L'uovo (la geometria non è finita)
Luciano Buggio
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Sia dato un cerchio di centro C e raggio R e siano O e O' gli estremi
di un suo diametro. Tracciata per l'estremo O una qualunque corda OP,
sia H la proiezione ortogonale di P sul diametro OO'.
Facendo centro in O, si tracci l'arco di circonferenza di raggio OH
fino ad intersecare la corda OP nel punto P', per avere .
Si definisce "UOVO" il luogo dei punti P' che si ottengono nel modo
indicato al muoversi del punto P lungo la circonferenza assegnata.
-------------------------
Questa curva è dotata di una gran quantità di straordinarie proprietà,
che non sono mai state studiate.
Per esempio la quadratura del cerchio, la duplicaizone del cubo e la
trisezione dell'angolo usando l'uovo sono già state illustrate qui,
negli scorsi giorni:
Vi invito a ricercare queste proprietà.
Luciano Buggio
http://www.lucianobuggio.altervista.org
radicale 004
> Si definisce l'uovo, un nuovo luogo geometrico.
>
> --------------------------
> Sia dato un cerchio di centro C e raggio R e siano O e O' gli estremi
> di un suo diametro. Tracciata per l'estremo O una qualunque corda OP,
> sia H la proiezione ortogonale di P sul diametro OO'.
> Facendo centro in O, si tracci l'arco di circonferenza di raggio OH
> fino ad intersecare la corda OP nel punto P', per avere .
> Si definisce "UOVO" il luogo dei punti P' che si ottengono nel modo
> indicato al muoversi del punto P lungo la circonferenza assegnata.
Interessante !
E ' possibile scriverla nella forma y = f(x), ovviamente con riguardo
alla sola parte superiore ?
O magari in riferimento polare verrebbe piu' semplice ?
Luciano Buggio
Certo, per mezzo uovo messo in orizzontale.
>
> O magari in riferimento polare verrebbe piu' semplice ?
Certo, è più naturale la scrittura polare.
Inoltre la si può scrivere anche con le due parametriche.
Ciao.
Luciano Buggio
Tetis
Metti il centro del sistema polare nel punto O. L'angolo POO' lo misuri
e la quantità misurata la indichi con t Quindi il segmento OP è lungo:
2 R cos(t). La proiezione sul raggio è OH e misura 2Rcos(t)^2 dove R è
il raggio del cerchio. Di conseguenza le equazioni parametriche del
luogo sono:
x = 2Rcos^3(t)
y = 2Rcos^2(t) sen(t)
Puoi estendere il grafico considerando valori di t>Pi/2 e ottieni un
grafico simmetrico rispetto all'asse y. Puoi anche esprimere 2cos^2(t)
= 1+cos(2t) ed ottieni:
x = R(1+cos(2t))cos(t)
y = R(1+sen(2t))sen(t)
La curva di equazione:
x = R cos(2t) cos(t)
y = R cos(2t) sin(t)
si chiama rodonea ed è un "fiore" con quattro petali.
In generale data una curva in equazione polare:
x(t) = R(t) cos(t)
y(t) = R(t) sin(t)
puoi ottenere quella che si chiama "concoide" aggiungendo al raggio
R(t) un valore costante con segno + o -. Ottieni in generale due rami
di una stessa curva che si chiama concoide.
x(t)=(R(t)+a)cos(t)
y(t)=(R(t)+a)sen(t)
ed:
x(t)=(R(t)-a)cos(t)
y(t)=(R(t)-a)sen(t)
nel caso specifico il valore di a scelto è a=1.
La più celebre concoide è la cosiddetta concoide di Nicomede che si
cotruisce a partire dalla forma polare di una circonferenza, e fu usata
da Nicomede per la trisezione dell'angolo. Rispetto alla concoide
proposta da Luciano ha il vantaggio di potere essere tracciata con un
semplice meccanismo a bracci simile al plantigrafo a partire da una
circonferenza. Una curva analogamente celebre in relazione alla
trisezione dell'angolo è la chiocciola di Pascal che si costruisce come
concoide della circonferenza. Ti scrivo per confronto le equazioni di
queste ultime due curve.
La retta ha equazione polare:
R(t)=sec(t)
quindi:
x(t)=(a+sec(t)) cos(t)
y(t)=(a+sec(t)) sen(t)
x(t)=(-a+sec(t)) cos(t)
y(t)=(-a+sec(t)) sen(t)
osserva però quanto segue:
x(t)=(a+sec(Pi+t)) cos(Pi+t) = (-a+sec(t)) cos(t)
y(t)=(a+sec(Pi+t)) sen(Pi+t) = (-a+sec(t)) sen(t)
quindi in effetti il secondo ramo della concoide di Nicomede è di fatto
la continuazione del primo.
Per la circonferenza di diametro unitario passante per il centro degli
assi hai:
x(t)=(cos(t)) cos(t)
y(t)=(cos(t)) sen(t)
le cui concoidi sono l'unione dei due grafici:
x(t)=(a+cos(t)) sen(t)
y(t)=(a+sen(t)) cos(t)
x(t)=(-a+cos(t)) sen(t)
y(t)=(-a+sen(t)) cos(t)
Tuttavia anche in questo caso il secondo ramo è ridondante e si ottiene
dal primo per traslazione. Il caso particolare a = 1/2 si chiama
chiocciola di Pascal e può essere usata anch'essa per la trisezione
dell'angolo. La costruzione di Pascal è molto elegante.
Tornando alla concoide della rodonea:
x = R(1+cos(2t))cos(t)
y = R(1+sen(2t))sen(t)
nota che stavolta risulta:
x = R(1+cos(2(t+pi)))cos(t+pi) = -R(1+cos(2(t)))cos(t)
y = R(1+sen(2(t+pi)))sen(t+pi) = - R(1+cos(2t))sen(t)
quindi il secondo ramo della concoide non può essere ottenuto dal
primo. Ad ogni modo il secondo ramo della concoide risulta (per altre
ragioni trigonometriche una semplice rotazione del primo. Quindi la
concoide completa è formata da quattro "uova", ruotate una rispetto
all'altra di Pi/2. Ed anche questa può essere usata per la trisezione
dell'angolo. E come ha mostrato Luciano anche per la duplicazione del
cubo. Qualità che condivide entrambe con la concoide di Nicomede.
Luciano Buggio
> Sembra che radicale 004 abbia detto :
>
>
>
>
>
>
>
>
>
> > On 23 Mag, 08:35, Luciano Buggio <bugg...@libero.it> wrote:
>
> >> Si definisce l'uovo, un nuovo luogo geometrico.
>
> >> --------------------------
> >> Sia dato un cerchio di centro C e raggio R e siano O e O' gli estremi
> >> di un suo diametro. Tracciata per l'estremo O una qualunque corda OP,
> >> sia H la proiezione ortogonale di P sul diametro OO'.
> >> Facendo centro in O, si tracci l'arco di circonferenza di raggio OH
> >> fino ad intersecare la corda OP nel punto P', per avere .
> >> Si definisce "UOVO" il luogo dei punti P' che si ottengono nel modo
> >> indicato al muoversi del punto P lungo la circonferenza assegnata.
>
> > Interessante !
>
> > E ' possibile scriverla nella forma y = f(x), ovviamente con riguardo
> > alla sola parte superiore ?
>
> > O magari in riferimento polare verrebbe piu' semplice ?
>
> Metti il centro del sistema polare nel punto O. L'angolo POO' lo misuri
> 2 R cos(t). La proiezione sul raggio OH e misura 2Rcos(t)^2 dove R
> il raggio del cerchio. Di conseguenza le equazioni parametriche del
> luogo sono:
>
> x = 2Rcos^3(t)
> y = 2Rcos^2(t) sen(t)
Io preferirei riferire l'angolo all'asse verticale, per avere l'uovo
orizzontale.
Non è la stesa cosa?
Si parta quindi dall'equazione polare:
r = 2Rsen(t)^2
e dalle parametriche:
x = 2Rsen^3(t)
y = 2Rsen^2(t) cos(t)
C'è inoltre l'equazione cartesiana, cui Radicale 004 ha fatto
riferimento, che dà il mezzo uovo messo orizzontale - e anche per
omogeneità con questa, in tal caso necesaria, giacitura ho suggerito
il riferiemtno diverso di cui sopra:
[sqr(x^2+y^2)]^3 = 2Rx^2
Venendo al subyect.
Mi pare che questo luogo geometrico non sia stato studiato.
In ogni modo vi invito a cercare le sue proprietà:
Io ne ho trovate alcune molto interessanti.
La geometria è morta ai primi del '900.
Gli utimi suoi cultori credo siano stati Grandi Loria e Cresci, che
si chiamavano ancora Geometri, come Euclide, Nicomede e Pascal, anche
se si occupavano di foglie e fiori.
Oggi Geometri sono quelli del Comune che fanno i rilievi per il
Catasto.
Quando una cosa non ha più un nome (ovvero è scritto solo sulla sua
lapide) non esiste più
Ciao.
Luciano Buggio
Tetis
Guarda che come l'ho scritta sopra è già in orizzontale. Quello che
cambia è solo il verso di percorrenza. Io percorro l'uovo a partire dal
punto O' fino al punto O' in senso antiorario. La parametrizzazione:
x = 2Rsen^3(t)
y = 2Rsen^2(t) cos(t)
lo percorre dal punto O al punto O in verso orario. Un'altra
parametrizzazione equivalente è certamente:
x = 2Rsen^3(t+pi/2) = 2Rcos^3(t)
y = 2Rsen^2(t+pi/2) cos(t+pi/2)= -2Rcos^2(t)sen(t)
Se avessi voluto metter l'uovo in verticale avrei dovuto scrivere:
x(t) = sen^2(t)cos(t)
y(t) = sen^3(t).
Luciano Buggio
Scusa, hai ragione, sono stato troppo frettoloso.
Per il resto?
Luciano Buggio
Luciano Buggio
O
Consentimi però che quando si disegna un uovo viene spontaneo partire
dla polo maggiore, non da quello minore.
Ciò trova giustificazione nell'andamnento della curvatura del nostro
luogo geometrico, che è infinita al polo maggiore: lì la matita deve
"fermarsi", mentre vola sul polo monire.
Quindi, fissato l'asse verticale del riferimento polare, farei partire
il vettore r che spazza l'angolo t da quell'asse, con rotazione
oraria, in modo da avere (applicando la definizione data di luogo
geometrico), r=sent per la circnferenza base e poi il suo quadrato
per l'uovo..
Luciano Buggio.
Tetis
Se per questo a me viene spontaneo disegnare l'uovo all'impiedi e
tracciarlo in senso antiorario come quando scrivo le vocali chiuse.
> Ciò trova giustificazione nell'andamnento della curvatura del nostro
> luogo geometrico, che è infinita al polo maggiore: lì la matita deve
> "fermarsi", mentre vola sul polo monire.
quale convenzione rende un polo maggiore dell'altro?
> Quindi, fissato l'asse verticale del riferimento polare, farei partire
> il vettore r che spazza l'angolo t da quell'asse, con rotazione
> oraria, in modo da avere (applicando la definizione data di luogo
> geometrico), r=sent per la circnferenza base e poi il suo quadrato
> per l'uovo..
Per questo mi basta sostituire t con pi/2-t nelle formule che ho
scritto è solo un cambio di parametrizzazione.
> Luciano Buggio.
Luciano Buggio
> Luciano Buggio ha usato la sua tastiera per scrivere :
>
>
>
> > On 24 Mag, 22:09, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
> >> Luciano Buggio ha pensato forte :
(cut)
> > Consentimi però che quando si disegna un uovo viene spontaneo partire
> > dla polo maggiore, non da quello minore.
>
> Se per questo a me viene spontaneo disegnare l'uovo all'impiedi e
> tracciarlo in senso antiorario come quando scrivo le vocali chiuse.
Certo, a tutti viene spontaneo tracciare l'uovo, come qualsiasi altra
figura, in piedi: tracciare poi la linea in senso orario o antiorario
è questione di gusti o di educazione,
Ciò che io ho scritto però è che viene spontaneo disegnarlo partendo
dal polo con maggior curvatura, mentre tu, stranamentre, lo disegni
partendo dal polo di minore curvatura, è questo è assolutamntne
"innaturale": se tu dovessi disegnare una goccia d'acqua che si sta
staccando in senso orario o in senso antiorario che sia), non la
disegneresti a partire dalla "punta?
>
> > Ciò trova giustificazione nell'andamnento della curvatura del nostro
> > luogo geometrico, che è infinita al polo maggiore: lì la matita deve
> > "fermarsi", mentre vola sul polo monire.
>
> quale convenzione rende un polo maggiore dell'altro?
Siccome ho dovuto dare un nome ai poli, per differenziarli, ho deciso
(consigliato anche da un n matematico) di chiamare maggiore quello con
la curvatura maggiore.
Tutto qui, ma se non ti garba possiamo anche cambiare.
Non ha nessuna importanza.
Ma non ti incuriosisce la ricerca delle proprietà di questo
straoridinatio oggetto?
O ritieni che siano banali o comunque già note?
Su questo non ti sei ancora pronunciato.
Per esempio (ne butto lì una, così, per invogliarti....)
Si deduce dall'uovo il I teorema di Euclide.
Luciano Buggio
Tetis
> On 25 Mag, 18:56, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
>> Luciano Buggio ha usato la sua tastiera per scrivere :
>>
>
>>
>>
>>> On 24 Mag, 22:09, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
>>>> Luciano Buggio ha pensato forte :
>
> (cut)
>>> Consentimi però che quando si disegna un uovo viene spontaneo partire
>>> dla polo maggiore, non da quello minore.
>>
>> Se per questo a me viene spontaneo disegnare l'uovo all'impiedi e
>> tracciarlo in senso antiorario come quando scrivo le vocali chiuse.
> Ciò che io ho scritto però è che viene spontaneo disegnarlo partendo
> dal polo con maggior curvatura, mentre tu, stranamentre, lo disegni
> partendo dal polo di minore curvatura, è questo è assolutamntne
> "innaturale":
Mah, mi sembra più che naturale dal punto di vista logico-algebrico: lo
trovo comodo perché in questo modo R(0) = R_max.
Quindi posso scrivere:
R(t) = 2 R_0 cos^2(t).
comunque puoi anche scrivere:
R(t) = 2 R_max sen^2(t).
non ha nessuna importanza. Come non ha importanza se a quel punto
scrivi:
x(t) = R(t) cos(t)
y(t) = R(t) sen(t)
oppure:
y(t) = R(t) cos(t)
x(t) = R(t) sen(t)
quale che sia la scelta di R(t) sempre un doppio uovo ottieni. In un
caso è il primo ramo della concoide bilobata del quadrifoglio, quella
che si ottiene sommando il raggio R_0 alla curva R(t) = R(0) cos(2t),
Nell'altro caso ottieni il secondo ramo: quello che si ottiene
togliendo R_0 al raggio del quadrifoglio.
>>> Ciò trova giustificazione nell'andamnento della curvatura del nostro
>>> luogo geometrico, che è infinita al polo maggiore: lì la matita deve
>>> "fermarsi", mentre vola sul polo monire.
>>
>> quale convenzione rende un polo maggiore dell'altro?
>
> Siccome ho dovuto dare un nome ai poli, per differenziarli, ho deciso
> (consigliato anche da un n matematico) di chiamare maggiore quello con
> la curvatura maggiore.
> Tutto qui, ma se non ti garba possiamo anche cambiare.
> Non ha nessuna importanza.
>
> Ma non ti incuriosisce la ricerca delle proprietà di questo
> straoridinatio oggetto?
Io ne conosco una proprietà di questo oggetto che non mi sembra molto
nota. Se uno considera la schiera di doppie uova che si ottengono al
variare del raggio e traccio le curve che hanno la proprietà di essere
in ogni punto ortogonali ad una curva di quella schiera ottengo le
curve sestiche di equazione:
(x^2+y^2)^3=y^4
che sono chiamate anche sestiche a "dipolo". Nel senso che sono le
curve integrali del campo elettrico di un dipolo, si potrebbero anche
chiamare sestiche di Faraday perché suppongo sia stato Faraday uno dei
primi a tracciare queste nuove curve (le doppie uova invece erano note
in antichità come concoidi del quadrifoglio).
Una proprietà particolarissima di queste nuove curve, di Faraday,
diciamo, è che risultano il luogo per il quale a parità di area è
massimo il gradiente, in corrispondenza del polo, dell'integrale
dell'inverso della distanza. Senza presunzione penso di essere stato il
primo a riconoscere questo legame fra l'isopotenziale del dipolo e
questo difficile problema variazionale.
> O ritieni che siano banali o comunque già note?
> Su questo non ti sei ancora pronunciato.
> Per esempio (ne butto lì una, così, per invogliarti....)
>
> Si deduce dall'uovo il I teorema di Euclide.
Provo: R(t) cos(t) * R(t)/cos(t) = R(t)^2
Ma adesso R(t) cos(t)=x(t) è la proiezione del cateto sull'ipotenusa,
mentre R(t)/cos(t) è l'ipotenusa. Quindi il quadrato costruito su un
cateto è congruente al rettangolo che ha per lati l'ipotenusa e la
proiezione dello stesso cateto sull'ipotenusa.
> Luciano Buggio
Tetis
> Io ne conosco una proprietà di questo oggetto che non mi sembra molto nota.
> Se uno considera la schiera di doppie uova che si ottengono al variare del
> raggio e traccio le curve che hanno la proprietà di essere in ogni punto
> ortogonali ad una curva di quella schiera ottengo le curve sestiche di
> equazione:
>
> (x^2+y^2)^3=y^4
>
> che sono chiamate anche sestiche a "dipolo".
Rettifica: (x^2+y^2)^3 = y^2 se no sarebbe semplicemente il doppio uovo
all'impiedi!
Luciano Buggio
Interessante ciò che dici fin qui.
Io però mi votrei limitare alle proprietà dell'uovo (nel senso
proprio della definizone di luogo geometrico da me data, e
considerando solo la variazione dell'angolo da zero a pi.
> > O ritieni che siano banali o comunque già note?
> > Su questo non ti sei ancora pronunciato.
> > Per esempio (ne butto lì una, così, per invogliarti....)
>
> > Si deduce dall'uovo il I teorema di Euclide.
>
> Provo: R(t) cos(t) * R(t)/cos(t) = R(t)^2
>
> Ma adesso R(t) cos(t)=x(t) è la proiezione del cateto sull'ipotenusa,
> mentre R(t)/cos(t) è l'ipotenusa. Quindi il quadrato costruito su un
> cateto è congruente al rettangolo che ha per lati l'ipotenusa e la
> proiezione dello stesso cateto sull'ipotenusa.
Esatto.
Il teorema di Euclide si deduce più agevolmente che dalla definizione
di luogo geroemtrico che ho dato, da un'altra, equivalente, in cui le
operazioni di proiezione ortrogonale del punto P della circonferenza
base sul diametro e di suo riporto sulla corda OP sono invertite.
L'equivalente enunciato è questo:
-------------
Data la circonferenza base di diametro 2R, e tracciata la corda OP
uscente da O (quello che sarà il polo maggiore) , si riporti OP sul
diametro della circonferenza, ottenendo OP".
Si proietti poi OP" sulla corda stessa, ottenendo OP'..
Dicesi UOVO il luogo geometrico dei punti P' che si ottengono nel modo
indicato al muoversi del punto P lungo la circonferenza assegnata.
------------
Per costruzione quindi il triangolo OP'P" è rettangolo in P'
Sia OH la proiezione di OP' sull'ipotenusa OP".
Si può scrivere l'identità:
[2Rsen^2(t)]^2 = 2Rsen(t)*2Rsen^3(t) ----> 4Rsen^4(t) = 4Rsen^4(t)
Laddove si ha:
2Rsen^2(t) = OP' (il cateto)
2Rsen(t) = OP" (l'ipotenusa)
2Rsen^3(t) = OH (la proiezione del cateto sull'ipotenusa)
Credo che si possa dedurre dall'uovo anche il teorema di Pitagora (a
meno che non vi sia sotto una petizione di principio).
Secondo te si può?
Prova.
Luciano Buggio
Tetis
> Credo che si possa dedurre dall'uovo anche il teorema di Pitagora (a
> meno che non vi sia sotto una petizione di principio).
Quello per Euclide I è ovviamente un argomento circolare. Usi di fatto
la traduzione algebrica implicita nell'algebra trigonometrica per
dimostrare uno dei teoremi che sono a fondamento della trascrizione
algebrica del luogo geometrico. D'altra parte parlando di uova occorre
fare in modo che il riferimento al detto famoso non confonda le idee.
> Secondo te si può?
> Prova.
Ho appena dimostrato un'altra proprietà dell'uovo. (cioè dell'uovo non
del doppio uovo) esso rende massimo l'integrale della funzione:
x/(x^2+y^2)^(3/4)
Per un'area assegnata. Notevole che la proprietà senza modificare d'una
sola virgola la funzione integranda è verificata anche per il solido di
rotazione che si ottiene ruotando l' "uovo" piano intorno al proprio
asse in modo da ottenere l'uovo solido.
> Luciano Buggio
Luciano Buggio
> Luciano Buggio ci ha detto :
>
> > Credo che si possa dedurre dall'uovo anche il teorema di Pitagora (a
> > meno che non vi sia sotto una petizione di principio).
>
> Quello per Euclide I è ovviamente un argomento circolare. Usi di fatto
> la traduzione algebrica implicita nell'algebra trigonometrica per
> dimostrare uno dei teoremi che sono a fondamento della trascrizione
> algebrica del luogo geometrico.
Hai ragione. la circolarità vale anche per l'estrazione del teorema di
Euclide.
Lo sospettavo per quello di Pitagora, dato che nella semplificaizone
mi trovavo di fronte a un sen^t+cos^t= i in cui l'enunciato del
teorema era già espresso nei termini della'algebra trigonometrica.
uovo o non uovo.
> fare in modo che il riferimento al detto famoso non confonda le idee.
Scusa, non l'ho capita:-)
(cut)
> Ho appena dimostrato un'altra proprietà dell'uovo. (cioè dell'uovo non
> del doppio uovo) esso rende massimo l'integrale della funzione:
>
> x/(x^2+y^2)^(3/4)
>
> Per un'area assegnata.
Vedi come è interessante questo oggetto? Questa proprietà mi pare
notevole!
E chissà quant'altre sono ancora da scoprire.
Io ne ho trovare solo alcune ( e magari, vedi Euclide e Pitagora, non
di rilievo: ma le soluzioni già viste dei 3 problemi classici sono
proprio banali e da buttare?).
> Notevole che la proprietà senza modificare d'una
> sola virgola la funzione integranda è verificata anche per il solido di
> rotazione che si ottiene ruotando l' "uovo" piano intorno al proprio
> asse in modo da ottenere l'uovo solido.
Il volume dell'uovo solido è 16/21*pi*R^3, cioè 4/7 di quello della
sfera base.
Hai calcolato la superficie laterale?
Luciano Buggio
Tetis
Confermo.
> Hai calcolato la superficie laterale?
Penso di si. E' meno della superficie della sfera ma il fattore è un
poco più grande di 4/7, ma lascio a te dire quanto vale.
> Luciano Buggio
Tetis
Ti dico solo che è una frazione intera.
Tetis
una frazione di interi, non intera.
Luciano Buggio
> Luciano Buggio ha spiegato il 5/27/2011 :
>
>
>
>
>
>
>
>
>
> > On 27 Mag, 19:14, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
> >> Luciano Buggio ci ha detto :
>
> >>> Credo che si possa dedurre dall'uovo anche il teorema di Pitagora (a
> >>> meno che non vi sia sotto una petizione di principio).
>
> >> la traduzione algebrica implicita nell'algebra trigonometrica per
> >> dimostrare uno dei teoremi che sono a fondamento della trascrizione
> >> algebrica del luogo geometrico.
>
> > Euclide.
> > Lo sospettavo per quello di Pitagora, dato che nella semplificaizone
> > mi trovavo di fronte a un sen^t+cos^t= i in cui l'enunciato del
> > uovo o non uovo.
>
> >> fare in modo che il riferimento al detto famoso non confonda le idee.
>
> > Scusa, non l'ho capita:-)
>
> > (cut)
> >> del doppio uovo) esso rende massimo l'integrale della funzione:
>
> >> x/(x^2+y^2)^(3/4)
>
> >> Per un'area assegnata.
>
> > notevole!
> > E chiss quant'altre sono ancora da scoprire.
> > Io ne ho trovare solo alcune ( e magari, vedi Euclide e Pitagora, non
> > proprio banali e da buttare?).
>
> >> sola virgola la funzione integranda verificata anche per il solido di
> >> rotazione che si ottiene ruotando l' "uovo" piano intorno al proprio
> >> asse in modo da ottenere l'uovo solido.
>
> > sfera base.
>
> Confermo.
>
> > Hai calcolato la superficie laterale?
>
> poco pi grande di 4/7, ma lascio a te dire quanto vale.
376/135 pi R^2
94/135 della superficie della sfera base (in effetti un po' più di
4/7)
Giusto?
Ci vogliamo ora dedicare (se non hai altre idee) al rapporto notevole
che l'uovo ha con ciascuno dei primi 5 poligoni regolari?
Luciano Buggio
Tetis
Vero più che giusto.
> Ci vogliamo ora dedicare (se non hai altre idee) al rapporto notevole
> che l'uovo ha con ciascuno dei primi 5 poligoni regolari?
Per gradi. Prima una domanda più semplice. L'area dell'uovo (curva
algebrica piana) è 3/4 dell'area del cerchio. Ma quanto è "largo"
l'uovo rispetto al cerchio? Questo è un incommensurabile che coinvolge
la diagonale del quadrato e l'altezza del triangolo equilatero. Sai
dire quanto vale?
> Luciano Buggio
Luciano Buggio
L'asse minore dell'uovo è 8/3*(1/sqr3)*R
L'espressione che coinvolge anche la diagonale del quadrato (cioè
sqr2) è quella dell'ascissa del centro assiale, che vale:
[(4sqr2)/(3sqr3)]*R
Luciano Buggio
Tetis
>> Luciano Buggio ha usato la sua tastiera per scrivere :
> L'asse minore dell'uovo è 8/3*(1/sqr3)*R
>
> L'espressione che coinvolge anche la diagonale del quadrato (cioè
> sqr2) è quella dell'ascissa del centro assiale, che vale:
>
> [(4sqr2)/(3sqr3)]*R
>
> Luciano Buggio
Esatto, ed il punto in questione si può costruire il questo modo: si
divide l'asse in tre parti uguali, quindi con centro nel polo a
curvatura infinita si traccia un arco di circonferenza di raggio pari a
due delle parti ottenute fino ad intersecare la curva nel suo punto più
alto.
I prossimi problemini che ti pongo sono quelli di risolvere trovare il
lato di un cubo di volume rispettivamente pari a 28 e 49 volte il cubo
dell'asse maggiore. Riesci già a vedere a quale costruzione, lungamente
invano ambita dai geometri per mezzo dell'uso di solo riga e compasso,
ti permette di giungere la produzione di queste due costruzioni?
Luciano Buggio
Non capisco il criterio che vuoi adottare nel procedere.
Questo problema ha a che fare con quello che qui si sta dicendo (con
l'ingombro laterale dell'uovo?
Inoltre avevi scritto, ieri o latro ieri, che prima di considerare i
rapporti notevoli tra tra uovo e ciascuno dei primi quattro poligoni
regolari, da me proposto, mi ponevi tu un calcolo (quello della misura
dell'asse minore)
Ora questo l'abbiamo fatto.
Che cosa tocca ora, secondo la scaletta?
Non è perchè il problema dei cubi di volume 28 e 49 magari io non lo
so risolvere; è una questione di ordine.
Luciano Buggio
Tetis
> rapporti notevoli tra tra uovo e ciascuno dei primi quattro poligoni
> regolari, da me proposto, mi ponevi tu un calcolo (quello della misura
> dell'asse minore)
> Ora questo l'abbiamo fatto.
> Che cosa tocca ora, secondo la scaletta?
E' solo un'altra costruzione che come la prima ha a che fare con la
relazione fra l'uovo ed i poligoni regolari, ma una volta affrontata
fornisce la chiave d'accesso ad un'ampia classe di problemi
inaccessibili alla riga ed al compasso.
> Non è perchè il problema dei cubi di volume 28 e 49 magari io non lo
> so risolvere; è una questione di ordine.
Scommetto al contrario che sia un problema alla tua portata.
> Luciano Buggio
Luciano Buggio
> Luciano Buggio scriveva il 5/29/2011 :
>
> > On 29 Mag, 04:00, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
> >> Luciano Buggio ha pensato forte :
>
> > avevi scritto, ieri o latro ieri, che prima di considerare i
> > rapporti notevoli tra tra uovo e ciascuno dei primi quattro poligoni
> > regolari, da me proposto, mi ponevi tu un calcolo (quello della misura
> > dell'asse minore)
> > Ora questo l'abbiamo fatto.
> > Che cosa tocca ora, secondo la scaletta?
>
> E' solo un'altra costruzione che come la prima ha a che fare con la
> relazione fra l'uovo ed i poligoni regolari, ma una volta affrontata
> fornisce la chiave d'accesso ad un'ampia classe di problemi
> inaccessibili alla riga ed al compasso.
Appunto (se ti riferisce a quella faccenda degli irrazionali sqr2 ed
sqr3) e per questo ho risposto a quella tua domanda, che era legata
all amia.
Ma che cosa c'entrano con questo i cubi n volte più voluminosi?
Perchè non parlaimno dei poligoni regolari?
>
> > Non è perchè il problema dei cubi di volume 28 e 49 magari io non lo
> > so risolvere; è una questione di ordine.
>
> Scommetto al contrario che sia un problema alla tua portata.
Forse, ma forse anche no, non ci ho voluto pensare.
Non capisco perchè dobbiamo parlare di questo, che non c'entra nulla
con quanto si stava dicendo..
Nel corso di questo thread hai quasi sempre deciso tu di che cosa
parlare, ed ho fatto fatica, all'inizio, quando sei intervenuto
parlando di altri luoghi geometrici e di altre cose e funzioni, con
altri domini ed altri parametri, a farti restare nel tema dell'uovo
zero pigreco, secondo l'oggetto, ed alla maggior parte delle questioni
che ti ho posto non hai risposto, deviando altrove.
Perchè non parliamo allora dei poligoni regolari, secondo la scaletta
che tu hai accettato (quando hai detto" **prima però*** vediamo gli
irrazionali")?
E poi, perchè le soluzioni le devo sempre dare io?
Che cosa mi devo ritenere, un cagnolino?
Dilla tu la soluzione del problema 28 e 49, senò sembra che solo io
sono bravo, così poi passiamo ad altro.
Luciano Buggio
Tetis
> On 29 Mag, 14:44, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
>> Scommetto al contrario che sia un problema alla tua portata.
>
> Forse, ma forse anche no, non ci ho voluto pensare.
> Non capisco perchè dobbiamo parlare di questo, che non c'entra nulla
> con quanto si stava dicendo..
C'entra, garantisco, con i poligoni regolari. Mentre fino all'esagono
le costruzioni sono alla portata di riga e compasso non è così per
l'eptagono, ma l'uovo permette di costruire anche l'eptagono.
> Dilla tu la soluzione del problema 28 e 49, senò sembra che solo io
> sono bravo, così poi passiamo ad altro.
Vediamo se riesco a spiegare. In primo luogo si traccia un segmento
pari a 7 diametri, questo lo si dimezza quattro volte consecutive fino
ad ottenere un segmento lungo 28/64. L'ascissa di questo punto sarà
cos^3(theta)xD. Dove D è l'asse maggiore. Adesso viene innalzato,
dall'estremo del segmento, una perpendicolare fino ad intersecare il
luogo in esame. La distanza di questo punto dal polo maggiore viene ora
riportata lungo l'asse maggiore e dal punto ottenuto si innalza una
nuova perpendicolare fino alla circonferenza che ha l'asse maggiore
come diametro. La distanza dal polo maggiore sarà la radice cercata.
Per il 49 la costruzione è identica.
Una volta ottenuto questo occorre costruire un triangolo equilatero che
ha per altezza il diametro del luogo. Riportando il semilato di questo
triangolo lungo l'asse a partire dal polo maggiore si innalza il punto
ottenuto fino alla circonferenza che ha per diametro il luogo. Il
segmento che congiunge il polo maggiore con questo punto interseca il
luogo in esame in un punto la cui proiezione sull'asse maggiore è lunga
1/(3)^(3/2). Dall'estremo di questo punto si innalza, ortogonalmente
all'asse, un segmento lungo come il diametro. Si triseca l'angolo
ottenuto (con la costruzione che tu sai) e si riporta adesso lungo
questo segmento la radice cubica di 28 che si era già prima costruita.
Quello che si ottiene è la rappresentazione sul piano di Argand del
numero complesso:
[1+i x 3^(3/2)]^(1/3)
a questo punto mancano due costruzioni geometriche elementari che si
conducono con riga e compasso senza più l'ausilio dell'uovo per
ottenere il lato dell'eptagono.
> Luciano Buggio
Dalet
>C'entra, garantisco, con i poligoni regolari. Mentre fino all'esagono
>le costruzioni sono alla portata di riga e compasso non è così per
>l'eptagono, ma l'uovo permette di costruire anche l'eptagono.
Devi cercare in rete, facilmente trovi, perche' li puoi fare
di quanti lati ti pare.
(ma come non detto se non c'entra nulla con quel che dici,
perche' ho letto solo qualche riga eh)
--
Saluti, Dalet
Tetis
Non so decidere se c'entra o no. Con quali strumenti intendi?
Dalet
>Dalet ha usato la sua tastiera per scrivere :
>>Il 29-05-2011, Tetis dice:
>>>C'entra, garantisco, con i poligoni regolari. Mentre fino all'esagono
>>>le costruzioni sono alla portata di riga e compasso non è così per
>>>l'eptagono, ma l'uovo permette di costruire anche l'eptagono.
>>Devi cercare in rete, facilmente trovi, perche' li puoi fare
>>di quanti lati ti pare.
>>(ma come non detto se non c'entra nulla con quel che dici,
>>perche' ho letto solo qualche riga eh)
>Non so decidere se c'entra o no. Con quali strumenti intendi?
Riga e compasso.
--
Saluti, Dalet
Luciano Buggio
> Nel suo scritto precedente, Luciano Buggio ha sostenuto :
>
> > On 29 Mag, 14:44, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
> >> Scommetto al contrario che sia un problema alla tua portata.
>
> > Forse, ma forse anche no, non ci ho voluto pensare.
> > Non capisco perchè dobbiamo parlare di questo, che non c'entra nulla
> > con quanto si stava dicendo..
>
> C'entra, garantisco, con i poligoni regolari. Mentre fino all'esagono
> le costruzioni sono alla portata di riga e compasso non è così per
> l'eptagono,
Scusa, non l'avevo capito (e mi pareva impossibile, visto che riducevo
il campo dei poligoni alle due dimensioni del piano)
Comunque non mi risuta quanto dici dell'eptagono..
Ricordo che alle scuole medie (negli anni ' 60) ci facevano disegnare
con riga e compasso anche l'ettagono.
> ma l'uovo permette di costruire anche l'eptagono.
La cosa cosa mi fa molto piacere, ma credo che l'uovo non abbia
bisogno di essere sovravalutato avvilendo i concorrenti:
Se con l'uovo si fa tutto, non è detto che altri operatori (per
esempio riga e compasso) siano del tutto inefficienti.
>
> > Dilla tu la soluzione del problema 28 e 49, senò sembra che solo io
> > sono bravo, così poi passiamo ad altro.
>
> Vediamo se riesco a spiegare. In primo luogo si traccia un segmento
> pari a 7 diametri, questo lo si dimezza quattro volte consecutive fino
> ad ottenere un segmento lungo 28/64. L'ascissa di questo punto sarà
> cos^3(theta)xD. Dove D è l'asse maggiore. Adesso viene innalzato,
> dall'estremo del segmento, una perpendicolare fino ad intersecare il
> luogo in esame. La distanza di questo punto dal polo maggiore viene ora
> riportata lungo l'asse maggiore e dal punto ottenuto si innalza una
> nuova perpendicolare fino alla circonferenza che ha l'asse maggiore
> come diametro. La distanza dal polo maggiore sarà la radice cercata.
>
> Per il 49 la costruzione è identica.
Non credo che ci sarei arrivato.
>
> Una volta ottenuto questo occorre costruire un triangolo equilatero che
> ha per altezza il diametro del luogo. Riportando il semilato di questo
> triangolo lungo l'asse a partire dal polo maggiore si innalza il punto
> ottenuto fino alla circonferenza che ha per diametro il luogo. Il
> segmento che congiunge il polo maggiore con questo punto interseca il
> luogo in esame in un punto la cui proiezione sull'asse maggiore è lunga
> 1/(3)^(3/2). Dall'estremo di questo punto si innalza, ortogonalmente
> all'asse, un segmento lungo come il diametro. Si triseca l'angolo
> ottenuto (con la costruzione che tu sai) e si riporta adesso lungo
> questo segmento la radice cubica di 28 che si era già prima costruita.
> Quello che si ottiene è la rappresentazione sul piano di Argand del
> numero complesso:
>
> [1+i x 3^(3/2)]^(1/3)
>
> a questo punto mancano due costruzioni geometriche elementari che si
> conducono con riga e compasso senza più l'ausilio dell'uovo per
> ottenere il lato dell'eptagono.
A maggior ragione non credo che sarei arrivato a questo.
Figurati che ho la sensazione che non arriverei nemmeno a ricostruire
le operazioni con riga e compasso per disegnare l'ettagono delle scule
medie: ricordo che la cosa era piuttosto complessa.
Mi complimento con te, sincerametne, sei un geniaccio
dell'immaginazione geometrica e matematica:-)
Io so e so fare poche cose, e nella ricerca sull'uovo, negli anni
'90, sono stato aiutato da un matematico, per i calcoli più difficili.
Le operazioni richieste dal tema che io proponevo (l'uovo e i quattro
pirmi poligoni regolari) sono in confronto semplicissime, ma i
rapporti assai interessanti, proprio per questa loro semplicità.
Vuoi che ne parliamo?
Luciano Buggio
Tetis
E' vero, ma io ero molto accurato e rimanevo sempre insoddisfatto della
costruzione dell'eptagono che infatti è approssimata. Se provi a
disegnarla abbastanza in grande ed hai l'occhio abbastanza buono ti
accorgi che non si chiude mai. Invece disponendo di una concoide di
quadrifoglio lo si costruisce in modo esatto e si può fare anche a meno
di usar i dischi e/o altre rodonee per trisecare l'angolo. D'altra
parte ogni curva che permette la duplicazione del cubo permette la
trisezione di qualsiasi angolo.
> A maggior ragione non credo che sarei arrivato a questo.
>
> Figurati che ho la sensazione che non arriverei nemmeno a ricostruire
> le operazioni con riga e compasso per disegnare l'ettagono delle scule
> medie: ricordo che la cosa era piuttosto complessa.
>
> Mi complimento con te, sincerametne, sei un geniaccio
> dell'immaginazione geometrica e matematica:-)
> Io so e so fare poche cose, e nella ricerca sull'uovo, negli anni
> '90, sono stato aiutato da un matematico, per i calcoli più difficili.
>
> Le operazioni richieste dal tema che io proponevo (l'uovo e i quattro
> pirmi poligoni regolari) sono in confronto semplicissime, ma i
> rapporti assai interessanti, proprio per questa loro semplicità.
> Vuoi che ne parliamo?
Si, avevo già intenzione, chiudendo la mail sull'eptagono, di darti
voce su queste costruzioni.
> Luciano Buggio
Tetis
> Il 29-05-2011, Tetis dice:
>> Non so decidere se c'entra o no. Con quali strumenti intendi?
>
> Riga e compasso.
Solamente approssimate, però. E' dimostrato che per l'eptagono,
l'undecagono ed il 13-agono i campi algebrici richiesti esulano dai
campi costruibili con riga e compasso.
Luciano Buggio
(cut)
> E' vero, ma io ero molto accurato e rimanevo sempre insoddisfatto della
> costruzione dell'eptagono che infatti è approssimata. Se provi a
> disegnarla abbastanza in grande ed hai l'occhio abbastanza buono ti
> accorgi che non si chiude mai
(cut)
Evinco (anche se non risulta dalla tua quotazione) che questo tu dica
a proposito della costruzione dell'ettagono con riga e compasso. Lo
conferma anche la rispota che hai dato a Dalet.
la cosa mi lascia molto perplesso.
Ho trovato or ora un vecchio testo di geometria in cui si insegna a
disegnare tutti i poligoni regolari inscritti nella cirocnferenza.
Contrariamente a quanto ricordavo (a scuola devo essere staro uno
zuccone), la costruzione dell'ettagono è di una semplicità disarmante.
Il lato dell'ettagono è metà della corda perpendicolare nel suo punto
medio ad un raggio della circonferenza.
Questo quindi e falso, è solo una approssimnazione per architetti (o
per geometri nel senso di quelli del Comune:-)?
La cosa sarebbe molto grave, perchè non non viene specificato in
nessun luogo che si tratta di una approssimazione.
(cut)
> > Le operazioni richieste dal tema che io proponevo (l'uovo e i quattro
> > pirmi poligoni regolari) sono in confronto semplicissime, ma i
> > rapporti assai interessanti, proprio per questa loro semplicità.
> > Vuoi che ne parliamo?
>
> Si, avevo già intenzione, chiudendo la mail sull'eptagono, di darti
> voce su queste costruzioni.
Bella la relazione più diretta tra quadrato e uovo.
Il lato del quadrato "iscritto" nell'uovo (cioè avente i vertici uno
sul polo maggiore, quello opposto libero, sull'asse maggiore, e gli
altri due sull'uovo) è uguale al semiasse maggiore dell'uovo.
Questo rapporto con l'uovo si deduce anche da quello che ho chiamato
"teorema dei triangoli simili", questo:
--------------------------
Si considerino due punti A e B dell'asse maggiore dell'uovo alla
stessa distanza dal punto medio C di esso, cioè simmetrici rispetto al
centro, e si riportino, puntando il compasso nel polo maggiore O,
sull'uovo rispettivamente in P' e P". Si proiettino P' e P" sull'asse
maggiore, individuando H' e H" e quindi due triangoli rettangoli H'P'O
e H"P"O.
I triangoli rettangoli così costruiti sono simili
------------------------
Infatti, il rettangolo isoscele (un quarto del quadrato), è, nello
schema del teorema, in coppia con se stesso in quanto termine di
convergenza delle due serie al tendere dei due punti A e B a C.
Luciano Buggio
Luciano Buggio
(cut)
>
> Questo rapporto con l'uovo si deduce anche da quello che ho chiamato
> "teorema dei triangoli simili", questo:
Più precisametne: "dei triangoli rettangoli simili"
>
> --------------------------
> Si considerino due punti A e B dell'asse maggiore dell'uovo alla
> stessa distanza dal punto medio C di esso, cioè simmetrici rispetto al
> centro, e si riportino, puntando il compasso nel polo maggiore O,
> sull'uovo rispettivamente in P' e P". Si proiettino P' e P" sull'asse
> maggiore, individuando H' e H" e quindi due triangoli rettangoli H'P'O
> e H"P"O.
> I triangoli rettangoli così costruiti sono simili
> ------------------------
(cut)
> Luciano Buggio
El Filibustero
>la cosa mi lascia molto perplesso.
>Ho trovato or ora un vecchio testo di geometria in cui si insegna a
>disegnare tutti i poligoni regolari inscritti nella cirocnferenza.
>Contrariamente a quanto ricordavo (a scuola devo essere staro uno
>zuccone), la costruzione dell'ettagono è di una semplicità disarmante.
>Il lato dell'ettagono è metà della corda perpendicolare nel suo punto
>medio ad un raggio della circonferenza.
La famosa costruzione dell'ettagono regolare presentata sui testi di
Disegno e' una costruzione splendidamente approssimata, basata sulla
coincidenza che 2*sin(pi/7) differisce da sqrt(3)/2 per meno del 2 per
1000: margine di errore ampiamente superato anche dal migliore strumento
grafico. Ciao
Tetis
> Evinco (anche se non risulta dalla tua quotazione) che questo tu dica
> a proposito della costruzione dell'ettagono con riga e compasso.
Si mi riferivo a quella l'errore è di 1/10 di grado sessagesimale
circa, per un raggio di 10 cm si traduce in quasi 2 decimi di
millimetro che si apprezzano benissimo con l'occhio di un sedicenne.
la costruzione dell'ettagono è di una semplicità disarmante.
> Il lato dell'ettagono è metà della corda perpendicolare nel suo punto
> medio ad un raggio della circonferenza.
Esatto, è semplice, ma ne esistono di più semplici. Pensa all'esagono.
Comunque puoi fare tu stesso il calcolo. La semicorda che dici è
l'altezza del triangolo equilatero di lato il raggio è quindi:
0.866025
il doppio del seno di Pi/7 è invece:
0.867767
con raggio 10 cm vai ad una differenza di quasi 2 decimi di millimetro.
> Questo quindi e falso, è solo una approssimnazione per architetti (o
> per geometri nel senso di quelli del Comune:-)?
Ma figurati se con AutoCad approssimano :-)
> La cosa sarebbe molto grave, perchè non non viene specificato in
> nessun luogo che si tratta di una approssimazione.
Devo andare a controllare ma mi pare di avere un testo che evidenzia la
cosa.
> (cut)
>>> Le operazioni richieste dal tema che io proponevo (l'uovo e i quattro
>>> pirmi poligoni regolari) sono in confronto semplicissime, ma i
>>> rapporti assai interessanti, proprio per questa loro semplicità.
>>> Vuoi che ne parliamo?
>>
>> Si, avevo già intenzione, chiudendo la mail sull'eptagono, di darti
>> voce su queste costruzioni.
>
> Bella la relazione più diretta tra quadrato e uovo.
>
> Il lato del quadrato "iscritto" nell'uovo (cioè avente i vertici uno
> sul polo maggiore, quello opposto libero, sull'asse maggiore, e gli
> altri due sull'uovo) è uguale al semiasse maggiore dell'uovo.
Vero.
> Questo rapporto con l'uovo si deduce anche da quello che ho chiamato
> "teorema dei triangoli simili", questo:
>
> --------------------------
> Si considerino due punti A e B dell'asse maggiore dell'uovo alla
> stessa distanza dal punto medio C di esso, cioè simmetrici rispetto al
> centro, e si riportino, puntando il compasso nel polo maggiore O,
> sull'uovo rispettivamente in P' e P". Si proiettino P' e P" sull'asse
> maggiore, individuando H' e H" e quindi due triangoli rettangoli H'P'O
> e H"P"O.
> I triangoli rettangoli così costruiti sono simili
> ------------------------
Più precisamente l'angolo P'H'O è uguale all'angolo H''OP''. E
viceversa l'angolo P'OH' è uguale a P''H''O.
> Infatti, il rettangolo isoscele (un quarto del quadrato), è, nello
> schema del teorema, in coppia con se stesso in quanto termine di
> convergenza delle due serie al tendere dei due punti A e B a C.
>
> Luciano Buggio
Analogamente per costruire il triangolo equilatero inscritto nell'uovo
si considerarà il punto medio fra il centro dell'asse ed il polo minore
e lo si riporta sul luogo. No?
Luciano Buggio
> Luciano Buggio ci ha detto :
>
> > Evinco (anche se non risulta dalla tua quotazione) che questo tu dica
> > a proposito della costruzione dell'ettagono con riga e compasso.
>
> circa, per un raggio di 10 cm si traduce in quasi 2 decimi di
> millimetro che si apprezzano benissimo con l'occhio di un sedicenne.
>
>
> > Il lato dell'ettagono met della corda perpendicolare nel suo punto
> > medio ad un raggio della circonferenza.
>
> Comunque puoi fare tu stesso il calcolo. La semicorda che dici
>
> 0.866025
>
> il doppio del seno di Pi/7 invece:
>
> 0.867767
>
> con raggio 10 cm vai ad una differenza di quasi 2 decimi di millimetro.
>
> > per geometri nel senso di quelli del Comune:-)?
>
> Ma figurati se con AutoCad approssimano :-)
>
> > nessun luogo che si tratta di una approssimazione.
>
> Devo andare a controllare ma mi pare di avere un testo che evidenzia la
> cosa.
Perfetto.
Ora mi è tutto chiaro, grazie anche a El Filibustero
>
(cut)
>
> > Bella la relazione più diretta tra quadrato e uovo.
(cut)
>
> Analogamente per costruire il triangolo equilatero inscritto nell'uovo
> si considera il punto medio fra il centro dell'asse ed il polo minore
> e lo si riporta sul luogo. No?
Esatto.
per t=pi/3 ---> 2Rsen^2(t) = 3/2*R
Questo per il triangolo equilatero inscritto.
Invece il triangolo equilatero avente un vertice in O e altezza uguale
all'asse maggiore (quindi tangente nel polo minore) ha il lato uguale
ad una volta e mezza l'asse minore.
Non mi sono mai occupato (mi è venuto in mente ora) del triangolo
equilatero circoscritto all'uovo (tangente esternamente in tre punti,
con altezza allineata all'asse maggiore e un vertice dalla parte del
polo maggiore).
Che abbia anche questo un rapporto notevole con il luogo?
Credo che sia un problema difficilotto..almeno per me (e forse a suo
tempo l'ho considerato, ma ho poi rinunciato).
Luciano Buggio
Dalet
>La famosa costruzione dell'ettagono regolare presentata sui testi di
>Disegno e' una costruzione splendidamente approssimata, basata sulla
>coincidenza che 2*sin(pi/7) differisce da sqrt(3)/2 per meno del 2 per
>1000: margine di errore ampiamente superato anche dal migliore strumento
>grafico. Ciao
So che ti piace assai la geometria vera, io sono anche molto
arrugginito.. se ti va mi diresti:
-- se le seguente e' quella di cui parli;
-- in cosa e' approssimata, perche' l'ho ritenuta sempre
come esatta (e questa e' la dimo che m'interesserebbe TIA).
1. AB e CD due diametri perpendicolari.
2. Con centro in B, apertura d'un diametro, costruisco E
sul prolungamento esterno di OD (ovvio: O e' il centro).
3. Costruisco F su AB distante da A 2/7 del diametro.
4. Costruisco G sull'arco AD (il minore) come intersezione
della retta per EF.
5. La corda AG e' lato - approssimato, e' la tesi - del
richiesto 7-agono.
N.B. Se non ricordo male, vale per qualsiasi numero di lati.
--
Saluti, Dalet
Tetis
>> Analogamente per costruire il triangolo equilatero inscritto nell'uovo
>> si considera il punto medio fra il centro dell'asse ed il polo minore
>> e lo si riporta sul luogo. No?
>
> Esatto.
> per t=pi/3 ---> 2Rsen^2(t) = 3/2*R
>
> Questo per il triangolo equilatero inscritto.
>
> Invece il triangolo equilatero avente un vertice in O e altezza uguale
> all'asse maggiore (quindi tangente nel polo minore) ha il lato uguale
> ad una volta e mezza l'asse minore.
Vero.
> Non mi sono mai occupato (mi è venuto in mente ora) del triangolo
> equilatero circoscritto all'uovo (tangente esternamente in tre punti,
> con altezza allineata all'asse maggiore e un vertice dalla parte del
> polo maggiore).
> Che abbia anche questo un rapporto notevole con il luogo?
> Credo che sia un problema difficilotto..almeno per me (e forse a suo
> tempo l'ho considerato, ma ho poi rinunciato).
Il la distanza del punto di tangenza dal polo maggiore è pari a:
3/4 - (1/2)(11/12)^1/2
del raggio.
per costruire questo punto si considera il punto del luogo che dista
dal polo maggiore gli 11/12 del diametro quindi lo si prolunga fino
alla circonferenza che ha per diametro l'asse maggiore, ottenendo il
punto A.
Dopo aver prolungato il diametro dalla parte del polo minore si traccia
un punto B che dista da questo quanto il centro dell'asse maggiore.
Il segmento ottenuto in precedenza OA lo si riporta a partire dal punto
B verso il polo maggiore. Individuando un punto C. Il segmento OC si
traccia il punto D che è il centro del segmento OC, quindi il punto E
che il punto medio del segmento OD e con centro in O si riporta il
segmento OE fino ad individuare il punto F del luogo.
Adesso si utilizza la costruzione di prima per il triangolo equilatero
interno all'uovo. Tracciando per la parallela al suo lato obliquo
superiore...
Il seguito è ovvio.
> Luciano Buggio
Enrico Gregorio
Un poligono regolare con numero primo q di lati è costruibile
se e solo se q = 2^(2^n) + 1, cioè q è un primo di Fermat.
Gauss ha dimostrato la possibilità per q = 17, generalizzando
poi ai primi di Fermat. Più tardi Wantzel ha chiuso la faccenda
dimostrando che il punto di coordinate (a,b) è costruibile con
riga e compasso solo se a+bi è algebrico sui razionali e il
suo polinomio minimo ha grado una potenza di 2.
Per costruire il poligono di q lati devi evidentemente
costruire il numero complesso cos(2pi/p) + i sin(2pi/p),
il cui polinomio minimo è
x^(q-1) + x^(q-2) + ... + x + 1
(è noto che si tratta di un polinomio irriducibile, se
q è primo): dunque la condizione necessaria data da Wantzel
dice che solo i primi di Fermat danno poligoni costruibili
con riga e compasso; la costruzione c'è, con la tecnica
di Gauss.
Gli unici primi di Fermat noti sono 3, 5, 17, 257 e 65537.
Wantzel pubblicò il suo risultato nel 1836; Gauss scoprì
la costruzione dell'eptadecagono prima di iscriversi
all'università e pare che questa scoperta abbia influito
sulla scelta tra matematica e filologia.
Naturalmente nessuno che dovesse disegnare un poligono
di 17 lati per un progetto architettonico userebbe la
riga e il compasso. Non li userebbe nemmeno per un
triangolo equilatero, a dire il vero: un buon goniometro
dà risultati superiori.
Ciao
Enrico
Dalet
[.........]
>Un poligono regolare con numero primo q di lati è costruibile
[......]
THX!! e adesso che me lo dici in questo modo un pochetto
qualcosa mi torna pure in mente, di nuovo molte grazie!
(sai le costruzioni le avevo fatte meglio alle medie che
al liceo - ricordo e non ricordo, e poi non collegavo)
--
Saluti, Dalet
Enrico Gregorio
> Il 30-05-2011, Enrico Gregorio dice:
>
> [.........]
> >Un poligono regolare con numero primo q di lati è costruibile
> [......]
>
> THX!! e adesso che me lo dici in questo modo un pochetto
> qualcosa mi torna pure in mente, di nuovo molte grazie!
>
> (sai le costruzioni le avevo fatte meglio alle medie che
> al liceo - ricordo e non ricordo, e poi non collegavo)
È costruibile anche il pentadecagono. In effetti si dimostra
che sono costruibili con riga e compasso tutti e soli i poligoni
regolari il cui numero di lati sia 2^k per un prodotto di primi
di Fermat distinti.
Per esempio, è costruibile il poligono di 51 lati, ma non quello
di 50.
Rimane ancora da sapere se esistono primi di Fermat oltre a
quelli citati.
Ciao
Enrico
El Filibustero
>>La famosa costruzione dell'ettagono regolare presentata sui testi di
>>Disegno e' una costruzione splendidamente approssimata, basata sulla
>>coincidenza che 2*sin(pi/7) differisce da sqrt(3)/2 per meno del 2 per
>>1000: margine di errore ampiamente superato anche dal migliore strumento
>>grafico. Ciao
>
>So che ti piace assai la geometria vera, io sono anche molto
>arrugginito.. se ti va mi diresti:
>-- se le seguente e' quella di cui parli;
No. E' quella detta da Buggio: lato del 7-agono inscritto =~ altezza
triangolo equilatero di lato pari al raggio.
>-- in cosa e' approssimata, perche' l'ho ritenuta sempre
>come esatta (e questa e' la dimo che m'interesserebbe TIA).
>
>1. AB e CD due diametri perpendicolari.
>2. Con centro in B, apertura d'un diametro, costruisco E
>sul prolungamento esterno di OD (ovvio: O e' il centro).
>3. Costruisco F su AB distante da A 2/7 del diametro.
>4. Costruisco G sull'arco AD (il minore) come intersezione
>della retta per EF.
>5. La corda AG e' lato - approssimato, e' la tesi - del
>richiesto 7-agono.
>N.B. Se non ricordo male, vale per qualsiasi numero di lati.
Cosi' come l'hai detta, non funziona: se n-->infinito, AG verrebbe il lato
dell'esagono regolare. Ma qualcosa di buono in quella costruzione c'e',
perche' angolo(OGE)-angolo(GEO)-pi/2, ossia
arcsin(sqrt(3)*sin(arctan((n-4)/(n*sqrt(3)))))+arctan((n-4)/(n*sqrt(3)))-pi/2
e' una valida approssimazione di 2pi/n per n non troppo alti, senz'altro
accettabile in un grafico anche di ottima qualita'. Ciao
El Filibustero
>>La famosa costruzione dell'ettagono regolare presentata sui testi di
>>Disegno e' una costruzione splendidamente approssimata, basata sulla
>>coincidenza che 2*sin(pi/7) differisce da sqrt(3)/2 per meno del 2 per
>>1000: margine di errore ampiamente superato anche dal migliore strumento
>>grafico. Ciao
>
>So che ti piace assai la geometria vera, io sono anche molto
>arrugginito.. se ti va mi diresti:
>-- se le seguente e' quella di cui parli;
No. E' quella detta da Buggio: lato del 7-agono inscritto =~ altezza
triangolo equilatero di lato pari al raggio.
>-- in cosa e' approssimata, perche' l'ho ritenuta sempre
>come esatta (e questa e' la dimo che m'interesserebbe TIA).
>
>1. AB e CD due diametri perpendicolari.
>2. Con centro in B, apertura d'un diametro, costruisco E
>sul prolungamento esterno di OD (ovvio: O e' il centro).
>3. Costruisco F su AB distante da A 2/7 del diametro.
>4. Costruisco G sull'arco AD (il minore) come intersezione
>della retta per EF.
>5. La corda AG e' lato - approssimato, e' la tesi - del
>richiesto 7-agono.
>N.B. Se non ricordo male, vale per qualsiasi numero di lati.
Cosi' come l'hai detta, non funziona: se n-->infinito, AG verrebbe il lato
dell'esagono regolare. Ma qualcosa di buono in quella costruzione c'e',
perche' angolo(OGE)-angolo(GEO)-pi/2, ossia
pi/2
- arcsin(sqrt(3)*sin(arctan((n-4)/(n*sqrt(3)))))
- arctan((n-4)/(n*sqrt(3)))
Tetis
> Il 30-05-2011, El Filibustero dice:
> So che ti piace assai la geometria vera, io sono anche molto
> arrugginito.. se ti va mi diresti:
> -- se le seguente e' quella di cui parli;
> -- in cosa e' approssimata, perche' l'ho ritenuta sempre
> come esatta (e questa e' la dimo che m'interesserebbe TIA).
>
> 1. AB e CD due diametri perpendicolari.
> 2. Con centro in B, apertura d'un diametro, costruisco E
> sul prolungamento esterno di OD (ovvio: O e' il centro).
> 3. Costruisco F su AB distante da A 2/7 del diametro.
> 4. Costruisco G sull'arco AD (il minore) come intersezione
> della retta per EF.
> 5. La corda AG e' lato - approssimato, e' la tesi - del
> richiesto 7-agono.
>
> N.B. Se non ricordo male, vale per qualsiasi numero di lati.
Scusa Dalet, ma proprio non funziona come dici questa, nemmeno come
approssimata. Considera che posto un vertice in A la proiezione su AB
del più vicino vertice dista da A come 2 r sen^2(pi/7). che è meno di
d (pi/7)^2 < 2 d / 7. Quindi se parti da un punto lontano come 2d/7
arrivi troppo lontano sulla circonferenza.
El Filibustero
>>1. AB e CD due diametri perpendicolari.
>>2. Con centro in B, apertura d'un diametro, costruisco E
>>sul prolungamento esterno di OD (ovvio: O e' il centro).
>>3. Costruisco F su AB distante da A 2/7 del diametro.
>>4. Costruisco G sull'arco AD (il minore) come intersezione
>>della retta per EF.
>>5. La corda AG e' lato - approssimato, e' la tesi - del
>>richiesto 7-agono.
>>N.B. Se non ricordo male, vale per qualsiasi numero di lati.
>
>Cosi' come l'hai detta, non funziona: se n-->infinito, AG verrebbe il lato
>dell'esagono regolare. Ma qualcosa di buono in quella costruzione c'e',
>perche' angolo(OGE)-angolo(GEO)-pi/2, ossia
>
>pi/2
>- arcsin(sqrt(3)*sin(arctan((n-4)/(n*sqrt(3)))))
>- arctan((n-4)/(n*sqrt(3)))
>
>e' una valida approssimazione di 2pi/n per n non troppo alti...
...e pertanto la costruzione va completata cosi':
5. Disegno l'asse di FG: sia H la sua intersezione con OG
6. Costruisco da O la parallela a FH, che incontra l'arco BD (minore) in K:
la corda BK e' (con buona approssimazione) il lato dell' n-agono.
Ciao
Luciano Buggio
E quanto vale il lato del nostro triangolo circosacritto ?
E' un rapporto notevolòe con R, come quello del triangolo inscritto?
Dimmelo tu, che sei veloce nei calcoli:-)
Tornando al quadrato "inscritto" nell'uovo (dalla parte del polo
maggiore, con il vertice opposto libero) è immediato osservare che
l'area del cerchio base è nel rapporto pigreco con quella di quel
quadrato, e quella dell'uovo 3/4 pi.
4/3 pi è il rapporto tra il volume della sfera e quello del cubo
costruito con quel quadrat, e 21/16 pi quello tra il volume dell'uovo
e quel cubo.
Per quanto riguarda il pentagono regolare, non ho granchè:
-----------------
Il pentagono regolare avente un vertice nel polo maggiore e i due
estremi del alto opposto sul luogo ha i lati adiacenti al polo
maggiore che intersecano l'uovo nel proprio punto di sezione aurea.
-------------------
Il rapporto aureo peraltro si ricava dall'uovo in altri modi.
Ti risulta?
Luciano Buggio
Dalet
>On Tue, 31 May 2011 01:43:39 +0200, El Filibustero wrote:
>>>1. AB e CD due diametri perpendicolari.
>>>2. Con centro in B, apertura d'un diametro, costruisco E
>>>sul prolungamento esterno di OD (ovvio: O e' il centro).
>>>3. Costruisco F su AB distante da A 2/7 del diametro.
ERRATA
>>>4. Costruisco G sull'arco AD (il minore) come intersezione
>>>della retta per EF.
Scusa immensamente!! e' qui che ho scritto male! mi spiace
proprio:-(
CORRIGE
4. Costruisco G sull'arco AC (il minore) come intersezione
della retta per EF.
>>>5. La corda AG e' lato - approssimato, e' la tesi - del
>>>richiesto 7-agono.
>>>N.B. Se non ricordo male, vale per qualsiasi numero di lati.
>>Cosi' come l'hai detta, non funziona: se n-->infinito, AG verrebbe il lato
>>dell'esagono regolare. Ma qualcosa di buono in quella costruzione c'e',
>>perche' angolo(OGE)-angolo(GEO)-pi/2, ossia
>>pi/2
>>- arcsin(sqrt(3)*sin(arctan((n-4)/(n*sqrt(3)))))
>>- arctan((n-4)/(n*sqrt(3)))
>>e' una valida approssimazione di 2pi/n per n non troppo alti...
>...e pertanto la costruzione va completata cosi':
>5. Disegno l'asse di FG: sia H la sua intersezione con OG
>6. Costruisco da O la parallela a FH, che incontra l'arco BD (minore) in K:
>la corda BK e' (con buona approssimazione) il lato dell' n-agono.
Curiosita': facendo quest'asse che dici (nel disegno mio
con G a sinistra eh), la retta HF interseca l'arco DA
(minore*) in Q che sembra proprio essere il simmetrico
di G (mio-corretto sempre eh) rispetto al diametro AB
(ovvero l'ultimo vertice girando antiorario ed essendo G
il primo).
Per chiarezza:
-- diametro AB verticale, A in alto;
-- CD orizzontale e come di consueto D a destra;
-- G, H nel secondo quadrante, Q nel primo;
-- angolo alfa=GOA dovrebbe NON essere 2pi/7;
-- nuovo interrogativo: AOQ = alfa?
-----------
* se con la convenzione di orientati, allora dire "arco DA"
e' lo stesso che dire "arco AD (minore)" quando non li si
considera orientati.
--
Saluti, Dalet
Dalet
>Dalet ha pensato forte :
>>1. AB e CD due diametri perpendicolari.
>>2. Con centro in B, apertura d'un diametro, costruisco E
>>sul prolungamento esterno di OD (ovvio: O e' il centro).
>>3. Costruisco F su AB distante da A 2/7 del diametro.
ERRATA
>>>4. Costruisco G sull'arco AD (il minore) come intersezione
>>>della retta per EF.
CORRIGE
4. Costruisco G sull'arco AC (il minore) come intersezione
della retta per EF.
Scusa anche tu:-(
>>5. La corda AG e' lato - approssimato, e' la tesi - del
>>richiesto 7-agono.
>>N.B. Se non ricordo male, vale per qualsiasi numero di lati.
>Scusa Dalet, ma proprio non funziona come dici questa, nemmeno come
>approssimata.
Me l'avevan propinata alle medie.. mi spiace.
>Considera che posto un vertice in A la proiezione su AB
>del più vicino vertice dista da A come 2 r sen^2(pi/7), che è meno
>di d(pi/7)^2 < 2d/7.
Fin qui tutto Ok, la proiezione la battezziamo G', anche se
in realta' G NON e' il vero vertice (cioe' l'angolo GOA non
e' di 2pi/7).
>Quindi se parti da un punto lontano come 2d/7
>arrivi troppo lontano sulla circonferenza.
Questo invece non lo capisco proprio, puoi spiegare?
Penso cmq che sia dovuto allo sciagurato equivoco - come ho
gia' chiarito con El Filibustero con l'errata-corrige che
t'ho riportato anche qui.
--
Saluti, Dalet
El Filibustero
>>>>1. AB e CD due diametri perpendicolari.
>>>>2. Con centro in B, apertura d'un diametro, costruisco E
>>>>sul prolungamento esterno di OD (ovvio: O e' il centro).
>>>>3. Costruisco F su AB distante da A 2/7 del diametro.
>
>ERRATA
>>>>4. Costruisco G sull'arco AD (il minore) come intersezione
>>>>della retta per EF.
>
>Scusa immensamente!! e' qui che ho scritto male! mi spiace
>proprio:-(
>
>CORRIGE
>4. Costruisco G sull'arco AC (il minore) come intersezione
>della retta per EF.
>
>>>>5. La corda AG e' lato - approssimato, e' la tesi - del
>>>>richiesto 7-agono.
Si', l'approssimazione e' esattamente la stessa della costruzione piu'
complicata del mio post:
arcsin(sqrt(6)sqrt(-n(n-4)^2sqrt(nn+16n-32)+nnnn+32nn-128n+128)/
(4(nn-2n+4))
)
invece di 2pi/n.
>Curiosita': facendo quest'asse che dici (nel disegno mio
>con G a sinistra eh), la retta HF interseca l'arco DA
la retta HF *non* interseca DA. Ciao
Tetis
> E quanto vale il lato del nostro triangolo circosacritto ?
> E' un rapporto notevolòe con R, come quello del triangolo inscritto?
> Dimmelo tu, che sei veloce nei calcoli:-)
Nulla di semplice, se non ho sbagliato l'espressione per r;
r = 3/4 - (1/2)(11/12)^1/2
si tratta di andare a calcolare:
y + (1-x) / 3^(1/2)
dove:
y = r(1-r^2)^(1/2)
x = r^(3/2)
nulla di troppo semplice compaiono radicali doppi e tre numeri primi
oltre a quelli che comparivano prima: 5, 59 e 727.
> Tornando al quadrato "inscritto" nell'uovo (dalla parte del polo
> maggiore, con il vertice opposto libero) è immediato osservare che
> l'area del cerchio base è nel rapporto pigreco con quella di quel
> quadrato, e quella dell'uovo 3/4 pi.
> 4/3 pi è il rapporto tra il volume della sfera e quello del cubo
> costruito con quel quadrat, e 21/16 pi quello tra il volume dell'uovo
> e quel cubo.
>
> Per quanto riguarda il pentagono regolare, non ho granchè:
>
> -----------------
> Il pentagono regolare avente un vertice nel polo maggiore e i due
> estremi del alto opposto sul luogo ha i lati adiacenti al polo
> maggiore che intersecano l'uovo nel proprio punto di sezione aurea.
> -------------------
>
> Il rapporto aureo peraltro si ricava dall'uovo in altri modi.
> Ti risulta?
Si, per esempio dall'estremo dell'asse minore dell'uovo. Detto A questo
punto la circonferenza con centro in O e raggio OA interseca la
circonferenza circoscritta all'uovo in un punto B e l'asse in un punto
C. Con centro in O' si traccia una circonferenza di raggio O'C che
interseca il segmento O'B nel punto D. Il segmento DB è la sezione
aurea di OA.
> Luciano Buggio
Tetis
> Il 31-05-2011, Tetis dice:
>> Dalet ha pensato forte :
>
>>> 1. AB e CD due diametri perpendicolari.
>>> 2. Con centro in B, apertura d'un diametro, costruisco E
>>> sul prolungamento esterno di OD (ovvio: O e' il centro).
>>> 3. Costruisco F su AB distante da A 2/7 del diametro.
>
> ERRATA
>>>> 4. Costruisco G sull'arco AD (il minore) come intersezione
>>>> della retta per EF.
>
> CORRIGE
> 4. Costruisco G sull'arco AC (il minore) come intersezione
> della retta per EF.
>
> Scusa anche tu:-(
>
>>> 5. La corda AG e' lato - approssimato, e' la tesi - del
>>> richiesto 7-agono.
>>> N.B. Se non ricordo male, vale per qualsiasi numero di lati.
>
>> Scusa Dalet, ma proprio non funziona come dici questa, nemmeno come
>> approssimata.
>
> Me l'avevan propinata alle medie.. mi spiace.
Questa va meglio ma ...
Azz. Subdola...
La costruzione che dici funziona esattamente per il triangolo, per il
quadrato e per l'esagono. Nel caso dell'ettagono è peggiore di quella
che avevano insegnato a Buggio e nel caso del poligono con 25 lati
costruisce in realtà un poligono con 24 lati e poi fa sempre peggio al
crescere del numero di lati. Non ho idea di come il suo ideatore abbia
potuto escogitarla.
>> Considera che posto un vertice in A la proiezione su AB
>> del più vicino vertice dista da A come 2 r sen^2(pi/7), che è meno
>> di d(pi/7)^2 < 2d/7.
>
> Fin qui tutto Ok, la proiezione la battezziamo G', anche se
> in realta' G NON e' il vero vertice (cioe' l'angolo GOA non
> e' di 2pi/7).
>
>> Quindi se parti da un punto lontano come 2d/7
>> arrivi troppo lontano sulla circonferenza.
>
> Questo invece non lo capisco proprio, puoi spiegare?
La proiezione di G' (quello senza errata-corrige) sull'asse AB era
lontana da A più di 2d/7. Quindi non poteva essere il punto cercato.
Dalet
Confermo la costruzione seguente che riporto ora col
punto 4 corretto, eccola:
>>1. AB e CD due diametri perpendicolari.
>>2. Con centro in B, apertura d'un diametro, costruisco E
>>sul prolungamento esterno di OD (ovvio: O e' il centro).
>>3. Costruisco F su AB distante da A 2/7 del diametro.
>>4. Costruisco G sull'arco AC (il minore) come intersezione
>>della retta per EF.
>>5. La corda AG e' lato - approssimato, e' la tesi - del
>>richiesto 7-agono.
>Si', l'approssimazione e' esattamente la stessa della costruzione piu'
>complicata del mio post:
Il fattaccio e' (ma ho pochissimo tempo) che la costruzione
fatta con riga e compasso mi da' un ottimo disegno, ma
analiticamente mi vengono cose turche! guarda:
EOB e' mezzo triangolo regolare -> OE=r sqrt(3);
AF=4r/7 -> OF=3r/7;
pongo per gli angoli: OEF=beta, GOA=alfa;
risulta:
tg(beta)=OF/OE -> tg(beta)=(1/7)sqrt(3)
alfa=90-2beta -> tg(alfa)=[1-tg^2(beta)]/[2tg(beta)];
sostituendo:
tg(alfa)=23/[7sqrt(3)] -> alfa=~62 gradi 12' 15" e 21/100,
mentre dovrebb'esser meno di 52 gradi.
Ma mi fa rabbia perche' il disegno viene perfetto.. boh!
>arcsin(sqrt(6)sqrt(-n(n-4)^2sqrt(nn+16n-32)+nnnn+32nn-128n+128)/
> (4(nn-2n+4))
> )
>invece di 2pi/n.
Dovro' guardarla, finora non l'ho fatto per il tempo.
Col procedimento che ho fatto qui su per 7 mi viene:
tg(alfa)=(nn+4n-8)/[n(n-4)sqrt(3)].
La quale sembra proprio errata.. vale solo per n > 4,
tra l'altro!
>>Curiosita': facendo quest'asse che dici (nel disegno mio
>>con G a sinistra eh), la retta HF interseca l'arco DA
>la retta HF *non* interseca DA. Ciao
Boh.. da me viene H piu' in basso di F ergo l'interseca si',
ma e' chiaro che devo aver fatto qualche altro pasticcio.
(sulla crf. ci stanno, partendo da A in alto e girando
antiorario: A,G,C,B,D,Q; sul diametro verticale: A,F,O,B;
infine: H e' nel secondo quadrante, E e' all'estrema destra
sul prolungamento del diametro CD)
--
Saluti, Dalet
Dalet
>Scriveva Dalet Tuesday, 5/31/2011:
>>Il 31-05-2011, Tetis dice:
>La costruzione che dici funziona esattamente per il triangolo, per il
>quadrato e per l'esagono. Nel caso dell'ettagono è peggiore di quella
>che avevano insegnato a Buggio e nel caso del poligono con 25 lati
>costruisce in realtà un poligono con 24 lati e poi fa sempre peggio al
>crescere del numero di lati. Non ho idea di come il suo ideatore abbia
>potuto escogitarla.
Boh.. analiticamente mi viene un porcaio, l'ho scritto
adesso a El Filibustero.
>>>Quindi se parti da un punto lontano come 2d/7
>>>arrivi troppo lontano sulla circonferenza.
>>Questo invece non lo capisco proprio, puoi spiegare?
>La proiezione di G' (quello senza errata-corrige) sull'asse AB era
>lontana da A più di 2d/7. Quindi non poteva essere il punto cercato.
Ah.. Ok THX.
--
Saluti, Dalet
Tetis
> e' una valida approssimazione di 2pi/n per n non troppo alti, senz'altro
> accettabile in un grafico anche di ottima qualita'. Ciao
Diciamo che non troppo alti in questo caso significa, ponendo una
tolleranza massima del 10%, non superiori a 10. Funziona esattamente
per il triangolo, il quadrato e l'esagono. Discretamente per il
pentagono che però si costruisce esattamente. Ed ottimamente per il
24-gono, purché si proceda con n = 25.
Tetis
> Il 31-05-2011, El Filibustero dice:
>> On Tue, 31 May 2011 11:19:02 +0000 (UTC), Dalet wrote:
>
> Confermo la costruzione seguente che riporto ora col
> punto 4 corretto, eccola:
>
>>> 1. AB e CD due diametri perpendicolari.
>>> 2. Con centro in B, apertura d'un diametro, costruisco E
>>> sul prolungamento esterno di OD (ovvio: O e' il centro).
>>> 3. Costruisco F su AB distante da A 2/7 del diametro.
>>> 4. Costruisco G sull'arco AC (il minore) come intersezione
>>> della retta per EF.
>>> 5. La corda AG e' lato - approssimato, e' la tesi - del
>>> richiesto 7-agono.
>
>> Si', l'approssimazione e' esattamente la stessa della costruzione piu'
>> complicata del mio post:
>
> Il fattaccio e' (ma ho pochissimo tempo) che la costruzione
> fatta con riga e compasso mi da' un ottimo disegno, ma
> analiticamente mi vengono cose turche! guarda:
>
> EOB e' mezzo triangolo regolare -> OE=r sqrt(3);
> AF=4r/7 -> OF=3r/7;
>
> pongo per gli angoli: OEF=beta, GOA=alfa;
>
> risulta:
> tg(beta)=OF/OE -> tg(beta)=(1/7)sqrt(3)
Fin qui mi sembra ok.
> alfa=90-2beta -> tg(alfa)=[1-tg^2(beta)]/[2tg(beta)];
Che hai fatto qui?
Guarda a me risulta che la proiezione di O su EF è lunga r sen(alfa)
ma anche OE sen(beta) uguagliando trovo:
Arcsen((1 - 4/n)/sqrt(1 + (1 - 4/n)^2/3))
Dalet
>Il fattaccio e' (ma ho pochissimo tempo) che la costruzione
>fatta con riga e compasso mi da' un ottimo disegno, ma
>analiticamente mi vengono cose turche! guarda:
>EOB e' mezzo triangolo regolare -> OE=r sqrt(3);
>AF=4r/7 -> OF=3r/7;
>pongo per gli angoli: OEF=beta, GOA=alfa;
>risulta:
>tg(beta)=OF/OE -> tg(beta)=(1/7)sqrt(3)
>alfa=90-2beta -> tg(alfa)=[1-tg^2(beta)]/[2tg(beta)];
Ecco l'errore: OEF *non e'* un angolo alla circonferenza!
dunque alfa NON e' il complementare del doppio di beta.
--
Saluti, Dalet
Dalet
>Dalet scriveva il 5/31/2011 :
>>alfa=90-2beta -> tg(alfa)=[1-tg^2(beta)]/[2tg(beta)];
>Che hai fatto qui?
Ho proceduto come se CEG fosse un angolo alla crf. e dunque
COG l'angolo al centro doppio:
>Guarda a me risulta che la proiezione di O su EF è lunga r sen(alfa)
>ma anche OE sen(beta) uguagliando trovo:
>Arcsen((1 - 4/n)/sqrt(1 + (1 - 4/n)^2/3))
La guardero' anche se dovro' capir cosa volevi dire con
"la proiezione di O", ma non dovrebbe essere difficile
immaginarlo ma adesso vado di fretta.
--
Saluti, Dalet
Tetis
> Il 31-05-2011, Tetis dice:
>> Dalet scriveva il 5/31/2011 :
>
>>> alfa=90-2beta -> tg(alfa)=[1-tg^2(beta)]/[2tg(beta)];
>
>> Che hai fatto qui?
>
> Ho proceduto come se CEG fosse un angolo alla crf. e dunque
> COG l'angolo al centro doppio:
Ok.
>> Guarda a me risulta che la proiezione di O su EF è lunga r sen(alfa)
>> ma anche OE sen(beta) uguagliando trovo:
>> Arcsen((1 - 4/n)/sqrt(1 + (1 - 4/n)^2/3))
>
> La guardero' anche se dovro' capir cosa volevi dire con
> "la proiezione di O",
la proiezione, a mezzo di una retta ortogonale, di O su EF. Se la
chiami H hai due triangoli rettangoli: OEH e OHG Conosci OG perché è il
raggio r e conosci OE perché è sqrt(3) r. Quindi trovi:
sen(alfa) = sqrt(3) sen(Arctan((1-4/n)/sqrt(3)))
ma sen(Arctan(y)) = y/(1+y^2).
Luciano Buggio
> Luciano Buggio scriveva il 5/31/2011 :
>
> > E quanto vale il lato del nostro triangolo circosacritto ?
> > E' un rapporto notevolòe con R, come quello del triangolo inscritto?
> > Dimmelo tu, che sei veloce nei calcoli:-)
>
> Nulla di semplice, se non ho sbagliato l'espressione per r;
>
> r = 3/4 - (1/2)(11/12)^1/2
>
> si tratta di andare a calcolare:
>
> y + (1-x) / 3^(1/2)
>
> dove:
>
> y = r(1-r^2)^(1/2)
> x = r^(3/2)
>
> nulla di troppo semplice compaiono radicali doppi e tre numeri primi
> oltre a quelli che comparivano prima: 5, 59 e 727.
Grazie: mi aspettavo qualcosa di più semplice.
Come me l'aspetterei dal lato del quadrato circoscritto al luogo (con
una diagonale allineata con l'asse maggiore).
Hai voglia di calcolarlo?
>
(cut)
>
> > Il rapporto aureo peraltro si ricava dall'uovo in altri modi.
> > Ti risulta?
>
> Si, per esempio dall'estremo dell'asse minore dell'uovo. Detto A questo
> punto la circonferenza con centro in O e raggio OA interseca la
> circonferenza circoscritta all'uovo in un punto B e l'asse in un punto
> C. Con centro in O' si traccia una circonferenza di raggio O'C che
> interseca il segmento O'B nel punto D. Il segmento DB è la sezione
> aurea di OA.
Ti invidio: ma come hai proceduto per scoprirlo, visto il numero
delle operazioni da eseguire, per tentativi?
Io pensavo di aver trovato una relazione aurea, ma poi ho scoperto
che è circolare, autoreferente, e nemmeno voglio parlarne, perchè mi
vergogno:-(
Magari ce ne sono altre, e magari anche il pentagono ha altri rapporti
interessanti.
Passiamo però all'esagono, alle due più semplici ed immediate, credo,
relazioni con l'uovo.
1) - L'area dell'uovo è uguale all'area del cerchio iscritto
nell'esagono regolare a sua volta iscritto nel cerchio base.
Nelle condizioni dette, l'uovo interseca i due lati dell'esagono
adiacenti al polo maggiore nei rispettivi punti medi, ove la
circonferenza è tangente.
Il lato dell'esagono in quesitone è uguale a quello del quadrato
iscritto nell'uovo, che già abbiamo considerato.
En passant osservo che l'area dell'uovo, come l'area del detto cerchio
iscritto nell'esagono, è pari ad un quarto dell'area sottesa alla
cicloide generata per rotolamento del cerchio base (si ricordi che
l'area del cerchio che genera per rotolamento al cicloide è un terzo
dell'area sottesa alla cicloide).
2) - L'esagono regolare "iscritto" nell'uovo (tre vertici liberi),
avente una diagonale sull'asse maggiore ed un vertice coincidente col
polo maggiore, ha lato pari a un quarto dell'asse maggiore dell'uovo.
Ciò si dimostra anche col citato teorema dei "triangoli rettangoli
simili", partendo dalla considerazione dei due triangoli aventi
ipotenusa 1/2R e 3/2R.
Giusto (cioè..vero:-)?
Luciano Buggio
Luciano Buggio
(cut)
> > > Il rapporto aureo peraltro si ricava dall'uovo in altri modi.
> > > Ti risulta?
>
> > Si, per esempio dall'estremo dell'asse minore dell'uovo. Detto A questo
> > punto la circonferenza con centro in O e raggio OA interseca la
> > circonferenza circoscritta all'uovo in un punto B e l'asse in un punto
> > C. Con centro in O' si traccia una circonferenza di raggio O'C che
> > interseca il segmento O'B nel punto D. Il segmento DB è la sezione
> > aurea di OA.
>
> Ti invidio: ma come hai proceduto per scoprirlo, visto il numero
> delle operazioni da eseguire, per tentativi?
> Io pensavo di aver trovato una relazione aurea, ma poi ho scoperto
> che è circolare, autoreferente, e nemmeno voglio parlarne, perchè mi
> vergogno:-(
No!
Nessuna petizione di principio, evidentemente mi sono fatto
intimidire:-)
Ho guardato meglio.
La sezione aurea è scritta nell'uovo in modo assai semplice.
---------
L'estremo P' della corda uscente dal polo maggiore, lunga come la
sezione aurea dell'asse maggiore, dista da quest'ultimo come la
sezione aurea della corda stessa.
--------
Credevo che fosse circolare perchè ero partito dalla sezione aurea, ma
poi ho visto che quel che segue è una proprietà dell'uovo, e non di
altre curve su cui sia compiuta la stessa operazione.
Lo si vede forse meglio mettendola come segue.
----------
Riportato col compasso l'estremo P' sull'asse maggiore in P", e
chiamato O' il polo minore, la distanza di P' dall'asse maggiore è
uguale alla distanza O'P".
---------
Come vedi anch'io ho coinvolto il polo minore.
Ciao.
Luciano Buggio
Dalet
>Dalet scriveva il 5/31/2011 :
>>>Guarda a me risulta che la proiezione di O su EF e' lunga r sen(alfa)
>>>ma anche OE sen(beta) uguagliando trovo:
>>>Arcsen((1 - 4/n)/sqrt(1 + (1 - 4/n)^2/3))
>>La guardero' anche se dovro' capir cosa volevi dire con
>>"la proiezione di O",
>la proiezione, a mezzo di una retta ortogonale, di O su EF. Se la
>chiami H hai due triangoli rettangoli: OEH e OHG Conosci OG perché è il
>raggio r e conosci OE perché è sqrt(3) r.
Non capisco lo stesso, ora dico il perche'.
Premetto che con la storia della proiezione che dici non
fai altro che considerare l'altezza del triangolo EGO sulla
base EG. Tale altezza la chiamo h.
Premetto2 che era per gli angoli:
beta = OEG ...che e' quello in E
alfa = GOA ...che e' quello che serve.
Ebbene: va bene h = OE sen(beta), ma NON va l'altra, perche'
infatti NON e': h = r sen(alfa), ma e': h = r sen(EGO).
Dunque vuoi dire altro..
>Quindi trovi:
>sen(alfa) = sqrt(3) sen(Arctan((1-4/n)/sqrt(3)))
>ma sen(Arctan(y)) = y/(1+y^2).
Di qui e' evidente che hai cambiato notazioni.
A me la tangente vien relativamente piu' semplice del seno
che ha trovato El Filibustero, eccola.
tg(alfa)=(n sqrt(f)-(n-4)^2)sqrt(3)/((3n+sqrt(f))(n-4));
f = nn+16n-32.
E dunque per n=7 viene alfa =~ 51 gradi 31' 05" e 58/100.
--
Saluti, Dalet
Tetis
> Il 31-05-2011, Tetis dice:
>> Dalet scriveva il 5/31/2011 :
>>> Il 31-05-2011, Tetis dice:
>
>>>> Guarda a me risulta che la proiezione di O su EF e' lunga r sen(alfa)
>>>> ma anche OE sen(beta) uguagliando trovo:
>>>> Arcsen((1 - 4/n)/sqrt(1 + (1 - 4/n)^2/3))
>
>>> La guardero' anche se dovro' capir cosa volevi dire con
>>> "la proiezione di O",
>
>> la proiezione, a mezzo di una retta ortogonale, di O su EF. Se la
>> raggio r e conosci OE perché è sqrt(3) r.
>
> Non capisco lo stesso, ora dico il perche'.
>
> Premetto che con la storia della proiezione che dici non
> fai altro che considerare l'altezza del triangolo EGO sulla
> base EG. Tale altezza la chiamo h.
>
> Premetto2 che era per gli angoli:
> beta = OEG ...che e' quello in E
> alfa = GOA ...che e' quello che serve.
ah, ok, scusa a me interessava OGE quindi ho assunto implicitamente OGE
= alfa.
Da OGE infatti esprimo GOA per differenza.
> Ebbene: va bene h = OE sen(beta), ma NON va l'altra, perche'
> infatti NON e': h = r sen(alfa), ma e': h = r sen(EGO).
> Dunque vuoi dire altro..
>
>> Quindi trovi:
>> sen(alfa) = sqrt(3) sen(Arctan((1-4/n)/sqrt(3)))
>> ma sen(Arctan(y)) = y/(1+y^2).
>
> Di qui e' evidente che hai cambiato notazioni.
si, ti chiedo scusa.
> A me la tangente vien relativamente piu' semplice del seno
> che ha trovato El Filibustero, eccola.
>
> tg(alfa)=(n sqrt(f)-(n-4)^2)sqrt(3)/((3n+sqrt(f))(n-4));
> f = nn+16n-32.
>
> E dunque per n=7 viene alfa =~ 51 gradi 31' 05" e 58/100.
non avevo ancora fatto la crasi delle due espressioni. Io trovo, dopo
avere razionalizzato, questa:
tg(alfa) = (sqrt(3)/2) [-n + sqrt(f)]/(n-4)
dove f = nn+16n-32
ovvero per n=3 risulta tg(alfa) = -sqrt(3), per n=4 tg(alfa)=oo, e per
n = 7, in sessagesimali: 51,518... contro il valore corretto di
51,429.. che è un numero periodico.
Un primo modo per rendere immediatamente leggibile il comportamento
asintotico è di raccogliere n:
tg(alfa) = (sqrt(3)/2) [-1 + sqrt(1+16(n-2)/n^2)]/(1-4/n)
un modo per renderlo più facilmente manipolabile è riconoscere che
f=(n-4)^2+24(n-2)
allora qui vedi che:
tg(alfa) = (sqrt(3)/2) [-1/(1-4/n) + sqrt(1+24(n-2)/(n-4)^2)]
che sviluppando la radice diventa:
tg(alfa) = (sqrt(3)/2) [ 12/(n-4) - 840/(n-4)^2 + o(n-4)^2]
Dalet
>Dalet ci ha detto :
>>tg(alfa)=(n sqrt(f)-(n-4)^2)sqrt(3)/((3n+sqrt(f))(n-4));
>>f = nn+16n-32.
>non avevo ancora fatto la crasi delle due espressioni. Io trovo, dopo
>avere razionalizzato, questa:
>tg(alfa) = (sqrt(3)/2) [-n + sqrt(f)]/(n-4)
E questa e' la stessa identica della mia, ma ben
semplificata - bravo!
--
Saluti, Dalet
Tetis
> Ti invidio: ma come hai proceduto per scoprirlo, visto il numero
> delle operazioni da eseguire, per tentativi?
Guarda e giudica:
il segmento AB è sezione aurea di MO, cioè BAO è un triangolo aureo.
Se ricordi che OM = 2/3 d diventa evidente perché AB è la sezione aurea
di OO'. Questo implica anche che prolungando il segmento OM fino alla
circonferenza si ottiene un punto Q evidenziato in quest'altra figura:
con la seguente graziosa proprietà: la circonferenza ha area media
proporzionale fra la circonferenza di raggio OQ e l'area dell'uovo.
Se vuoi puoi anche completare la figura aggiungendo sul segmento OA
l'intersezione con l'uovo, il punto T, che è il baricentro del
triangolo equilatero di altezza OA e base lungo O'A, se inoltre tracci
da O la parallela ad O'A questa interseca l'uovo nel punto T' e risulta
che il perimetro del quadrato TOT' è doppio dell'asse maggiore.
Inoltre se si considera il quadrato costruito sull'ipotenusa TT' del
triangolo rettangolo TOT' risulta che la sua area è la semidifferenza
fra l'area del quadrato costruito sull'asse maggiore e doppia dell'area
del TOT'.
Ma queste due sono proprietà generali, indipendenti cioè dalla
particolare scelta del punto A.
> Io pensavo di aver trovato una relazione aurea, ma poi ho scoperto
> che è circolare, autoreferente, e nemmeno voglio parlarne, perchè mi
> vergogno:-(
Tutte le costruzioni che abbiamo mostrato eccetto la duplicazione del
cubo derivano dalla geometria riga compasso pura e semplice.
En passant noto che il perimetro del quadrato costruito sull'ipotenusa
è congruente alla lunghezza della cicloide generata dal cerchio base.
Mentre il cerchio circoscritto al triangolo equilatero costruito
sull'asse maggiore ha l'area dell'uovo, il suo lato è inoltre tagliato
dall'uovo nella sua quarta parte.
Vero?
> Magari ce ne sono altre, e magari anche il pentagono ha altri rapporti
> interessanti.
>
> Passiamo però all'esagono, alle due più semplici ed immediate, credo,
> relazioni con l'uovo.
>
> 1) - L'area dell'uovo è uguale all'area del cerchio iscritto
> nell'esagono regolare a sua volta iscritto nel cerchio base.
> Nelle condizioni dette, l'uovo interseca i due lati dell'esagono
> adiacenti al polo maggiore nei rispettivi punti medi, ove la
> circonferenza è tangente.
> Il lato dell'esagono in quesitone è uguale a quello del quadrato
> iscritto nell'uovo, che già abbiamo considerato.
> En passant osservo che l'area dell'uovo, come l'area del detto cerchio
> iscritto nell'esagono, è pari ad un quarto dell'area sottesa alla
> cicloide generata per rotolamento del cerchio base (si ricordi che
> l'area del cerchio che genera per rotolamento al cicloide è un terzo
> dell'area sottesa alla cicloide).
>
> 2) - L'esagono regolare "iscritto" nell'uovo (tre vertici liberi),
> avente una diagonale sull'asse maggiore ed un vertice coincidente col
> polo maggiore, ha lato pari a un quarto dell'asse maggiore dell'uovo.
> Ciò si dimostra anche col citato teorema dei "triangoli rettangoli
> simili", partendo dalla considerazione dei due triangoli aventi
> ipotenusa 1/2R e 3/2R.
>
> Giusto (cioè..vero:-)?
obviously yes.
> Luciano Buggio
Tetis
> Ho guardato meglio.
> La sezione aurea è scritta nell'uovo in modo assai semplice.
>
> ---------
> L'estremo P' della corda uscente dal polo maggiore, lunga come la
> sezione aurea dell'asse maggiore, dista da quest'ultimo come la
> sezione aurea della corda stessa.
> --------
O, che è forse più semplice, detta H la proiezione di P' su OO', PH è
congruente alla corda individuata dalla retta per O ortogonale ad OP.
> Credevo che fosse circolare perchè ero partito dalla sezione aurea, ma
> poi ho visto che quel che segue è una proprietà dell'uovo, e non di
> altre curve su cui sia compiuta la stessa operazione.
>
> Lo si vede forse meglio mettendola come segue.
>
> ----------
> Riportato col compasso l'estremo P' sull'asse maggiore in P", e
> chiamato O' il polo minore, la distanza di P' dall'asse maggiore è
> uguale alla distanza O'P".
> ---------
Che è lo stesso di quanto detto prima.
Luciano Buggio
> Luciano Buggio ha usato la sua tastiera per scrivere :
>
> > Ti invidio: ma come hai proceduto per scoprirlo, visto il numero
> > delle operazioni da eseguire, per tentativi?
>
> Guarda e giudica:
>
> http://snipurl.com/27y9re
Purtoppo non riesco a entrare nel link, dice che non ho
l'autorizzazione.
(cut)
> Tutte le costruzioni che abbiamo mostrato eccetto la duplicazione del
> cubo derivano dalla geometria riga compasso pura e semplice.
Mi pare che abbiamo nostrato anche la quadratura del cerchio e la
trisezione (o meglio, in generale, la n-sezione del'angolo), e queste
non si fanno con riga e compasso.
Non mi pare che me le hai bocciate:-)
Aggiungo qui (en passant) che per quanto riguarda la quadratura del
cerchio, la soluzione è l'applicazione di un "diagramma" per il
calcolo delle radici quadrate da o a 4 (analogo, e con più ampio range
di applicazione, a quello per l'estrazione delle radici da 0 a 1
costruito con l'uovo e la sua cirocnferenza base di raggio R): cioè
sempre l'uovo e la circonferenza di raggio r= R/4 (Cerchio Minore)
tangente il polo maggiore.
Si traccia la corda OP dell'uovo, la cui misura, in unità r, sia il
numero di cui si vuole estrarre la radice quadrata, e questa sarà la
lunghezza, sempre spressa in unità r, della corda OP' intercettata dal
Cerchio Minore,sull'uovo.
Luciano Buggio
>
> En passant noto che il perimetro del quadrato costruito sull'ipotenusa
> è congruente alla lunghezza della cicloide generata dal cerchio base.
> Mentre il cerchio circoscritto al triangolo equilatero costruito
> sull'asse maggiore ha l'area dell'uovo, il suo lato è inoltre tagliato
> dall'uovo nella sua quarta parte.
>
> Vero?
Se potessi vedere le figure che hai messo in rete potrei controllare.
Ma mi fido.
E poi me lo aspetto, che l'uovo sia dotato di tutte queste proprietà,
ed altre ancora, non ho ragione per dubitarne:-).
Mi pare che non mi hai ancora detto, almeno non esplitamente, del
lato del quadrato circoscritto all'uovo.
Luicano Buggio
Tetis
> On 2 Giu, 02:44, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
>> Luciano Buggio ha usato la sua tastiera per scrivere :
>>
>>> Ti invidio: ma come hai proceduto per scoprirlo, visto il numero
>>> delle operazioni da eseguire, per tentativi?
>>
>> Guarda e giudica:
>>
>> http://snipurl.com/27y9re
>
> Purtoppo non riesco a entrare nel link, dice che non ho
> l'autorizzazione.
riprova:
questo il secondo:
> (cut)
>
>> Tutte le costruzioni che abbiamo mostrato eccetto la duplicazione del
>> cubo derivano dalla geometria riga compasso pura e semplice.
>
> Mi pare che abbiamo nostrato anche la quadratura del cerchio e la
> trisezione (o meglio, in generale, la n-sezione del'angolo), e queste
> non si fanno con riga e compasso.
Si ma lo sai bene anche tu che quelle che hai descritto non bastano
l'uovo la riga e il compasso per fare la quadratura del cerchio, né la
trisezione dell'angolo.
> Non mi pare che me le hai bocciate:-)
> Aggiungo qui (en passant) che per quanto riguarda la quadratura del
> cerchio, la soluzione è l'applicazione di un "diagramma" per il
> calcolo delle radici quadrate da o a 4 (analogo, e con più ampio range
> di applicazione, a quello per l'estrazione delle radici da 0 a 1
> costruito con l'uovo e la sua cirocnferenza base di raggio R): cioè
> sempre l'uovo e la circonferenza di raggio r= R/4 (Cerchio Minore)
> tangente il polo maggiore.
Di questo non hai parlato.
> Si traccia la corda OP dell'uovo, la cui misura, in unità r, sia il
> numero di cui si vuole estrarre la radice quadrata, e questa sarà la
> lunghezza, sempre spressa in unità r, della corda OP' intercettata dal
> Cerchio Minore,sull'uovo.
non sono sicuro di aver capito a che serve passare dal cerchio minore.
Le radici quadrate comunque le so fare prolungando la corda OP, la cui
misura in unità di d, sia il numero di cui si vuole estrarre la radice
quadrata, fino al punto P' sulla circonferenza del cerchio base, la cui
misura sempre in unità di d sarà la radice quadrata cercata. Per la
radice quarta basta iterare due volte, ma si può anche ricorrere ad una
costruzione alternativa che ho scoperto ieri sera.
Per la radice cubica si proietta, con retta ortogonale all'asse,
sull'uovo il punto P distante x*d da O, il punto ottenuto si chiama P'
quindi si prolunga OP' fino alla circonferenza del cerchio base e si
ottiene x^(1/3) d.
Luciano Buggio
> Il 6/2/2011, Luciano Buggio ha detto :
>
> > On 2 Giu, 02:44, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
> >> Luciano Buggio ha usato la sua tastiera per scrivere :
>
> >>> Ti invidio: ma come hai proceduto per scoprirlo, visto il numero
> >>> delle operazioni da eseguire, per tentativi?
>
> >> Guarda e giudica:
>
> >>http://snipurl.com/27y9re
>
> > Purtoppo non riesco a entrare nel link, dice che non ho
> > l'autorizzazione.
>
> riprova:
>
> http://snipurl.com/27ydl7
>
> questo il secondo:
>
> http://snipurl.com/27ydm2
Adesso le vedo, grazie.
>
> > (cut)
>
> >> Tutte le costruzioni che abbiamo mostrato eccetto la duplicazione del
> >> cubo derivano dalla geometria riga compasso pura e semplice.
>
> > Mi pare che abbiamo nostrato anche la quadratura del cerchio e la
> > trisezione (o meglio, in generale, la n-sezione del'angolo), e queste
> > non si fanno con riga e compasso.
>
> Si ma lo sai bene anche tu che quelle che hai descritto non bastano
> l'uovo la riga e il compasso per fare la quadratura del cerchio, né la
> trisezione dell'angolo.
Non capisco.
Limitiamoci alla quadratura.
Per risolvere il problema basta tracciare una corda sull'uovo.
Intendi dire che serve anche l'ìoperatore (trascendente) rotolamento,
per retificare mezza circonferenza in modo da avere la corda lunga
pi*r da riportare sulla rirc<onferenza base'?
Ma guarda che io l'uovo lo costruisco utilizzando proprio questo
operatore.
Perchè non riconosci la mia suluzione del problema (e anche della
trisezione)?.
Qui non stismo parlando di semplicità: che non siano le soluzioni più
semplici l'avevo già riconosciuto: ciò che vorrei rilevasse è che in
ogni caso si utilizza l'uovo, passe- par- tout..
>
> > Non mi pare che me le hai bocciate:-)
> > Aggiungo qui (en passant) che per quanto riguarda la quadratura del
> > cerchio, la soluzione è l'applicazione di un "diagramma" per il
> > calcolo delle radici quadrate da o a 4 (analogo, e con più ampio range
> > di applicazione, a quello per l'estrazione delle radici da 0 a 1
> > costruito con l'uovo e la sua cirocnferenza base di raggio R): cioè
> > sempre l'uovo e la circonferenza di raggio r= R/4 (Cerchio Minore)
> > tangente il polo maggiore.
>
> Di questo non hai parlato.
Infatti, ne parlo ora (ho scritto "aggiungo")
Inoltre a suo tempo invitato te a parlarne, quando ti chiesi di
trovare un teorema (un diagramma, un regolo, ricordi.?) da applicare
al caso particolare del problema della quadratura del cerchio.
> > Si traccia la corda OP dell'uovo, la cui misura, in unità r, sia il
> > numero di cui si vuole estrarre la radice quadrata, e questa sarà la
> > lunghezza, sempre spressa in unità r, della corda OP' intercettata dal
> > Cerchio Minore,sull'uovo.
>
> non sono sicuro di aver capito a che serve passare dal cerchio minore.
Non è utile in nessun caso?
>
> Le radici quadrate comunque le so fare prolungando la corda OP, la cui
> misura in unità di d, sia il numero di cui si vuole estrarre la radice
> quadrata, fino al punto P' sulla circonferenza del cerchio base, la cui
> misura sempre in unità di d sarà la radice quadrata cercata. Per la
> radice quarta basta iterare due volte, ma si può anche ricorrere ad una
> costruzione alternativa che ho scoperto ieri sera.
>
> Per la radice cubica si proietta, con retta ortogonale all'asse,
> sull'uovo il punto P distante x*d da O, il punto ottenuto si chiama P'
> quindi si prolunga OP' fino alla circonferenza del cerchio base e si
> ottiene x^(1/3) d.
Quante cose!!
Ma non erano note?
Quest'uovo è un meraviglia.
O no?
Luciano Buggio
Luciano Buggio
(cut)
> Grazie: mi aspettavo qualcosa di più semplice.
> Come me l'aspetterei dal lato del quadrato circoscritto al luogo (con
> una diagonale allineata con l'asse maggiore).
> Hai voglia di calcolarlo?
Non hai risposto a questo, e mi sono chiesto il perchè.
Allora ho preso la squadretta 45° e mi sono disegnato il quadrato
circoscritto.
A spanne ho misurato il lato.
Non sarà mica che l'area del quadrato è uguale a quella del cerchio
base?
Ho pensato:"Non oso pensare che Gianmarco abbia voluto tenermi
nascosta una quisquilia del genere a fronte di altre meraviglie
trovate nell'uovo, per farne un uso personale"
Chiedo perdono se ho pensato male, ma ho deciso di esternarti il mio
pensiero perchè ho pensato anche che l'occasione (quella che può fare
l'uomo ladro) sarebbe ben più ghiotta se per questa via si potesse
risolvere il porblema della quadratura con riga e compasso.
Il fatto è che bisogna essere audaci e trasgressivi
nell'immaginazione, non meno però di quanto si deve essere pronti a
riconoscere le puttanate che questa può concepire.
Ciao.
Luciano
Luciano Buggio
> On 1 Giu, 10:14, Luciano Buggio <bugg...@libero.it> wrote:
>
> (cut)
>
> > Grazie: mi aspettavo qualcosa di più semplice.
> > Come me l'aspetterei dal lato del quadrato circoscritto al luogo (con
> > una diagonale allineata con l'asse maggiore).
> > Hai voglia di calcolarlo?
>
> Non sarà mica che l'area del quadrato è uguale a quella del cerchio
> base?
Mi pare anche che il punto medio delle diagonali coincida con
l'incrocio degli assi dell'uovo (o forse con il baricentro, ma
propendo per la prima).
ciao.
Luciano Buggio
Tetis
> On 1 Giu, 10:14, Luciano Buggio <bugg...@libero.it> wrote:
>
> (cut)
>
>> Grazie: mi aspettavo qualcosa di più semplice.
>> Come me l'aspetterei dal lato del quadrato circoscritto al luogo (con
>> una diagonale allineata con l'asse maggiore).
>> Hai voglia di calcolarlo?
>
> Non hai risposto a questo, e mi sono chiesto il perchè.
> Allora ho preso la squadretta 45° e mi sono disegnato il quadrato
> circoscritto.
> A spanne ho misurato il lato.
E figuriamoci. Hai calcolato tutto con esattezza fin qui e adesso ti
volgi alla squadretta, magari è difficile calcolare l'area, anzi
scommetto che non porti a grandi semplificazioni, magari farò il conto
e ti farò saper. Ma ti dico fin d'ora che non mi aspetto e nessuno si
aspetta che una curva algebrica possa produrre la quadratura del
cerchio senza ricorrere almeno ad un pezzetto di spago per rettificare
le lunghezze. A proposito hai calcolato la lunghezza del perimetro
dell'uovo? In particolare è ragionevole aspettarsi che l'area del
quadrato circoscritto sia un numero algebrico, magari complicato, ma
certo non coinvolge pi greco. Hai qualche argomento contrario?
Tetis
>> Si ma lo sai bene anche tu che quelle che hai descritto non bastano
>> l'uovo la riga e il compasso per fare la quadratura del cerchio, né la
>> trisezione dell'angolo.
>
> Non capisco.
> Limitiamoci alla quadratura.
>
> Per risolvere il problema basta tracciare una corda sull'uovo.
> Intendi dire che serve anche l'ìoperatore (trascendente) rotolamento,
> per retificare mezza circonferenza in modo da avere la corda lunga
> pi*r da riportare sulla rirc<onferenza base'?
Qui da una parte ci sono la riga, il compasso, una curva algebrica
detta uovo, i cui punti quadratici possono essere tutti tracciati con
il puro ausilio di riga e compasso, nessuna delle costruzioni elencate
in questo thread richiede imprescindibilmente l'uso dell'uovo per
essere condotta, con la sola eccezione dell'estrazione di radice
cubica. Dall'altro questo "operatore rotolamento", che nella migliore
delle ipotesi consta di un altro strumento, uno o più dischi, un filo
ed un cerchio su cui appoggiare il filo, o un'altra curva, come una
spirale, o altro.
> Ma guarda che io l'uovo lo costruisco utilizzando proprio questo
> operatore.
> Perchè non riconosci la mia suluzione del problema (e anche della
> trisezione)?.
> Qui non stismo parlando di semplicità: che non siano le soluzioni più
> semplici l'avevo già riconosciuto: ciò che vorrei rilevasse è che in
> ogni caso si utilizza l'uovo, passe- par- tout..
Tanto quanto appena discusso basta per escludere che tu hai mostrato
che basti come passe-par-tout.
>> Le radici quadrate comunque le so fare prolungando la corda OP, la cui
>> misura in unità di d, sia il numero di cui si vuole estrarre la radice
>> quadrata, fino al punto P' sulla circonferenza del cerchio base, la cui
>> misura sempre in unità di d sarà la radice quadrata cercata. Per la
>> radice quarta basta iterare due volte, ma si può anche ricorrere ad una
>> costruzione alternativa che ho scoperto ieri sera.
>>
>> Per la radice cubica si proietta, con retta ortogonale all'asse,
>> sull'uovo il punto P distante x*d da O, il punto ottenuto si chiama P'
>> quindi si prolunga OP' fino alla circonferenza del cerchio base e si
>> ottiene x^(1/3) d.
>
> Quante cose!!
> Ma non erano note?
Diciamo che tutte queste cose si fanno efficacemente anche con
l'ausilio di altre curve. La concoide della retta per esempio.
> Quest'uovo è un meraviglia.
> O no?
Non è male, ma non mi pare il caso di costruirci un monumento, se non
per una qualche propria convinzione artistica. Ci sono curve
altrettanto o anche più impressionanti di cui non ti ho mai sentito
parlare? Come mai? Per una fideistica convinzione che l'universo è nato
da un uovo?
> Luciano Buggio
Franco
> E figuriamoci. Hai calcolato tutto con esattezza fin qui e adesso ti
> volgi alla squadretta,
Devi anche tenere conto quanto diceva qualche giorno fa
"Io so e so fare poche cose, e nella ricerca sull'uovo, negli anni
'90, sono stato aiutato da un matematico, per i calcoli più difficili."
Una derivata e` gia` un conto difficile :)
Luciano Buggio
> Dopo dura riflessione, Luciano Buggio ha scritto :
>
> > On 1 Giu, 10:14, Luciano Buggio <bugg...@libero.it> wrote:
>
> > (cut)
>
> >> Come me l'aspetterei dal lato del quadrato circoscritto al luogo (con
> >> una diagonale allineata con l'asse maggiore).
> >> Hai voglia di calcolarlo?
>
> > Allora ho preso la squadretta 45 e mi sono disegnato il quadrato
> > circoscritto.
> > A spanne ho misurato il lato.
>
> E figuriamoci. Hai calcolato tutto con esattezza fin qui e adesso ti
> scommetto che non porti a grandi semplificazioni, magari far il conto
> e ti far saper. Ma ti dico fin d'ora che non mi aspetto e nessuno si
> aspetta che una curva algebrica possa produrre la quadratura del
> cerchio senza ricorrere almeno ad un pezzetto di spago per rettificare
> le lunghezze.
Ok.
Secondo quell'aforisma sulla immaginazione, riconosco senza probelmi
questo che dici: non si può quadrare l'uovo senza ricorrere a qualche
operazione "trascendente", cioè solo con riga e compasso.
Ma non mi hai detto quanto vale il lato del quadrato circoscritto.
Io non lo so calcolare.
> A proposito hai calcolato la lunghezza del perimetro
> dell'uovo?
No. Tu l'hai calcolato?
Luciano Buggio
Luciano Buggio
>
> > Quante cose!!
> > Ma non erano note?
>
> Diciamo che tutte queste cose si fanno efficacemente anche con
> l'ausilio di altre curve. La concoide della retta per esempio.
Dici:"con l'ausilio di altre curve".
Significa se se io prendo un'altra **sola**curva, per esempio la
concloide della retta, essa fa efficaccemente **tutte** queste cose, o
un pari numero di cose anche diverse ma altrettanto o altreppoco
rilevanti?
O semplicememtne che tutte le cose che fa l'uovo le possono fare
anche altre curve, nel loro insieme, ciascuna per la sua competenza?
Luciano Buggio
Luciano Buggio
> On 3 Giu, 23:30, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
>
> > A proposito hai calcolato la lunghezza del perimetro
> > dell'uovo?
Io no.
Però l'ha calcolato il mio amico matematico (tutti abbiamo un amico
matematico).
Controlla se è giusto.
2[2+sqr3/3*ln(2+sqr3)]R
E il baricentro dell'uovo l'hai calcolato?
Luciano Buggio
Tetis
> On 4 Giu, 00:10, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
>> Luciano Buggio ci ha detto :
>>
> (cut)
>>
>>> Quante cose!!
>>> Ma non erano note?
>>
>> Diciamo che tutte queste cose si fanno efficacemente anche con
>> l'ausilio di altre curve. La concoide della retta per esempio.
>
> Dici:"con l'ausilio di altre curve".
> Significa se se io prendo un'altra **sola**curva, per esempio la
> concloide della retta, essa fa efficaccemente **tutte** queste cose, o
> un pari numero di cose anche diverse ma altrettanto o altreppoco
> rilevanti?
Ti dico che la concoide di retta permette l'estrazione della radice
cubica e la trisezione dell'angolo. Con l'ausilio della sola riga e
compasso in aggiunta al grafico della curva.
> O semplicememtne che tutte le cose che fa l'uovo le possono fare
> anche altre curve, nel loro insieme, ciascuna per la sua competenza?
Entrambe le affermazioni sono vere. Non puoi inscrivere la concoide di
retta in un cerchio evidentemente.
> Luciano Buggio
Tetis
> On 4 Giu, 10:04, Luciano Buggio <bugg...@libero.it> wrote:
>> On 3 Giu, 23:30, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote: (cut)
>>
>>> A proposito hai calcolato la lunghezza del perimetro
>>> dell'uovo?
>
> Io no.
>
> Però l'ha calcolato il mio amico matematico (tutti abbiamo un amico
> matematico).
> Controlla se è giusto.
>
> 2[2+sqr3/3*ln(2+sqr3)]R
Io trovo:
[4 - ln(7-4 sqrt(3))/sqrt(3)]R
che è uguale, si può scrivere anche:
[4 + ln(7+4 sqrt(3))/sqrt(3)]R
> E il baricentro dell'uovo l'hai calcolato?
(1024 R)/(315 pi)?
nota quanto buona sia l'approssimazione di pi greco: 1000/318 :-)
ed i momenti d'inerzia li avete calcolati?
> Luciano Buggio
Tetis
Si.
> Luciano Buggio
Luciano Buggio
> Scriveva Luciano Buggio Saturday, 6/4/2011:
(cut)
>
> > E il baricentro dell'uovo l'hai calcolato?
>
> (1024 R)/(315 pi)?
corrisponde.
>
> nota quanto buona sia l'approssimazione di pi greco: 1000/318 :-)
Non mi sembra granchè.
Noto che il baricentro è spostato (verso il polo minore) di 35/1000
circa rispetto al punto medio dell'asse maggiore, e questa è la misura
dell'errore che tu dici.
Il centro assiale è un po' più a destra, spostato di 89/1000 circa
rispetto al punto medio..
>
> ed i momenti d'inerzia li avete calcolati?
No
Luciano Buggio
Luciano Buggio
Non hai risposto allamia domanda.
Ti avevo chiesto se da altre concoidi (quella della retta, il
trifoglio, la gardenia la cardioide o quello che vuoi), *prese
singolarmente* si può estrarre una quantità di proprietà e di rapporti
notevoli paragonabile a quelle che vengono fuori dall'uovo.
Inoltre ti avevo chiesto (per la seconda o terza volta) il lato del
quadrato circoscritto (io e il mio amico matematico non l'abbiamo
calcolato, io perchè non so fare le derivate e gli integrali, come
molto bene dice Franco che sta in America, il mio amico perchè lo
avevo incaricato solo di correggere il mio compito e di fare i calcoli
più difficili che io non so fare: quello dell'area del quadrato in
questione è un problema che in quel lontano 1997 non mi è venuto in
mente.
Mi puoi dire allora quanto fa il lato del quadrato circoscritto
all'uovo, e se è cvero che il centro delle diagonali coincide con il
centro assiale?
Luciano Buggio
Luciano Buggio
Giusto tu, quello che è stranota la cicloide con la forza che ruota.
Ho scoperto (lo scoprii già dieci anni fa, poi non ci ho più pensato)
che ***non è vero*** che un elettrone in EB incrociati fa la cIcloide.
Che mi dici, tu che sai integrare e derivare?
Luciano Buggio
Tetis
>>
>> ed i momenti d'inerzia li avete calcolati?
>
> No
>
> Luciano Buggio
Ed i punti di minima curvatura li avevate calcolati? Ed il centro di
curvatura del polo minore? E la relazione che intercorre fra questo
centro e l'estremo dell'asse minore?
Tetis
>> On 6/3/2011 14:30, Tetis wrote:
>>
>>> E figuriamoci. Hai calcolato tutto con esattezza fin qui e adesso ti
>>> volgi alla squadretta,
>>
>> Devi anche tenere conto quanto diceva qualche giorno fa
>>
>> '90, sono stato aiutato da un matematico, per i calcoli piￜ difficili."
>>
>> Una derivata e` gia` un conto difficile :)
>
> Ho scoperto (lo scoprii giￜ dieci anni fa, poi non ci ho piￜ pensato)
> che ***non ￜ vero*** che un elettrone in EB incrociati fa la cIcloide.
> Che mi dici, tu che sai integrare e derivare?
>
> Luciano Buggio
E giￜ a quel tempo: " a chi ne davi, a chi ne promettevi". Ma direi che potendo trascurare l'irraggiamento, in condizioni di campi statici ￜ proprio quello che sia l'elettrone che il protone, che il positrone, che il muone, etc..., partendo da fermi, fanno.
Luciano Buggio
> Luciano Buggio scriveva il 6/4/2011 :
>
> > On 4 Giu, 16:23, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
> (cut)
>
> >> ed i momenti d'inerzia li avete calcolati?
>
> > No
>
> > Luciano Buggio
>
> Ed i punti di minima curvatura li avevate calcolati?
Si.
>Ed il centro di
> curvatura del polo minore?
Sì
> E la relazione che intercorre fra questo
> centro e l'estremo dell'asse minore?
Sì. 1/3, anche se da questo disegno si vede male: bisogna risalire più
indietro nel tempo.
Luciano Buggio
Luciano Buggio
> Sembra che Luciano Buggio abbia detto :
>
>
>
>
>
> > On 4 Giu, 08:37, Franco <in...@hotmail.com> wrote:
> >> On 6/3/2011 14:30, Tetis wrote:
>
> >>> E figuriamoci. Hai calcolato tutto con esattezza fin qui e adesso ti
> >>> volgi alla squadretta,
>
> >> Devi anche tenere conto quanto diceva qualche giorno fa
>
> >> '90, sono stato aiutato da un matematico, per i calcoli pi difficili."
>
> >> Una derivata e` gia` un conto difficile :)
>
> > Ho scoperto (lo scoprii gi dieci anni fa, poi non ci ho pi pensato)
> > che ***non vero*** che un elettrone in EB incrociati fa la cIcloide.
> > Che mi dici, tu che sai integrare e derivare?
>
> > Luciano Buggio
>
> fanno.-
Potresi essere più chiaro? Che cosa vuoi dire?
Ma, restando nel merito, è vero o no che E e B incrociati fanno fare
all'elettrone una traiettoria cicloidale?
Luciano Buggio
Tetis
> On 5 Giu, 15:47, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
>> Luciano Buggio scriveva il 6/4/2011 :
>>
>>> On 4 Giu, 16:23, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
>> (cut)
>>
>>>> ed i momenti d'inerzia li avete calcolati?
>>> No
>>
>>> Luciano Buggio
>>
>> Ed i punti di minima curvatura li avevate calcolati?
>
> Si.
Ed i corrispettivi centri di curvatura da che parte li trovavate
rispetto all'asse maggiore?
>> Ed il centro di
>> curvatura del polo minore?
>
> Sì
>
>> E la relazione che intercorre fra questo
>> centro e l'estremo dell'asse minore?
>
> Sì. 1/3, anche se da questo disegno si vede male: bisogna risalire più
> indietro nel tempo.
a me risulta che l'ascissa del centro è 4/3 R e che di conseguenza la
circonferenza con centro nel polo maggiore che passa per questo centro
passa anche per l'estremo dell'asse maggiore.
> Luciano Buggio
Tetis
>> Sembra che Luciano Buggio abbia detto :
>>
>>
>>
>>
>>
>>> On 4 Giu, 08:37, Franco <in...@hotmail.com> wrote:
>>>> On 6/3/2011 14:30, Tetis wrote:
>>
>>>>> E figuriamoci. Hai calcolato tutto con esattezza fin qui e adesso ti
>>>>> volgi alla squadretta,
>>
>>>> Devi anche tenere conto quanto diceva qualche giorno fa
>>>> "Io so e so fare poche cose, e nella ricerca sull'uovo, negli anni
>>>> '90, sono stato aiutato da un matematico, per i calcoli pi difficili."
>>>> Una derivata e` gia` un conto difficile :)
>>> Giusto tu, quello che stranota la cicloide con la forza che ruota.
>>> Ho scoperto (lo scoprii gi dieci anni fa, poi non ci ho pi pensato)
>>> che ***non vero*** che un elettrone in EB incrociati fa la cIcloide.
>>> Che mi dici, tu che sai integrare e derivare?
>>> Luciano Buggio
>>
>> E gi a quel tempo: " a chi ne davi, a chi ne promettevi". Ma direi che
>> potendo trascurare l'irraggiamento, in condizioni di > campi statici proprio
>> quello che sia l'elettrone che il protone, che il positrone, che il muone,
>> etc..., partendo da fermi, fanno.-
>
> Potresi essere più chiaro?
Molto più chiaro: manifesti spesso una specie di odio atavico e di
sadismo nelle tue risposte, che solo in minima misura si giustifica con
il sarcasmo dei tuoi interlocutori, spesso ne è la causa.
> Che cosa vuoi dire?
Che quando sei intervenuto su questo ng hai pensato di venire qui ad
insegnare l'educazione alla gente del ng che ai tuoi occhi doveva
apparire rea di aderire ad un metodo scientifico che giudichi
(conoscendolo poco e per sentito dire) e condanni rifiutandone tutte le
implicazioni che nella tua percezione approssimata equivalgono a
ragionamenti fatti sul filo della menzogna o della fantasia, un poco
come i tuoi modelli.
> Ma, restando nel merito, è vero o no che E e B incrociati fanno fare
> all'elettrone una traiettoria cicloidale?
Si è vero se l'elettrone è inizialmente fermo e se E e B sono
ortogonali ed uniformi e costanti nel tempo.
> Luciano Buggio
Tetis
> Luciano Buggio scriveva il 6/5/2011 :
>>> Ed il centro di
>>> curvatura del polo minore?
>>
>> Sì
>>
>>> E la relazione che intercorre fra questo
>>> centro e l'estremo dell'asse minore?
>>
>> Sì. 1/3, anche se da questo disegno si vede male: bisogna risalire più
>> indietro nel tempo.
>
> a me risulta che l'ascissa del centro è 4/3 R e che di conseguenza la
> circonferenza con centro nel polo maggiore che passa per questo centro passa
> anche per l'estremo dell'asse maggiore.
per l'estremo dell'asse __minore__ ovviamente.
Luciano Buggio
> Luciano Buggio scriveva il 6/5/2011 :
>
> > On 5 Giu, 15:47, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
> >> Luciano Buggio scriveva il 6/4/2011 :
>
> >>> On 4 Giu, 16:23, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
> >> (cut)
>
> >>>> ed i momenti d'inerzia li avete calcolati?
> >>> No
>
> >>> Luciano Buggio
>
> >> Ed i punti di minima curvatura li avevate calcolati?
>
> > Si.
>
> Ed i corrispettivi centri di curvatura da che parte li trovavate
> rispetto all'asse maggiore?
>
> >> Ed il centro di
> >> curvatura del polo minore?
>
> > Sì
>
> >> E la relazione che intercorre fra questo
> >> centro e l'estremo dell'asse minore?
>
> > Sì. 1/3, anche se da questo disegno si vede male: bisogna risalire più
> > indietro nel tempo.
>
> a me risulta che l'ascissa del centro è 4/3 R e che di conseguenza la
> circonferenza con centro nel polo maggiore che passa per questo centro
> passa anche per l'estremo dell'asse maggiore.
Scusa avevo letto "asse maggiore".
1/3R è la distanza tra il centro di curvatura del polo minore ed il
polo minore stesso.
D'altra, per fare paro, tu qui scambi l'asse maggiore per l'asse
minore:-)
Però questo non l'avevo visto, anche se viene immediato applicando
Pitagora ai due semiassi.
Luciano Buggio
>
>
>
> >http://medicinapertutti.altervista.org/anatomia_normale/apparato_loco...
> > Luciano Buggio- Nascondi testo citato
>
> - Mostra testo citato -
Tetis
>> Luciano Buggio scriveva il 6/5/2011 :
>>
>>> On 5 Giu, 15:47, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
>>>> Luciano Buggio scriveva il 6/4/2011 :
>>>>> On 4 Giu, 16:23, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
>>>> (cut)
>>
>>>>>> ed i momenti d'inerzia li avete calcolati?
>>>>> No
>>
>>>>> Luciano Buggio
>>
>>>> Ed i punti di minima curvatura li avevate calcolati?
>>> Si.
>>
>> Ed i corrispettivi centri di curvatura da che parte li trovavate
>> rispetto all'asse maggiore?
>>
> D'altra, per fare paro, tu qui scambi l'asse maggiore per l'asse
> minore:-)
Non ti sei accorto della rettifica del 6/5/2011 ore 4:52:07
evidentemente hai impiegato più di cinque minuti a comporre questa
risposta :-)
> Però questo non l'avevo visto, anche se viene immediato applicando
> Pitagora ai due semiassi.
Boh, io quando ho calcolato l'estremo del semiasse minore ho trovato
direttamente un'equazione nella distanza radiale e poi di conseguenza
ho calcolato le coordinate.
>> Ed i punti di minima curvatura li avevate calcolati?
> Si.
Ed i corrispettivi centri di curvatura da che parte li trovavate
rispetto all'asse maggiore?
Tetis.
Luciano Buggio
La domenica bisognerebbe riposare: è evidentemente 1/3 dell'asse
maggiore, 2R, non del raggio R (era più giusto quando avevo scritto
semplicemente 1/3)
Luciano Buggio
>
> > D'altra, per fare paro, tu qui scambi l'asse maggiore per l'asse
> > minore:-)
>
> Non ti sei accorto della rettifica del 6/5/2011 ore 4:52:07
> risposta :-)
Esatto.
>
> > Per questo non l'avevo visto, anche se viene immediato applicando
> > Pitagora ai due semiassi.
>
> Boh, io quando ho calcolato l'estremo del semiasse minore ho trovato
> direttamente un'equazione nella distanza radiale e poi di conseguenza
> ho calcolato le coordinate.
>
> >> Ed i punti di minima curvatura li avevate calcolati?
> > Si.
>
> Ed i corrispettivi centri di curvatura da che parte li trovavate
> rispetto all'asse maggiore?
Che domanda, evidentemente dalla parte opposta, essendo lì i raggi
massimi.
Tu hai calcolato la distanza di quei due centri dall'asse maggiore (o
la lunghezza dei raggi)?
Noi no, non cercammo a suo tempo le proprietà dell'evoluta dell'uovo.
Naturalmente quel riferiemtno alla fontanella è cosa mia, piuttosto
recente, non può essere farina del mio amico matematico, il quale
forse, proprio perchè solo matematico, avrebbe glissato come hai fatto
tu:-)
Guarda che non sono nè steineriano nè figlio di Gea, nè mi è piaciuta
la tua insinuazione su pregiudizi cosmici.
Mi piace solo osservare le ricorrenze della realtà.
Luciano buggio
Luciano Buggio
> Luciano Buggio ha usato la sua tastiera per scrivere :
>
>
>
>
>
> > On 5 Giu, 16:11, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
> >> Sembra che Luciano Buggio abbia detto :
>
> >>> On 4 Giu, 08:37, Franco <in...@hotmail.com> wrote:
> >>>> On 6/3/2011 14:30, Tetis wrote:
>
> >>>>> E figuriamoci. Hai calcolato tutto con esattezza fin qui e adesso ti
> >>>>> volgi alla squadretta,
>
> >>>> Devi anche tenere conto quanto diceva qualche giorno fa
> >>>> "Io so e so fare poche cose, e nella ricerca sull'uovo, negli anni
> >>>> '90, sono stato aiutato da un matematico, per i calcoli pi difficili."
> >>>> Una derivata e` gia` un conto difficile :)
> >>> Giusto tu, quello che stranota la cicloide con la forza che ruota.
> >>> Ho scoperto (lo scoprii gi dieci anni fa, poi non ci ho pi pensato)
> >>> che ***non vero*** che un elettrone in EB incrociati fa la cIcloide.
> >>> Che mi dici, tu che sai integrare e derivare?
> >>> Luciano Buggio
>
> >> E gi a quel tempo: " a chi ne davi, a chi ne promettevi". Ma direi che
> >> potendo trascurare l'irraggiamento, in condizioni di > campi statici proprio
> >> quello che sia l'elettrone che il protone, che il positrone, che il muone,
> >> etc..., partendo da fermi, fanno.-
>
>
> Molto pi chiaro: manifesti spesso una specie di odio atavico e di
> sadismo nelle tue risposte, che solo in minima misura si giustifica con
>
> > Che cosa vuoi dire?
>
> Che quando sei intervenuto su questo ng hai pensato di venire qui ad
> insegnare l'educazione alla gente del ng che ai tuoi occhi doveva
> apparire rea di aderire ad un metodo scientifico che giudichi
> (conoscendolo poco e per sentito dire) e condanni rifiutandone tutte le
> implicazioni che nella tua percezione approssimata equivalgono a
> ragionamenti fatti sul filo della menzogna o della fantasia, un poco
> come i tuoi modelli.
>
> > all'elettrone una traiettoria cicloidale?
>
> ortogonali ed uniformi e costanti nel tempo.
Dunque.
Se avessimo solo B e l'elettrone inizialmente fermo, la traeittria
sarebbe circolare, a velocità costante, su un piano ortogoanle a B.
Attiviamo ora un campo E trasversale a B, quindi nella direzione del
piano in cui si svolgeva la traiettoria circolare dell'elettrone.
.
L'elettrone viene allora anche spinto in quella direzione e la
traiettoria non sarà più un cerchio.
Ma a che velocità verrà spinto lungo E?
Luciano Buggio
Tetis
> Che domanda, evidentemente dalla parte opposta, essendo lì i raggi
> massimi.
> Tu hai calcolato la distanza di quei due centri dall'asse maggiore (o
> la lunghezza dei raggi)?
Certo, ho calcolato già qualche tempo fa: coordinate, raggio di
curvatura, distanza dall'asse minore e punto di intersezione fra il
cerchio passante per i centri e l'uovo.
> Noi no, non cercammo a suo tempo le proprietà dell'evoluta dell'uovo.
E la forza che produce questa figura partendo dalla posizione di riposo
in corrispondenza del polo minore l'avrai determinata però.
> Naturalmente quel riferiemtno alla fontanella è cosa mia, piuttosto
> recente, non può essere farina del mio amico matematico, il quale
> forse, proprio perchè solo matematico, avrebbe glissato come hai fatto
> tu:-)
Ma guarda che l'evoluta dell'uovo è una sola curva chiusa, non due e la
forma non somiglia, piuttosto mi sarei aspettato, da par tuo, qualche
collegamento fra la linea in cui un uovo si apre al momento della
schiusa e le proprietà geometriche.
> Guarda che non sono nè steineriano nè figlio di Gea, nè mi è piaciuta
> la tua insinuazione su pregiudizi cosmici.
Non è un'insinuazione. Si constata dal tuo sito altervista. Manca poco
che parli di complotto della comunità scientifica per nascondere
l'evidenza naturale della tua "teoria". Non ti sembra una posizione un
poco squilibrata, in mancanza di una tua teoria?
Tetis
>Che domanda, evidentemente dalla parte opposta, essendo lì i raggi
>massimi.
>Tu hai calcolato la distanza di quei due centri dall'asse maggiore (o
>la lunghezza dei raggi)?
Certo, ho calcolato già qualche tempo fa: coordinate, raggio di
curvatura, distanza dall'asse minore e punto di intersezione fra il
cerchio passante per i centri e l'uovo.
>Noi no, non cercammo a suo tempo le proprietà dell'evoluta dell'uovo.
E la forza che produce questa figura partendo dalla posizione di riposo
in corrispondenza del polo minore l'avrai determinata però.
>Naturalmente quel riferiemtno alla fontanella è cosa mia, piuttosto
>recente, non può essere farina del mio amico matematico, il quale
>forse, proprio perchè solo matematico, avrebbe glissato come hai fatto
>tu:-)
Ma guarda che l'evoluta dell'uovo è una sola curva chiusa, non due e la
forma non somiglia, piuttosto mi sarei aspettato, da par tuo, qualche
collegamento fra la linea in cui un uovo si apre al momento della
schiusa e le proprietà geometriche.
>Guarda che non sono nè steineriano nè figlio di Gea, nè mi è piaciuta
>la tua insinuazione su pregiudizi cosmici.
Non è un'insinuazione. Si constata dal tuo sito altervista. Manca poco
che parli di complotto della comunità scientifica per nascondere
l'evidenza naturale della tua "teoria". Non ti sembra una posizione un
poco squilibrata, in mancanza di una tua teoria?
Tetis
> Dunque.
> Se avessimo solo B e l'elettrone inizialmente fermo, la traeittria
> sarebbe circolare, a velocità costante, su un piano ortogoanle a B.
No se avessimo solo B e l'elettrone inizialmente fermo l'elettrone
rimarrebbe fermo al suo posto.
> Attiviamo ora un campo E trasversale a B, quindi nella direzione del
> piano in cui si svolgeva la traiettoria circolare dell'elettrone.
> .
> L'elettrone viene allora anche spinto in quella direzione e la
> traiettoria non sarà più un cerchio.
>
> Ma a che velocità verrà spinto lungo E?
inizialmente fermo. Quindi viene accelerato lungo E e nel frattempo
comincia a derivare. La forza totale risulta dalla somma del campo
elettrico costante e della forza di Lorentz in modo che la risultante
ruota restando costante in modulo.
> Luciano Buggio
Luciano Buggio
> Luciano Buggio ha detto questo Sunday :
>
> > Che domanda, evidentemente dalla parte opposta, essendo lì i raggi
> > massimi.
> > Tu hai calcolato la distanza di quei due centri dall'asse maggiore (o
> > la lunghezza dei raggi)?
>
> Certo, ho calcolato già qualche tempo fa: coordinate, raggio di
> curvatura, distanza dall'asse minore e punto di intersezione fra il
> cerchio passante per i centri e l'uovo.
Non n edubitavo.
E i risultati? I numeri?
>
> > Noi no, non cercammo a suo tempo le proprietà dell'evoluta dell'uovo.
>
> E la forza che produce questa figura partendo dalla posizione di riposo
> in corrispondenza del polo minore l'avrai determinata però.
Dal polo minore?
Ma non si va meglio dal maggiore?
>
> > Naturalmente quel riferiemtno alla fontanella è cosa mia, piuttosto
> > recente, non può essere farina del mio amico matematico, il quale
> > forse, proprio perchè solo matematico, avrebbe glissato come hai fatto
> > tu:-)
>
> Ma guarda che l'evoluta dell'uovo è una sola curva chiusa, non due e la
> forma non somiglia,
> Ma la fontanella (il buco romboidale nel cranio) non è una curva chiusa? E la sua forma non è simile a quella dell'evoluta?
> piuttosto mi sarei aspettato, da par tuo, qualche
> collegamento fra la linea in cui un uovo si apre al momento della
> schiusa e le proprietà geometriche.
Non capisco.
>
> > Guarda che non sono nè steineriano nè figlio di Gea, nè mi è piaciuta
> > la tua insinuazione su pregiudizi cosmici.
>
> Non è un'insinuazione. Si constata dal tuo sito altervista. Manca poco
> che parli di complotto della comunità scientifica
Non hai capito, qual "cosmico" si riferisce all'"uovo cosmico", a
questa tua insinuazione di ieri o l'altro ieri:
--------------
Non è male, ma non mi pare il caso di costruirci un monumento, se
non
per una qualche propria convinzione artistica. Ci sono curve
altrettanto o anche più impressionanti di cui non ti ho mai sentito
parlare? Come mai? Per una fideistica convinzione che l'universo è
nato
da un uovo?
------------
Colgo l'occasione per rilevare che, anche dopo ripetute richieste, non
mi hai ancora indicato queste curve, che farebbero, ciascuna, tante
cose quante ne fa l'uovo.
> per nascondere
> l'evidenza naturale della tua "teoria". Non ti sembra una posizione un
> poco squilibrata, in mancanza di una tua teoria?
Guarda che io una teoria ce l'ho.
Luciano Buggio
Luciano Buggio
Viene accelerato lungo E.
Quindi va sommata in ogni punto della traeittoria circolare una
velocità, diretta come E, che cresce nel tempo?
Luciano Buggio