teoria assiomatica degli insiemi
Antonio
il concetto di insieme di tutti gli insiemi oppure di insieme che appartiene
a se stesso. La necessità di impedire il sorgere di tali paradossi ha
portato alla formulazione della teoria assiomatica degli insiemi ma anche
quest'ultima so che non è esente da critiche.
Potrei avere un qualche accenno riguardo la natura di tali critiche?
Grazie
Antonio
Arcobaleno
> La necessità di impedire il sorgere di tali paradossi ha
> portato alla formulazione della teoria assiomatica degli insiemi ma anche
> quest'ultima so che non è esente da critiche.
> Potrei avere un qualche accenno riguardo la natura di tali critiche?
>
<<La prima lista di assiomi fu compilata da Zermelo nel 1908. La lista
richiede l'esistenza di almeno un insieme, cosa che non si può
dimostrare sulla sola base dell'assioma di comprensione per le classi.
Avendo a disposizione poi un punto di partenza si possono costruire
altri insiemi mediante svariate operazioni, di cui gli assiomi
garantiscono la fattibilità. Queste operazioni costituiscono l'analogo
insiemistico delle operazioni aritmetiche: per es. l'unione, il
prodotto cartesiano e l'insieme potenza per gli insiemi sono versioni
della somma, del prodotto e dell'elevamento a potenza per i numeri.
Tutte queste operazioni non permettono però di dimostrare l'esistenza
di insiemi infiniti, che sono invece necessari per ridurre l'analisi
all'aritmetica, cioè i numeri reali ad insiemi infiniti di numeri
interi.
Un ulteriore assioma richiede dunque l'esistenza di un insieme
infinito. per es. uno i cui elementi soddisfano tutti i rimanenti
assiomi della teoria di Zermelo.
La lista di Zermelo fu aggiornata nel 1921 da Fraenkel, con l'aggiunta
dell'assioma che assirisce che i valori di una funzione definitia su
un insieme costitusiscono ancora un insieme.
Al sistema complessivo ci si riferisce dunque come alla teoria di
Zermelo Fraenkel.
La teoria sembra sufficiente per gli usi comuni della matematica, ma
questo non significa hce lo sarà sempre. Per es. negli anni Sessanta
il lavoro di Groethendieck richiese l'aggiunta di un ulteriore
assioma: l'esistenza di un insieme inaccessibile i cui elementi
soddisfano tutti gli assiomi della teoria di Zermelo Fraenkel e che
contiene dunque in particolare tutte le potenze successive di un
insieme infinito.
In seguito sono stati aggiunti assiomi di esistenza di insiemi sempre
più grandi, detti grandi cardinali, e la cosa interessante è che essi
permettono di provare risultati rigurdanti i numeri interi, che non si
possono provare in loro assenza.
E inoltre, in base al teorema di incompletezza di Goede è cmq
impossibile formualre un i stema di assiomi definitivo per la teoria
degli insiemi, o anche solo per la teoria dei numeri.
Qualunque estensione del sistema di Zermelo Fraenkel è dinque
destinata a essere provvisoria, e a essere soppiantata dalle ulteriori
estensioni che verranno rese necessarie da una sempre mgliore, ma mai
conclusiva comprensione della nozione di insieme.>>
Tratto da P. Odifreddi, La matematica del Novecento, pp 13-14
Ciao
A.
p.s. per approfondire bisogna vedere vari libri di Lolli per es. e poi
vedere la logica matematica, i teoremi di Goedel ecc ecc. Ma così a
mio parere uno più o meno si può fare già un'idea.
Antonio
"Arcobaleno" <arcobalen...@freemail.it> ha scritto nel messaggio
news:30e56579-5e45-465a...@2g2000hsn.googlegroups.com...
Ciao
A.
Grazie per l'esauriente risposta
ciao
Antonio