Condizioni di Cauchy-Riemann in coordinate polari
InuY4sha
Salve, sto lavorando con funzioni complesse da C in C, ed ho appena studiato
le condizioni di Cauchy - Riemann in coordinate cartesiane; ora mi accingo a
studiarle in coordinate polari, nelle quali diventano
se f è differenziabile come funz. da R^2 in R^2, allora è derivabile in
senso complesso in z0 se e solo se vale
df/dr(z0)= df/ds(z0) * ( 1/ (i*r0) )
dove
r = "ro" = coordinata radiale (quindi r0 = r di z0)
s = "sigma" = coordinata angolare
df/dr(z0) è la derivata pariziale rispetto a r calcolata in z0.
Subito dopo l'enunciato si effettua la dimostrazione della sola *necessità*
ovvero che se è derivabile deve valere la condizione sulle derivate;
La dimostrazione è così costruita:
Se z0 = r*e^(i*s) vale (in base al teorema della derivata di funzioni
composte)
1) df(z0)/dr= df/dr(z0) * dz/dr(z0) = f '(z0) * e^(i*s0)
2) df(z0)/ds= df/ds(z0) * dz/ds(z0) = f '(z0) * i*r0*e^(i*s0)
pertanto esplicitando f '(z0) si dimostra il teorema;
Ora il mio dubbio è come tira fuori la derivata f '(z0) quando si stanno
calcolando solo derivate parziali cioè non per z-->z0 ma per
r-->r0 oppure per s-->s0
???????????
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Se la so, rispondo sempre (quasi)
Nyrk
di stUmpa nella scrittura della regola di derivazione composta; la
notazione giusta (secondo me) è la seguente (>>> e <<< servono solo per
evidenziare la correzZZZione...):
1) df(z0)/dr= df/d>>>z<<<(z0) * dz/dr(z0) = f '(z0) * e^(i*s0)
a questo punto è lecito il passaggio che fa "magicamente" saltare fuori
f'(z0) nell'ultima uguaglianza; idem per la seconda formula:
2) df(z0)/ds= df/d>>>z<<<(z0) * dz/ds(z0) = f '(z0) * i*r0*e^(i*s0)
o no? boh. dateci un occhio....
buon appetito a tutti.
InuY4sha
Come ho fatto a non capire... penso fosse perchč pensavo veramente che
avesse ragione e fossi io in torto!
Buon appetito! io gią mangiate (e molto gradite!) pappardelle con i
bruscandoli :)