o metrico che lo si voglia chiamare, non va
> confuso con quello che nel mio post ho chiamato isomorfismo canonico.
> Ad un elemento di V e' possibile associare univocamente un'applicazione
> lineare V^*-->R anche senza uso del prodotto scalare.
mai avuto dubbi: si puo' tutto, basta volerlo. ed esercitare coercizioni
e' un divertimento come un altro. chi si accontenta...
rez
>Comunque musicale, naturale o metrico che lo si voglia chiamare, non va
>confuso con quello che nel mio post ho chiamato isomorfismo canonico.
>Ad un elemento di V e' possibile associare univocamente un'applicazione
>lineare V^*-->R anche senza uso del prodotto scalare.
Ho letto un po' superficialmente quel tuo post e invece di pensarci
su faccio prima a chiedertelo, tanto vedo che ne parli volentieri..
L'isomorfismo canonico non equivale in ultima analisi a munire lo
spazio vettoriale di un tensore doppio simmetrico?
Pangloss
>L'isomorfismo canonico non equivale in ultima analisi a munire lo
>spazio vettoriale di un tensore doppio simmetrico?
No.
L'introduzione del prodotto scalare, cioe' la definizione di una particolare
funzione lineare simmetrica di due vettori (alias tensore metrico covariante
simmetrico di rango due) rende lo spazio vettoriale V metrico.
In uno spazio metrico V si puo' stabilire un isomorfismo tra tutti i tensori
di uguale rango (covarianti, controvarianti o misti che siano).
Ad esempio, nel suo post Elio Fabbri spiega chiaramente che il prodotto
scalare determina un isomorfismo naturale (alias metrico) tra gli elementi
di V (vettori controvarianti) e quelli dello spazio duale W = V->R
(vettori covarianti). A proposito, ricordo che lo scorso ottobre lo stesso
Elio Fabbri aveva pubblicato su questo NG una lunga dissertazione sui
tensori covarianti e controvarianti.
Insomma, in uno spazio vettoriale metrico si possono identificare lo spazio
V e quello duale W. Dal punto di vista analitico cio' determina la nota
possibilita' di trasformare le componenti da controvarianti a covarianti e
viceversa, usando appunto il tensore metrico.
Suppongo che questa possibilita' di alzare o abbassare gli indici di un
tensore (di un semitono ;-)) abbia suggerito a qualche buontempone l'idea di
chiamare "musicale" l'isomorfismo metrico.
In uno spazio vettoriale V non metrico (cioe' sprovvisto di prodotto scalare)
tensori di uguale rango ma aventi proprieta' di trasformazione diverse non
sono isomorfi.
Ad esempio, lo spazio V (vettori controvarianti) e lo spazio vettoriale duale
W (vettori covarianti) non sono identificabili.
Tuttavia tensori aventi uguali proprieta' di trasformazione possono essere
correlati facilmente con un isomorfismo "canonico". Sostanzialmente si
tratta di associare tensori che abbiano le medesime componenti in una base
vettoriale *qualsiasi*.
Come ho gia' fatto notare:
- il tensore VxW->R ed il tensore V->V sono entrambi di rango due misto e
quindi identificabili in modo canonico;
- il tensore V ed il tensore W->R sono entrambi di rango uno controvariante
e quindi identificabili in modo canonico.
Questa era proprio la domanda all'origine del thread: che senso ha dire che
i vettori siano applicazioni lineari...
Aggiungo che la definizione multilineare di tensore:
(VxVx....xV)x(Wx....W)->R
Se lo spazio V e' metrico basta la definizione piu' semplice:
VxVx.....xV -> R
In uno spazio vettoriale V non metrico le applicazioni lineari tra vettori
V->V sono tensori di rango due misto (isomorfismo canonico).
In uno spazio vettoriale V metrico le stesse applicazioni V->V sono tensori
di rango due (e basta!), rappresentabili con matrici di rango due di tipo
arbitrario: misto, covariante o controvariante (isomorfismo metrico).
rez
>rez ha scritto:
>>L'isomorfismo canonico non equivale in ultima analisi a munire lo
>>spazio vettoriale di un tensore doppio simmetrico?
>No.
[...]
>In uno spazio vettoriale V non metrico (cioe' sprovvisto di prodotto
>scalare) tensori di uguale rango ma aventi proprieta' di trasformazione
>diverse non sono isomorfi.
>Ad esempio, lo spazio V (vettori controvarianti) e lo spazio vettoriale
>duale W (vettori covarianti) non sono identificabili.
E qui OK.
O, se vogliamo, piu` precisamente sono isomorfi in una base, ma tale
isomorfismo generalmente svanisce in un cambiamento della base stessa.
E gli spazi, come appunto dici, non sono pertanto identificabili.
>Tuttavia tensori aventi uguali proprieta' di trasformazione possono
>essere correlati facilmente con un isomorfismo "canonico".
>Sostanzialmente si tratta di associare tensori che abbiano le medesime
>componenti in una base vettoriale *qualsiasi*.
Potresti chiarire qui? E` questo il punto che mi interesserebbe.
Il motivo e` che io il termine "canonico" non lo uso, ne' l'ho mai
incontrato.
D'altra parte, da questo che dici ora qui, mi sembra di intendere che
anche tale isomorfismo canonico svanisca, in un cambiamento della base.
In altre parole, l'isomorfismo canonico non sarebbe altro che il
legame (1) seguente (cioe` le condizioni di dualita`):
(1) T^k(e_i)=(delta)_i^k,
essendo {e_i} la base e {T^i} la cobase?
[...]
>In uno spazio vettoriale V non metrico le applicazioni lineari tra
>vettori V->V sono tensori di rango due misto (isomorfismo canonico).
Vuoi dire la stessa matrice di trasformazione che interviene
ad esempio in un cambiamento della base?
Cioe` nella seguente (2):
(2) e_i=A_i^k' e_k'
A_i^k definisce l'isomorfismo canonico?
Ps. Non potresti settare Vi (o usi Emacs?) per andare a capo a 72
colonne? Dopo due quote addio colori con Slrn specie se ti rispondono
con Autluk che taglia casualmente le righe..
Giovanni Bramanti
> > Ho qualche difficolta' a distinguere il diesis dal bemolle...
> che mi dici del bequadro?
Che è la prima parola del dizionario con la doppia q, nella sua
versione arcaica?
> mai avuto dubbi: si puo' tutto, basta volerlo.
ed esercitare coercizioni
> e' un divertimento come un altro. chi si accontenta...
Obbedisce al si.
Chi non si accontenta
disobbedisce al si.
Hh. Roughing
--
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Pangloss
Mi pare che siamo perfettamente d'accordo sui seguenti punti:
- dato uno spazio vettoriale V di dimensione n, i tensori di rango r
sono spazi vettoriali di dimensione n^r; la scelta di una base
vettoriale in V subordina automaticamente una cobase per i tensori
(cioe' ne individua le n^r componenti);
- tra due spazi vettoriali di uguale dimensione si puo' stabilire un
isomorfismo, semplicemente associando ordinatamente un set di vettori
base dell'uno ad un set di vettori base dell'altro; ma gli
isomorfismi che ci interessano devono essere strutturali, cioe' non
dipendere dall'assegnazione di una base vettoriale privilegiata;
- il prodotto scalare determina un isomorfismo "naturale" di questo
tipo, come gia' spiegato da Elio Fabbri;
- l'isomorfismo canonico deve essere un isomorfismo tra tensori di
uguale rango, definito in modo invariante per cambiamenti di base
ed in modo indipendente dal tensore metrico.
Se fino a qui non hai obiezioni e' gia' un successo.
Intanto provo a risponderti, ma non sono affatto sicuro di avere
interpretato con sufficiente attenzione le tue notazioni.
>D'altra parte, da questo che dici ora qui, mi sembra di intendere che
>anche tale isomorfismo canonico svanisca, in un cambiamento della base.
No, e' qui che non ci intendiamo.
Purtroppo non e' facile capirsi chiaramente su questo tema, sia per
ragioni lessicali, che per i limiti del simbolismo ASCII.
Riconsideriamo l'esempio delle applicazioni lineari V->V, strutturate
come uno spazio vettoriale di dimensione n^2.
Quando si sia fissata una base vettoriale a piacere in V, ogni
elemento dello spazio V->V e' descritto da una ben precisa matrice
quadrata nxn.
Consideriamo ora le applicazioni lineari VxW->R essendo W lo spazio
duale di V, cioe' lo spazio delle applicazioni V->R.
Anche iqc la base vettoriale scelta in V consente di descrivere ogni
elemento di VxW->R con una ben precisa matrice quadrata nxn.
E' ovvio che tra tali spazi vettoriali _distinti_ ma entrambi di
dimensione n^2 si possa stabilire un isomorfismo semplicemente
associando tra loro elementi descritti dalla stessa matrice.
Il punto cruciale pero' e' quello che succede cambiando a piacere la
base vettoriale scelta in V.
In entrambi i casi le n^2 componenti della matrice rappresentativa si
comportano in modo misto (controvariante/covariante) rispetto alle
formule di cambiamento di base. Cio' puo' essere verificato con un
calcolo diretto. Non e' cosa ovvia, non e' sempre cosi': ad es. la
matrice rappresentativa degli elementi di VxV->R risulta invece
covariante su entrambi gli indici.
Quando cambiando base vettoriale in V le matrici rappresentative si
trasformano nello stesso modo, l'isomorfismo creato associando fra
loro gli elementi aventi la stessa matrice rappresentativa si
conserva (non svanisce!) cambiando la base. Quindi le strutture
algebriche distinte V->V e VxW->R sono un esempio di isomorfismo
canonico (e per i matematici sono il medesimo tensore).
Non so se sono riuscito ad essere chiaro, di certo sono riuscito ad
essere maledettamente lungo... :-))
>Ps. Non potresti settare Vi (o usi Emacs?) per andare a capo a 72
>colonne? Dopo due quote addio colori con Slrn ...
Uso Emacs, ma con slrn uso joe per semplicita' et per non essere
obbligato a lavorare in ambiente grafico. Ho settato il margine dx a
70 colonne: se ci sono ancora problemi di leggibilita', per cortesia
avvertimi.
Ciao!
Stefano Crispino
news:abfpi9$hleg4$1...@ID-139776.news.dfncis.de...
> Ho qualche difficolta' a distinguere il diesis dal bemolle...
> Saro' stonato? ;-)
> Comunque musicale, naturale o metrico che lo si voglia chiamare, non va
> confuso con quello che nel mio post ho chiamato isomorfismo canonico.
> Ad un elemento di V e' possibile associare univocamente un'applicazione
> lineare V^*-->R anche senza uso del prodotto scalare.
Si, si, ovviamente. Gli isomorfismi di cui parlavo io sono musicali solo
quando utilizzano il prodotto scalare standard per indurre una dualita' su
V.
Stefano Crispino
> Stefano Crispino ha scritto:
> > E questo morfismo prende il curioso nome di isomorfismo musicale, e per
la
> > precisione diesis (#). L'isomorfismo inverso e' invece l'isomorfismo
bemolle
> > (b).
> Non l'avevo mai sentito. Ne faro' buon uso :)
Carini, vero? In effetti, l'algebra abbonda di nomi curiosi e immaginifici.
Dai gia' citati isomorfismi musicali alla "formula di polarizzazione", dalle
"vezzose" basi a ventaglio agli oscuri e tenebrosi recessi del _calcolo
delle ombre_...
LOL!
rez
>Risposta a rez:
>- l'isomorfismo canonico deve essere un isomorfismo tra tensori di
>uguale rango, definito in modo invariante per cambiamenti di base
>ed in modo indipendente dal tensore metrico.
Canonico quindi alias naturale.. cosi` veniva indicato prima mi
sembra se ora non sto scantonando.
>Se fino a qui non hai obiezioni e' gia' un successo.
OK:-)
>Purtroppo non e' facile capirsi chiaramente su questo tema, sia per
>ragioni lessicali, che per i limiti del simbolismo ASCII.
Si`, tra l'altro se si usano le notazioni tensoriali e` pesante non
solo quando si scrive ma anche per leggerlo.
Cmq, tutto chiaro il seguito.. dovro` pensarci invece su questa
conclusione:
>Quando cambiando base vettoriale in V le matrici rappresentative si
>trasformano nello stesso modo, l'isomorfismo creato associando fra
>loro gli elementi aventi la stessa matrice rappresentativa si
>conserva (non svanisce!) cambiando la base. Quindi le strutture
>algebriche distinte V->V e VxW->R sono un esempio di isomorfismo
>canonico (e per i matematici sono il medesimo tensore).
Non vedo molto bene come stabilire questo isomorfismo.. forse
qualcosa tipo: spazio vettoriale delle matrici nxm e quello delle
matrici mxn, un isomorfismo canonico puo` essere la trasposizione.
>Non so se sono riuscito ad essere chiaro, di certo sono riuscito ad
>essere maledettamente lungo... :-))
THNX:-)
>70 colonne: se ci sono ancora problemi di leggibilita', per cortesia
>avvertimi.
E` perfetto.. ora sei pronto per dedicarti alla sernificazione;-)
Pangloss
>Non vedo molto bene come stabilire questo isomorfismo..
Mi rendo conto che molti particolari andrebbero chiariti, non essendo
qui possibile dimostrare analiticamente ogni asserzione.
Fra l'altro penso che lo studente di fisica che ha aperto il thread,
ammesso che abbia avuto la pazienza di seguire tutta la discussione,
non abbia per questo superato le sue originarie perplessita'.
IMO, per ragioni metodologiche profonde la definizione dei tensori
quali applicazioni multilineari del tipo (Vx..xV)x(Wx..xW)->R e'
destinata ad entusiasmare i matematici "puri" ed ad infastidire i
fisici "veri". Io non la apprezzo particolarmente, proprio perche'
implica una identificazione tra strutture isomorfe, sintatticamente
legittima, ma logicamente non necessaria e semanticamente poco
opportuna. Evidentemente sono un fisico.
TNX: e' stata una conversazione lunghetta, ma interessante.
Prima o poi ci risentiremo. Ciao!
max01000011
> quali applicazioni multilineari del tipo (Vx..xV)x(Wx..xW)->R e'
> destinata ad entusiasmare i matematici "puri" ed ad infastidire i
> fisici "veri". Io non la apprezzo particolarmente, proprio perche'
> implica una identificazione tra strutture isomorfe, sintatticamente
> legittima, ma logicamente non necessaria e semanticamente poco
> opportuna
me cojoni!
Pangloss
>> ...... Io non la apprezzo particolarmente, proprio perche'
>> implica una identificazione tra strutture isomorfe, sintatticamente
>> legittima, ma logicamente non necessaria e semanticamente poco
>> opportuna
>
>me cojoni!
Ironia giustificata, lo ammetto...
Non bisognerebbe usare troppi paroloni... ;-)
Basta comunque leggere un altro thread, per constatare come l'uso del
concetto di isomorfismo (in senso lato) sia al centro del contenzioso
tra il "fisico" Fabbri ed il "matematico" Lagnese.
Nella speranza di farmi perdonare da max01000011, riformulo le
mie conclusioni sotto forma di tre parabole (fra loro isomorfe ;-))
sull'arte di rispondere in modo formalmente rigoroso eludendo il
significato autentico delle domande.
1) Ad un paziente afflitto da stati febbrili di natura sconosciuta,
lo specialistica diagnostica dottamente una "iperpiressia dnnd".
2) La chiesa comunica che e' stato "riconosciuto il miracolo" operato
per intercessione del santo di turno. Il popolo plaudente crede che
con cio' i teologi dichiarino di avere accertato il carattere
soprannaturale di un certo evento.
3) Ad uno studente di fisica alle prese con il significato del
momento angolare e del tensore d'inerzia di un corpo rigido, il
docente di metodi matematici spiega che tali grandezze "sono"
applicazioni multilineari del tipo (Vx...V)x(Wx...W) -> R
Passo e chiudo :-<<
max101000010.01000101
"Pangloss" <eliopr...@hotmail.com> ha scritto nel messaggio
news:abufqu$lgdhs$1...@ID-139776.news.dfncis.de...
LOL!
Elio Fabri
> ...
> 3) Ad uno studente di fisica alle prese con il significato del
> momento angolare e del tensore d'inerzia di un corpo rigido, il
> docente di metodi matematici spiega che tali grandezze "sono"
> applicazioni multilineari del tipo (Vx...V)x(Wx...W) -> R
Non "che cos'e' il tensore d'inerzia?"
Era percio' ragionevole interpretarla in senso matematico, anche se e'
chiaro a noi che l'origine di queste domande nasce sempre dalla fisica.
A proposito: sbaglio, o gli studenti di matematica domande di questo
genere non ne fanno mai? Sara' perche' capiscono sempre tutto, oppure?
;-)