isomorfismo canonico
Math
stesso campo scalare C. Essendo un isomorfismo, i due spazi vettoriali
V e W hanno la stessa dimensione e ad una base di V corrisponde una
base di W.
Quando si dice che l'isomorfismo è canonico? ovvero quando posso dire
che i due spazi sono canonicamente isomorfi?
Mi è stato detto quando posso identificare univocamente tale
isomorfismo...ovvero solo nel caso in cui lo definisco?ma qualunque
isomorfismo prendessi comunque potrei definirlo in modo
diverso...quindi non esiste un isomorfismo canonico...
superpollo
> Sia f un isomorfismo tra uno spazio vettoriale V ed un altro W su uno
> stesso campo scalare C. Essendo un isomorfismo, i due spazi vettoriali
> V e W hanno la stessa dimensione e ad una base di V corrisponde una
> base di W.
> Quando si dice che l'isomorfismo è canonico? ovvero quando posso dire
> che i due spazi sono canonicamente isomorfi?
se non ricordo male, quando l'isomorfismo viene definito
indipendentemente dalla scelta della base. segue esempio.
> Mi è stato detto quando posso identificare univocamente tale
> isomorfismo...ovvero solo nel caso in cui lo definisco?ma qualunque
> isomorfismo prendessi comunque potrei definirlo in modo
> diverso...quindi non esiste un isomorfismo canonico...
vado a memoria dai miei studi di geometria 1 [ sono oramai passati piu'
d vent'anni :-( ]
sia V uno s.v. e {v_i} una base; sia V* il "duale" (l'insieme degli
omomorfismi V-->C); V* e' uno s.v; una sua base si puo' definire cosi':
u_i manda sum(a_n*v_n) in a_i
si dimostra che {u_i} e' base per V*
si dimostra che mappando v_i|-->u_i si definisce un isomorfismo. esso
non e' canonico, nel senso che abbiamo usato due particolari basi per
dominio e codominio nella sua definizione.
ora considera V**=(V*)*, il "biduale". cos'e' un elemento di V**? e' un
omomorfismo V*-->C, pertanto puoi definire una mappa f:V-->V** cosi'
f(v)=w con w(u)=u(v), e come si vede questa definizione non utilizza le
basi.
si dimostra che f e' un isomorfismo, e quindi e' un isomorfismo canonico.
il teoria della categorie (ma anche in algebra commutativa, algebra
omologica, algebra universale) e' possibile definire "rigorosamente" il
concetto di isomorfismo canonico dimostrando l'unicita' di certe mappe
che rendano commutativi certi diagrammi.
sono andato di fretta e a memoria: avro pertanto detto N cazzte, che
prego a chi di dovere di correggere.
bye e buon pranzo (gnocchi al ragu', slurp!)
--
Poiche' la calcolatrice non eleva 1 =10i
devo considerare 100i=1^2
Winston Smith
> Sia f un isomorfismo tra uno spazio vettoriale V ed un altro W su uno
> stesso campo scalare C. Essendo un isomorfismo, i due spazi vettoriali
> V e W hanno la stessa dimensione e ad una base di V corrisponde una
> base di W.
> Quando si dice che l'isomorfismo è canonico? ovvero quando posso dire
> che i due spazi sono canonicamente isomorfi?
E' un po' un casino rispondere senza poter disegnare diagrammi decenti,
ma ci provo.
Anzitutto non si può parlare di isomorfismo canonico tra due spazi
vettoriali presi a caso. Quello che ti serve è una ricetta che a ogni
spazio vettoriale V ti associ un altro spazio vettoriale F(V), e dati
due spazi V,V' a ciascuna applicazione lineare h: V -> V' ti associ
un'applicazione lineare F(h): F(V) -> F(V').
Supponiamo ora di poter definire per ciascuno spazio V un isomorfismo
f_V : V -> F(V) , allora questo isomorfismo si dice naturale o canonico
se accade che per ogni V, V' e h il seguente diagramma commuta (si
consiglia l'uso di font a spaziatura fissa):
f_V
V --> F(V)
| |
h | | F(h)
v v
V' --> F(V')
f_V'
ovvero, f_V'(h(v)) = F(h) (f_V(v)) per ogni v in V.
In particolare se prendi V'=V e come h prendi un automorfismo di V, cioè
un cambio di base, vedi che deve essere
f_V(h(v)) = F(h) (f_V(v))
cioè, f_V "non dipende dalla scelta di una base".
--
Saluti,
ws