Volume massimo di cono retto inscritto in una sfera
Nimrod
oggi ero alle prese con il problemino dell'oggetto, determinare il volume
massimo di un cono inscritto in una sfera di raggio R. Penso di averlo
risolto, ma c'è un passaggio che non mi convince molto, vi espongo il mio
procedimento, così magari trovate il supposto errore.
Un paio di dati prima di cominciare:
a = area di base del cono
r = raggio della circonferenza della base del cono
h = altezza del cono
Inizialmente ho pensato la base del cono come un punto, quindi a=0.
Successivamente ho pensato che questa si allargasse fino a raggiungere la
massima circonferenza consentita. Quindi il dominio dell'altezza del cono è
compreso tra R e 2R, quello del raggio dell'area è compreso tra 0 e 2R.
Ora, l'area di base del cono è f(r), e anche l'altezza è una f(r), dato che
varia in funzione della variazione di r.
Il dubbio sorge adesso, io ho impostato h= 2R-(a\pi*R), in questo modo
quando a = max; min il risultato è corrispondente ai dati. Quello che non mi
convince sono i valori intermedi, non ho nessuna certezza che la funzione
trovata sia esatta quando r è diverso da 0,R.
Ad ogni modo, procediamo. A questo punto il problema è molto semplice, con
(h*a)\3 mi trovo l'area in funzione del raggio, derivo il tutto, calcolo il
massimo e lo sostituisco nella formla del volume. A me risulta R = r come
massimo e (pi*r^3)\3 come volume massimo.
Tranne il passaggio incriminato mi sembra che il procedimento sia abbastanza
efficace, però non saprei, illuminatemi per favore.
Grazie
meatwork
Prendi una semicirconferenza di centro O e diametro AB. Chiama H un
punto compreso tra A e O e C il punto ottenuto intersecando la
semicirconferenza con la perpendicolare ad AB passante per H. Facendo
ruotare il tutto attrono al diametro AB trovi un cono di altezza HB e
raggio di base HC inscritto in una sfera di raggio r=OB. Poni x=HB e y=
HC. Per il 2 teo di Euclide trovi che y^2=HC^2=AH*HB=(2r-x)x. Il volume
del cono e` uguale a (pi/3)(xy^2)=(pi/3)(2rx^2-x^3). Questa funzione ha
massimo per x=4r/3 nell'intervallo (r,2r).
Ti propongo in cambio di trovare il quadrilatero di area massima
inscrittibile in una circonferenza senza usare il calcolo
differenziale...
Ciao
me@work