radice n-esima di n
rw
lim n^(1/n) = 1
n->+oo
ovviamente in N
non mi parlate di isomorfismo con R per n->+oo, vi prego. MI servirebbe una
dimostrazione nei naturali, per
induzione, confronto o quel che vi pare ...
vi ringrazio moltissimo!
Simone
> come si dimistra che :
>
> lim n^(1/n) = 1
> n->+oo
>
> ovviamente in N
> non mi parlate di isomorfismo con R per n->+oo, vi prego. MI servirebbe una
> dimostrazione nei naturali, per
> induzione, confronto o quel che vi pare ...
Basta calcolare il limite della successione log(n)/n. Questo limite,
ovviamente nullo,
si calcola ad esempio mediante il criterio del rapporto.
rw
"Simone" <adms...@gmail.com> ha scritto nel messaggio
news:4b0b...@news.unimib.it...
Joubert
> ma non � mica una serie ...
No ma � un limitone "notevole".
Simone
> ma non � mica una serie ...
Esiste un criterio del rapporto anche per le successioni. Ad esempio, se
a_{n+1}/a_n tende ad un limite positivo e minore strettamente di 1,
allora a_n tende a zero. Se il limite del quoziente e' maggiore di 1,
la successione diverge. Cosi' si dimostra che {e^n/n^2} diverge, per
esempio.
El Filibustero
>come si dimistra che :
>
> lim n^(1/n) = 1
>n->+oo
>
>ovviamente in N
>non mi parlate di isomorfismo con R per n->+oo, vi prego. MI servirebbe una
>dimostrazione nei naturali, per induzione, confronto o quel che vi pare ...
Confronto. n^(1/n) < 1+sqrt(2n)/n. Infatti elevando alla n-esima potenza il
binomio a secondo membro si ha
(1+sqrt(2n)/n)^n = somma{k=0..n} (n su k) (sqrt(2n)/n)^k
Di questa somma di termini positivi sono sufficienti solo gli addendi per
k=0 (cioe' 1) e k=2 (cioe' (n su 2)(sqrt(2n)/n)^2) per fare n:
1 + (n su 2)(sqrt(2n)/n)^2 = 1 + n(n-1)/2*2n/n^2 = n
Allora (1+sqrt(2n)/n)^n > n =====> 1+sqrt(2n)/n > n^(1/n). Ciao