Ancora sulla zerazione: perché a volte scrivono una cosa diversa?

[Gino Di Ruberto IK8QQM - K8QQM]

Salve a tutti.
In questo NG si è già discusso della zerazione in almeno due thread
https://groups.google.com/d/msg/it.scienza.matematica/H5l1cfOfLpQ/kVN8x_DrlAkJ
https://groups.google.com/d/msg/it.scienza.matematica/lUjJDd1FDgg/HStJPUcRCgAJ

Come già vi ho scritto, essa è così definita:

i°j =_def
i + 1 se i>j
j + 1 se i<j
i + 2 = j + 2 se i=j

Sintetizzando
i°j =_def
max{i,j}+1+ δ_i,j (simbolo di Kronecker)

(fonte: per esempio,
si veda, con delle notazioni un po' particolari :-))
http://www.tuttoenumero.it/wp-content/uploads/2011/11/2010-08-31-ZerazionePseudoordinamentoENumeriEscheriani.pdf
p.2, paragrafo 2: Operazione di grado 0,
oppure, lavoro un po' più elaborato dello stesso autore
https://arxiv.org/pdf/1205.1703.pdf
da p.4, paragrafo 2: Operazione di rango 0,
in particolare vedere inizio p.5)

La definizione è data per numeri interi; _teoricamente_, non ci sarebbero problemi a estendere questa stessa definizione a tutto il campo ordinato R, perché i passaggi di sotto funzionano lo stesso; ma uno dei problemi, per esempio, sarebbe, passando al livello successivo, come collegare una tale definizione anche alla moltiplicazione per numeri non interi.

Facciamo vedere che questa è una buona definizione di iperoperzaione (io la chiamerei ipooperazione) di livello 0:

per esempio, la moltiplicazione × è l'operazione di livello 2, che segue l'addizione +, operazione di livello 1, perché
a + a = a × 2
a + a + a =_def (a + a) + a = a × 2 + a = a × 3
ecc.

e in modo del tutto analogo, l'addizione + (livello 1) segue la zerazione ° (livello 0) perché, in base alla definizione data sopra,

a ° a = a + 2
a ° a ° a =_def (a ° a) ° a = (a+2) ° a = a + 3
essesndo a+2 > a ∀a∈N (ma anche ∀a∈R)

(poichè, come per l'addizione + e la moltiplocazione ×, risulta evidente, dalla sua stessa definizione, che anche per la zerazione ° è valida la proprietà commutativa, si potrebbe anche scrivere
a ° a ° a =_def a ° (a ° a) = a ° (a+2) = a + 3 )

Bene.....
chiarito tutto questo, mi chiedo:

perché altrove, esempio
https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperoperation

si identifica la zerazione con la funzione successore
S(a) = a +1
data a due argomenti, di cui il secondo viene ignorato,
cioè in altri termini si pone

a[0]b = H_0(a,b) =
a ° b = S(a,b) = a + 1 ∀b ?

Se ripetete i passaggi di sopra con questa definizione, è chiaro che il collegamento al livello successivo, addizione + (livello 1), sembra saltare:

a ° a = a + 1 invece di a +2
a ° a ° a =_def (a ° a) ° a = (a+1) ° a = a + 2 invece di a + 3.

Cosa mi sfugge?

Grazie a tutti.
--
Gino Di Ruberto, IK8QQM
(american callsign K8QQM),
ID DMR: 2228273

[Gino Di Ruberto IK8QQM - K8QQM]

Il giorno giovedì 20 settembre 2018 10:05:51 UTC+2, Gino Di Ruberto IK8QQM - K8QQM ha scritto:

> La definizione è data per numeri interi; _teoricamente_, non ci sarebbero problemi a
> estendere questa stessa definizione a tutto il campo ordinato R, perché i passaggi di
> sotto funzionano lo stesso; ma uno dei problemi, per esempio, sarebbe, passando al
> livello successivo, come collegare una tale definizione anche alla moltiplicazione per
> numeri non interi.

sorry, ovviamente, qui volevo scrivere
"come collegare una tale definizione anche all'addizione per numeri non interi"
(perché è l'addizione il livello successivo)

[ngs]

On 20/9/2018 10:05, Gino Di Ruberto IK8QQM - K8QQM wrote:
> Cosa mi sfugge?

A quanto pare esistono varie def. di zerazione perché nessuna è
perfetta: http://www.madmath.com/2015/10/on-zeration.html

Kiuhnm

[Gino Di Ruberto IK8QQM - K8QQM]

Il giorno giovedì 20 settembre 2018 11:48:58 UTC+2, ngs ha scritto:

> A quanto pare esistono varie def. di zerazione perché nessuna è
> perfetta: http://www.madmath.com/2015/10/on-zeration.html
>

Grazie, Kiuhnm,
articolo molto interessante.
Sinceramente, tra tutte le definizioni, preferisco quella che avevo dato nel post precedente e che l'articolo da te linkato, equivalentemente, scrive:

a ° b = a[0]b = H_0(a,b) =_def
max{a,b} + 1 se a ≠ b,
a +2 se a = b

proprio perché è quella che realmente si comporta da operazione di livello 0, preservando l'identità
a°a = a+2 ossia a[0]a = H_0(a,a) = a[1]2 = H_1(a,2)
così come
a+a = a×2 ossia a[1]a = H_1(a,a) = a[2]2 = H_2(a,2)
a×a = a² ossia a[2]a = H_2(a,a) = a[3]2 = H_3(a,2)
aª = ²a ossia a[3]a = H_3(a,a) = a[4]2 = H_4(a,2)
...
caso particolare dell'identità generale
a[n]a = H_n(a,a) = a[n+1]2 = H_{n+1}(a,2)

Inoltre, come l'articolo stesso fa notare,
si preserva anche l'identità
2°2 = 4 ossia 2[0]2 = H_0(2,2) = 4
così come
2+2 = 4 ossia 2[1]2 = H_1(2,2) = 4
2×2 = 4 ossia 2[2]2 = H_2(2,2) = 4
2² = 4 ossia 2[3]2 = H_3(2,2) = 4
²2 = 4 ossia 2[4]2 = H_4(2,2) = 4
....
caso particolare dell'identità generale
2[n]2 = H_n(2,2) = 4

Questa è la vera zerazione.
Rinunciare a queste identità per non perdere altre prioprietà, secondo il mio modestissimo parere, sarebbe semplicemente assurdo, allo stesso modo (scusa il volo pindarico) di come lo sarebbe rinuciare ad estendere R a C, allo scopo di avere un campo algebricamente chiuso, per non perdere la struttura di campo ordinato.

Ciao.

[ngs]

On 20/9/2018 14:10, Gino Di Ruberto IK8QQM - K8QQM wrote:
> Questa è la vera zerazione.

Ti do il punto di vista di uno che vede queste cose per la prima volta e
poi me ne torno alle mie eq. diff. :)

Io la vedo così:

a*a*a*...*a = a^n
a+a+a+...+a = a*n
a°a°a°...°a = a+n (1)

Se vogliamo che la (1) sia vera, dobbiamo sommare inzialmente 2 e poi 1
(in accordo con la tua def. di zerazione).
Perché questa stranezza? Secondo me il problema è che vogliamo trattare
un operatore inerentemente unario (l'incremento) come se fosse binario e
quella asimmetria è il prezzo da pagare.

Kiuhnm