Distanze fra numeri primi consecutivi
burundangone
a
questa mia curiosita':
Quali sono le massime distanze fra numeri primi
consecutivi?
Mi spiego:
anni fa ho fatto un programma per pc per trovare
i numeri primi e ho trovato i primi 10.000.000 di numeri primi.In margine a
questo
programma ho evidenziato le distanze massime trovate fra un numero
primo e il successivo, come riassunto qui sotto:
(Numero
d'ordine,numero primo, distanza dal precedente)
2,3,2
5,11,4
10,29,6
25,97,8
31,127,14
100,541,18
155,907,20
190,1151,22
218,1361,34
1184,9587,36
1832,15727,44
2226,19661,52
3386,31469,72
14358,156007,86
30803,360749,96
31546,370373,112
40934,492227,114
103522,1349651,118
104072,1357333,132
149690,2010881,148
325845,4652507,154
1094414,17051887,180
1319938,20831533,210
2850167,47326913,220
6957869,122164969,222
(p.e. il 6.957.869° numero primo e' 122.164.969,
e dista dal precedente, che e' 122.164.747, 222 unita'.)
E' intuitivo
che la massima distanza fra due numeri primi tende ad aumentare sempre,
essendo gli stessi sempre meno frequenti col crescere delle cifre, pero'
aumenta molto lentamente, considerando che fino al
10.000.004° numero
primo trovato (179.424.871) la distanza massima trovata era ancora di 222.
C'e' qualcuno che abbia un idea sull'andamento di queste distanze?
Grazie
--------------------------------
Inviato via http://usenet.iol.it
Sergio Gayol Menéndez
burundangone wrote:
> E' intuitivo
> che la massima distanza fra due numeri primi tende ad aumentare sempre,
> essendo gli stessi sempre meno frequenti col crescere delle cifre, pero'
> aumenta molto lentamente, considerando che fino al
> 10.000.004° numero
> primo trovato (179.424.871) la distanza massima trovata era ancora di 222.
> C'e' qualcuno che abbia un idea sull'andamento di queste distanze?
> Grazie
La successione n/ln n approssima abbastanza bene il numero di primi minori
o uguali ad n.Sia p(n)=n/ln
A me viene in mente qualcosa come... dato un certo n, abbiamo piů o
meno p(n) primi minori o uguali a n. Che numero a dobbiamo prendere
affinché sia p(n+a)=p(n)+1, cioč, che abbiamo, sperabilmente, un
numero primo in piů. Allora, per ogni n avremmo un certo a, abbiamo
quindi una successione che ad ogni n assegna un a. Io prenderei
l'equazione (n+a)/ln (n+a)=n/ln n + 1
e tirerei fuori a come funzione di n. Spero che alcuno piů adetto ai lavori
mi indichi se quanto ho scritto ha alcun senso oppure ho scritto una grossa
scemezza. Supponendo che p(n) fosse perfetta, voglio dire. Naturalmente,
non dobbiamo lasciare assolutamente di parte che i numeri primi non si
comportano cosě semplicemente e che i problemi che pongono i numeri primi
si trovano tra i piů difficili della matematica.
Ciao,
Sergio
misto fritto
> A me viene in mente qualcosa come... dato un certo n, abbiamo più o
> meno p(n) primi minori o uguali a n. Che numero a dobbiamo prendere
> affinché sia p(n+a)=p(n)+1, cioè, che abbiamo, sperabilmente, un
> numero primo in più. Allora, per ogni n avremmo un certo a, abbiamo
> quindi una successione che ad ogni n assegna un a. Io prenderei
> l'equazione (n+a)/ln (n+a)=n/ln n + 1
> e tirerei fuori a come funzione di n.
e cosa ne ricaveresti? per vedere come aumenta la distanza tra primi
devi considerare le derivate prima e seconda della funzione che ne
approssima il numero, e vedere come si comporta.
MarcoST
> Quali sono le massime distanze fra numeri primi
> consecutivi?
Credo che sia dimostrabile che dato m naturale
esistono p1 e p2 primi consecutivi tali che p2-p1>m
Ora ci provo...
Se troviamo che un n>m tale che
1|n (1 divide n)
2|n+1
3|n+2
...
m|n+m-1
abbiamo trovato che n , n+1 , ... , n+m-1
sono m numeri distinti non primi
(sono divisi per dei numeri piu' piccoli)
Ora, dato m, consideriamo
n = m! + 1
Allora, per ogni 1 <= i <= m
n = 1 (mod i),
da cui, per ogni 1 <= i <= m
i | n+i-1
e i<n
dunque fra n , n+1 , ... , n+m-1
non esistono primi,
Se p1 e' il primo piu' grande t.c. p1 < n
e p2 e' il piu' piccolo t.c. p2 >= n+m
p1 e p2 sono consecutivi e
abbiamo p2-p1 >= m
Ho detto qualche fesseria ?
ciao
MarcoST
MarcoST
> Ho detto qualche fesseria ?
>
uhm... credo di averla fatta MOLTO piu' complicata del necessario...
dato n=m!, per ogni i<m
i| m!+i, da cui ho m numeri consecutivi non primi...
..
Ciao
MarcoST
burundangone
arcano posso venire
svelato da una formula.
E' chiaro che le distanze fra i numeri primi
tendono ad aumentare,
ma poiche' con il mio programma avevo notato
SPERIMENTALMENTE
questa grossa difficolta' dei numeri primi ad avere
troppa
distanza dai precedenti....
Ripeto che la massima distanza da me
trovata, 222 e' rimasta insuperata
per ulteriori 4.000.000 di numeri primi
trovati dopo di essa, e io mi chiedo quando, a che punto intercorrera' una
distanza superiore a questa.
Purtroppo ho paura che la risposta sia solo
SPERIMENTALE: andare a vedere, cioe', in una lunga serie consecutiva serie
dei numeri primi, le distanze che intercorrono fra di loro.
Grazie per
l'aiuto , siete stati magnifici. Chiedete anche in giro, se sapete qualcosa
sono qui'. Grazie e ciao
misto fritto
> Grazie per
> l'aiuto , siete stati magnifici. Chiedete anche in giro, se sapete
> qualcosa sono qui'. Grazie e ciao
studia la funzione n/ln, e soprattutto le sue derivate prima e seconda,
e capirai
Sergio Gayol Menéndez
burundangone wrote:
> Ragazzi, vi ringrazio tutti ma non credo che questo
> arcano posso venire
> svelato da una formula.
Aspetta un po'.... se non sbaglio le distanze tra due numeri
primi consecutivi, n, numero primo, e il seguente primo,
sono simili a ln n.... Avevo pensato sulla questione in un
momento in cui la finale della supercoppa di calcio spagnola
si stava facendo particolarmente noiosa :-)))) [sarebbero le
undici, più o meno] ma non mi sono messo al computer fino adesso.
Spiego, per eventuali correzioni, nel prossimo msg.
Ciao,
Sergio
Sergio Gayol Menéndez
Misto fritto ha scritto:
> "Sergio Gayol Menéndez" ha scritto:
>
> > A me viene in mente qualcosa come... dato un certo n, abbiamo piů o
> > meno p(n) primi minori o uguali a n. Che numero a dobbiamo prendere
> > affinché sia p(n+a)=p(n)+1, cioč, che abbiamo, sperabilmente, un
> > numero primo in piů. Allora, per ogni n avremmo un certo a, abbiamo
> > quindi una successione che ad ogni n assegna un a. Io prenderei
> > l'equazione (n+a)/ln (n+a)=n/ln n + 1
> > e tirerei fuori a come funzione di n.
>
> e cosa ne ricaveresti? per vedere come aumenta la distanza tra primi
> devi considerare le derivate prima e seconda della funzione che ne
> approssima il numero, e vedere come si comporta.
>
Vediamo, ne ricaverei che, se la funzione p fosse esatta, e l'equazione posta
facile da
risolvere, avrei l'incremento di n, che ho chiamato 'a' che ci permette di
arrivare
al seguente numero primo, dato un certo numero primo n. Siccome la funzione p
non ci da alcun dato esatto, non ha importanza calcolare l'incremento esatto,
visto
che solo ci mostra come vanno le cose. Per di piů, l'equazione ottenuta č
orrendamente difficile. Allora, non ci conviene di sollevarci un mal di testa
studiandola, e, come dici tu, ci conviene studiarne la derivata. Lasciamo di
parte
l'incremento della funzione, e consideriamo l'incremento della retta tangente
ad
essa nel punto n, insomma, la funzione incrementale della tangente e non quella
della funzione. Studiamo allora la miglior approssimazione lineale a p. Giusto?
[Tutto questo per dire che non trovo assolutamente assurdo il ragionamento di
questo pomeriggio, anche se č vero che č piuttosto inutile].
Andiamo al dunque, allora. Se p(x)=x/ln x abbiamo p'(x)=(ln x-1)/ln^2 x.
Allora, la funzione p si incrementa, nelle vicinanze del punto x=n come
quelle volte [(ln n-1)/ln^2 x] quanto si incrementa la variabile indipendente.
Si tiene che, affinché cresca uno (cioč, che troviamo sperabilmente il primo
seguente a n), dobbiamo incrementare l'argomento di p in 1/[(ln x-1)/ln^2x],
cioč, in ln^2 x/(ln x-1). D'altra parte, man mano che n si fa grande l'uno che
resta nel denominatore si fa meno significativo, per n grande, ln^2 x/(ln x-1)
si va facendo simile a ln n. Si potrebbe aumentare il rigore del discorso, ma
per vedere cosa accade credo quanto detto serve.
Ciao,
Sergio
Norberto Gavioli
Se non ricordo male, esistono intervalli arbitrariamente lunghi di
interi consecutivi che non contengono primi. Es: n!+2 e` divisibile per
2, n!+3 e` divisibile per 3,..., n!+n-1 e` divisibile per n-1.
Ciao,
Norberto
misto fritto
> Se non ricordo male, esistono intervalli arbitrariamente lunghi di
> interi consecutivi che non contengono primi. Es: n!+2 e` divisibile
> per 2, n!+3 e` divisibile per 3,..., n!+n-1 e` divisibile per n-1.
cioe' il nostro burundangone per superare sicuramente la differenza
222, deve andare oltre 223! + 222 = 2.4987318544 x 10^428 + 222 :)
Norberto Gavioli
Diciamo che tra 223!+2 e 223!+223 non ci sono primi. Pero` nulla vieta
che ci sia una sequenza di a, a+1, ... , a+221 di interi consecutivi che
non contiene primi con a < 223!+2 (ci vuole tanta pazienza per
verificarlo...).
Ciao
Norberto
burundangone
l'aiuto, ma, purtroppo non credo che ci siamo:
1) Non mi muovo piu'
agilmente tra formule e funzioni...
2) Non credo che che possano fornire
la risposta che cercavo, possono solo confortare cio' che e' intuitivo in
questo caso, ma non potranno dare risultati certi perche' l'aleatorieta'
della distribuzione secondo me non
lascia via di scampo...
A parte cio'
mi e' sorto il dubbio di non aver posto bene il problema,
poiche', se non
sbaglio c'e' una certa confusione tra distanze e N. primi,
percio'
permettetemi un ulteriore analisi:
Abbiamo visto che
il 6.957.869° numero
primo, e cioe' 122.164.969,dista 222 unita' dal precedente, che e'
122.164.747.
Fra tutti i numeri precedenti non c'era mai stata una
distanza tale....
e non verra' ancora superata nei successivi 3.000.000 di
n. primi,
infatti il piu' alto numero primo che il programma aveva
trovato, e'
il 10.000.004° (179.424.871).....
percio' fra nessuno degli
ultimi tre milioni di numeri primi consecutivi
trovati c'era stata una
distanza superiore a quella (222) trovata col
6.957.869° numero.
per
sapere quando (dove) intercorra una distanza maggiore di 222,
non resta
altro da fare, secondo me, che consultare visivamente una lunga lista di
n.primi consecutivi piu' grandi di quelli scorsi dal mio programma, e
verificare "in loco" le singole distanze....
Puo' essere che sia solo
cosi??????
Ciao ancora a tutti
burundangone
Ciao Norberto, un grazie anche a te per l'aiuto ma volevo chiederti una
cosa:
ho notato che l'orario in cui risulta spedito il tuo ultimo msg
risulta sfalsato in maniera incomprensibile da quello degli altri msg.
Mi
chiedo se e' dovuto al clock del tuo p.c.(ma mi sembra strano, l'orario
dovrebbe essere gestito dal group)....
Che ne pensi?
Ciao
misto fritto
> Diciamo che tra 223!+2 e 223!+223 non ci sono primi. Pero` nulla vieta
> che ci sia una sequenza di a, a+1, ... , a+221 di interi consecutivi
> che non contiene primi con a < 223!+2 (ci vuole tanta pazienza per
> verificarlo...).
e infatti io ho scritto "per superare *sicuramente*" :)
misto fritto
> percio' fra nessuno degli ultimi tre milioni di numeri primi
> consecutivi trovati c'era stata una
> distanza superiore a quella (222) trovata col 6.957.869° numero.
> per sapere quando (dove) intercorra una distanza maggiore di 222,
> non resta altro da fare, secondo me, che consultare visivamente una
> lunga lista di n.primi consecutivi piu' grandi di quelli scorsi dal
> mio programma, e verificare "in loco" le singole distanze....
dato che il numero dei primi cresce come x/ln(x), la derivata prima e'
(ln(x) -1)/(ln(x)^2)
per valori grandi di x possiamo trascurare il -1 a numeratore. abbiamo
cha la derivata decresce circa come 1 / ln(x) cioe' la distanza tra i
numeri primi aumenta circa come ln(x). per aumentare di uno la
differenza, devi aumentare il campo di ricerca di 2,78 volte circa,
quindi se vuoi superare la distanza di 122.164.969, devi arrivare
almeno a 332.078.816 (cioe' circa e*122.164.969), ma visto che stiamo
lavorando per approssimazione, direi che e' meglio andare fino a
2e*122.164.969 ~ 664.157.631
facci sapere
Sergio Gayol Menéndez
misto fritto wrote:
> "burundangone" ha scritto:
>
> > percio' fra nessuno degli ultimi tre milioni di numeri primi
> > consecutivi trovati c'era stata una
> > distanza superiore a quella (222) trovata col 6.957.869° numero.
> > per sapere quando (dove) intercorra una distanza maggiore di 222,
> > non resta altro da fare, secondo me, che consultare visivamente una
> > lunga lista di n.primi consecutivi piu' grandi di quelli scorsi dal
> > mio programma, e verificare "in loco" le singole distanze....
E` esattamente così. Se vuoi essere sicuro di dove trovi per la
prima volta due primi consecutivi a una distanza maggiore di 222
tra di essi non c'è altra possibilità che procedere esaurientemente,
il comportamento dei primi preso in considerazione un numero finito
è poco prevedibile; se prendiamo un numero finito grande possiamo
avere supposizioni su di essi abbastanza probabili, ma per esserne
sicuro debbi fare l'elenco esauriente.
> dato che il numero dei primi cresce come x/ln(x), la derivata prima e'
> (ln(x) -1)/(ln(x)^2)
> per valori grandi di x possiamo trascurare il -1 a numeratore. abbiamo
> cha la derivata decresce circa come 1 / ln(x) cioe' la distanza tra i
> numeri primi aumenta circa come ln(x).
In questo, sei arrivato alla stessa conclusione che suggerivo io in
un messaggio precedente, Misto.
Allora, per trovare due primi consecutivi che abbiano tra di essi
una differenza maggiore di 222 potremmo sperare di trovarli
circa 10^97 !!! (i punti esclamativi sono una mia espressione
sentimentale, non indicano di applicare il fattoriale tre volte ^__^ ).
Naturalmente, questo non vuol dire che in realtà non si trovino
nelle vicinanze di "solo" 10^10 o che non dobbiamo aspettare
fino a 10^200.... se hai fortuna, puoi trovare quel paio di numeri
con un computer, se si trovano molto più vicini di quanto sperabile
secondo l'approssimazione al numero di primi p(n). Se non è così,
temo che nessun computer del mondo, anche con l'algoritmo
più efficente per trovare numeri primi potrà trovarli né lavorando
tutto in seguito tutta la nostra vita, né quella di noi, i nostri figli
e nipoti......
misto fritto
> facci sapere
anzi, ti faccio sapere io :)
ho fatto un piccolo programmino che trova primi abbastanza veloce, che
cerca fino alla radice del numero da testare, provando a dividere solo
per i numeri primi: esamina circa 2,5 milioni di numeri dispari al
minuto su un PIII a 330 MHZ
per ora questi i risultati:
189695893 - 189695659 = 234
191913031 - 191912783 = 248
Sergio Gayol Menéndez
misto fritto wrote:
> "misto fritto" ha scritto:
>
> > facci sapere
>
> anzi, ti faccio sapere io :)
>
> 189695893 - 189695659 = 234
> 191913031 - 191912783 = 248
Mi piace sapere che i miei nipoti sapranno allora
qual'č il primo paio di primi consecutivi che sono
distanti piů di 222 ;-)
Sergio Gayol Menéndez
misto fritto wrote:
Come curiosità, visto che hai fatto un programmino e dovrai
solo cambiare una o due righe del source code... nei,
diciamo, 100 numeri primi più vicini a 191913031 quale
sarebbe la media delle distanze tra numeri primi consecutivi?
Grazie in anticipo se avrai disponibile il tempo di macchina
per provare e vorrai prenderti la briga, se non , faccio pure
io un programmino,
Sergio
misto fritto
> In questo, sei arrivato alla stessa conclusione che suggerivo io in
> un messaggio precedente, Misto.
visto solo ora, querido, mi spiace, altrimenti ti avrei citato ;)
> Allora, per trovare due primi consecutivi che abbiano tra di essi
> una differenza maggiore di 222 potremmo sperare di trovarli
> circa 10^97 !!!
ummm perche'?
se x numeri contengono circa x/ln x primi, la densita' media e' circa
ln x, quindi la distanza media tra primi intorno a 10^9 e' 20,72 con i
massimi verso i numeri maggiori
bisognerebbe fare una prova e vedere se le distanze hanno una
distribuzione gaussiana intorno alla media, cosi' il caro burundangone
avrebbe materiale su cui lavorare... ma potrebbe anche farlo lui :)
misto fritto
> Come curiosità, visto che hai fatto un programmino e dovrai
> solo cambiare una o due righe del source code... nei,
> diciamo, 100 numeri primi più vicini a 191913031 quale
> sarebbe la media delle distanze tra numeri primi consecutivi?
>
> Grazie in anticipo se avrai disponibile il tempo di macchina
> per provare e vorrai prenderti la briga, se non , faccio pure
> io un programmino,
lo avevo gia' postato altrove, ma ora l'ho verificato e viene circa
pari alla densita' che avevo calcolato
visto che abbiamo detto essere la densita' circa ln(x), per 191913031
vale 19.07, mentre la media delle distanze tra i primi 100 numeri primi
inferiori o pari a 191913031 e' 19.98
intanto il macina numeri e' arrivato qui:
387096383 - 387096133 = 250
436273291 - 436273009 = 282
(ora va a 0.9 milioni al minuto, visto che sono numeri + grandi, e sto
anche scrivendo :)
Sergio Gayol Menéndez
misto fritto wrote:
> "Sergio Gayol Menéndez" ha scritto:
>
> > In questo, sei arrivato alla stessa conclusione che suggerivo io in
> > un messaggio precedente, Misto.
>
> visto solo ora, querido, mi spiace, altrimenti ti avrei citato ;)
Tante grazie ;) Non ti preoccupa comunque, non penso
di porti problemi di priorità, tra altre cose perché questo
risultato immagino lo conoscevano ormai nel settecento, se
non prima. Ma anche se riuscissimo tutti e due a ricostruire
la dimostrazione fermattiana da mettere nel margine di una
pagina del teorema magno, ho ben altre cose in testa che
discuttere qualsiasi priorità , eheh [per quanto riguarda
i numeri della lotteria , mi importano un po' di più ad
essere sincero ;) ]
> > Allora, per trovare due primi consecutivi che abbiano tra di essi
> > una differenza maggiore di 222 potremmo sperare di trovarli
> > circa 10^97 !!!
>
> ummm perche'?
ln 10^97 [poco diverso di] 223, se ho tasteggiato bene sulla
calcolatrice e^223....
> bisognerebbe fare una prova e vedere se le distanze hanno una
> distribuzione gaussiana intorno alla media, cosi' il caro burundangone
> avrebbe materiale su cui lavorare... ma potrebbe anche farlo lui :)
Si, in particolare si può fare che il programmino disegni la distribuzione
che man mano va trovando delle distanze, così si vede se la forma
suggerisce qualcosa (magari una distribuzione gaussiana) e fa bellino....
burundangone
>387096383 - 387096133 = 250
>436273291 - 436273009 = 282
>(ora va a 0.9 milioni al minuto, visto che
sono numeri + grandi, e sto
caro Fritto
Misto sei Grande...........
pero' mi devi spiegare, please, alcune
cose.....
1)Come fa il tuo programma che opera sulle radici quadrate ad
avere una velocita cosi' iperbolica da milioni di cifre al..minuto, mi pare
dicessi?
2) in che linguaggio e' scritto?
3) forse dico una grande
stupidita' ma anch'io avevo provato a fare questa ricerca random su
numerimolto alti, ma non erano venute mai fuori le famose distanze maggiori
del mio "record" ( pero' e' vero che se il tuo lavora molto velocemente ,
allora si, ma, come fa?????
misto fritto
> 1)Come fa il tuo programma che opera sulle radici quadrate ad
> avere una velocita cosi' iperbolica da milioni di cifre al..minuto, mi
> pare dicessi?
allora, visto che ho impostato la ricerca fino al numero di 600 e passa
milioni di cui sopra, ho precalcolato i numeri primi fino a 26000
(radice di 676.000.000)
poi per ogni numero dispari cerco solo fino alla radice, considerando
il modulo della divisione solo per i numeri in lista, e se ottengo 0
esco subito
> 2) in che linguaggio e' scritto?
C++
> 3) forse dico una grande
> stupidita' ma anch'io avevo provato a fare questa ricerca random su
> numerimolto alti, ma non erano venute mai fuori le famose distanze
> maggiori del mio "record" ( pero' e' vero che se il tuo lavora molto
> velocemente , allora si, ma, come fa?????
vedi sopra ;)
misto fritto
> intanto il macina numeri e' arrivato qui:
> 387096383 - 387096133 = 250
> 436273291 - 436273009 = 282
fino a 664.157.603 e' kuesto il massimo risultato.
burundangone
Fritto misto
SEI STATO
GRANDE, davvero!
se vuoi puoi provare a dare un occhiata a questi due siti
http://lucapinter.interfree.it/lenp.htm
http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/surprising.htm
Ciao a tutti
misto fritto
> Fritto misto
> SEI STATO
> GRANDE, davvero!
be', grande... ci ho sempre messo 3 ore per 330 milioni di numeri.
se avessi avuto a disposizione il cluster con cui lavoro, ci avrei
messo forse un 10 minuti ;)
> se vuoi puoi provare a dare un occhiata a questi due siti
> http://lucapinter.interfree.it/lenp.htm
> http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/surprising.htm
ci daro' un'occhiata
burundangone
milioni di cui sopra, ho precalcolato i numeri primi fino a 26000
(radice
di 676.000.000)
poi per ogni numero dispari cerco solo fino alla radice,
considerando
il modulo della divisione solo per i numeri in lista, e se
ottengo 0
esco subito
DUNQUE, come avrai capito non sono molto ferrato
in matematica,
poiche' devo essere ancora sicuro di aver compreso bene
quanto sopra.
Credo che comunque potrei usare anch'io questo stratagemma
per sveltire
il mio programma.
Se non ci dovessi riuscire, ti cerchero'
ancora, posso?
Ciao
misto fritto
[...]
> Se non ci dovessi riuscire, ti cerchero'
> ancora, posso?
tu chiedi, se avrai risposta, vuol dire che avro' tempo
Elio Fabri
> per valori grandi di x possiamo trascurare il -1 a numeratore. abbiamo
> cha la derivata decresce circa come 1 / ln(x) cioe' la distanza tra i
> numeri primi aumenta circa come ln(x).
primi; non ti dice assolutamente niente sulla distanza massima, se non
hai idea di come le distanze fluttuano.
E si sa benissimo che fluttuano molto...
--
Elio Fabri
Dip. di Fisica "Enrico Fermi" - Univ. di Pisa
Sez. Astronomia e Astrofisica
------------------------------------
misto fritto
> "misto fritto" ha scritto:
> > per valori grandi di x possiamo trascurare il -1 a numeratore.
> > abbiamo cha la derivata decresce circa come 1 / ln(x) cioe' la
> > distanza tra i numeri primi aumenta circa come ln(x).
> Scusa, ma questo e' sbagliato. 1/ln(x) e' solo la *densita' media* dei
> primi; non ti dice assolutamente niente sulla distanza massima, se non
> hai idea di come le distanze fluttuano.
> E si sa benissimo che fluttuano molto...
questo e' vero, ma essendo pi(x) tendente asintoticamente a x/ln x, e
ha quindi un comportamento definito, esaminando un intervallo [0,A], e
trovato un max, possiamo aspettarci di superarlo in un intervallo
[A,e*A], se A e' grande.
e' solo una congettura, che per ora ha funzionato, ma del resto sui
primi ve ne sono moltissime ;)