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La solitudine dei numeri primi - Atto secondo
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Livio Zucca
May 8, 2021, 5:25:18 AM5/8/21
to
Sappiamo che la sequenza dei quadrati dei numeri naturali e' solitaria perche'
la somma infinita degli inversi e' finita, cioe':
1+1/4+1/9+1/16+...+1/N^2+... = Pi^2/6
Non lo so dimostrare ma se calcolo la somma dei primi 10 termini, poi dei primi
100, 1000, ..., 10.000.000 mi convinco della convergenza:
(numero di termini sommati - risultato - differenza con il precedente)
10 - 1.54976773116654
100 - 1.63498390018489 - 8.52161690183515E-02
1000 - 1.64393456668156 - 8.95066649666898E-03
10000 - 1.64483407184806 - 8.99505166503722E-04
100000 - 1.64492406689824 - 8.99950501780378E-05
1000000 - 1.64493306684877 - 8.99995052838776E-06
10000000 - 1.64493396684732 - 8.99998546355363E-07
Pi^2/6 = 1,64493406684822+
Se faccio la stessa cosa per la sequenza dei numeri naturali ottengo:
10 - 2.92896825396825
100 - 5.18737751763962 - 2.25840926367137
1000 - 7.48547086055034 - 2.29809334291072
10000 - 9.78760603604434 - 2.302135175494
100000 - 12.0901461298633 - 2.30254009381894
1000000 - 14.3927267228648 - 2.3025805930015
10000000 - 16.6953113658567 - 2.30258464299193
e vedo che la differenza tra ogni ordine di grandezza del numero dei
termini sommati tende a una costante (circa 2.3) e la qual cosa mi
convince che la somma diverge a infinito.
-----
Ora mi viene di rappresentare le due sequenze con il termine X=int(N^k)
dove con k=2 ho la prima e k=1 ho la seconda. Cosi' con 1<k<2 posso
definire infinite sequenze di numeri interi. Ad es. con k=1.5 ottengo:
1 2 5 8 11 14 18 22 27 31 36 41 46 52 58 64 70 76 82 89 96 103 110 117 125 132 140 148 156 164 172 181 189 198 207 216 225 234 243 252 262 272 281 291 301 311 322 332 343 353 364 374 385 396 407 419 430 441 453 464 476 488 500 512 524 536 548 560 573 585 598 610 623 636 649 662 675 688 702 715 729 742 756 769 783 797 811 825 839 853 868 882 896 911 925 940 955 970 985 1000
Roba da far impazzire OEIS. :-)
Ma la mia domanda e': ci sara' un valore di k limite tra la convergenza
e la divergenza della somma infinita degli inversi e qual e' questo valore?
Cioe' qual e' il valore di k per cui la sequenza diventa solitaria?
[Questo post e' il seguito di "La solitudine dei numeri primi" pubblicato
su it.cultura.filosofia. Pubblico questo su ICF e su it.scienza.matematica]
la somma infinita degli inversi e' finita, cioe':
1+1/4+1/9+1/16+...+1/N^2+... = Pi^2/6
Non lo so dimostrare ma se calcolo la somma dei primi 10 termini, poi dei primi
100, 1000, ..., 10.000.000 mi convinco della convergenza:
(numero di termini sommati - risultato - differenza con il precedente)
10 - 1.54976773116654
100 - 1.63498390018489 - 8.52161690183515E-02
1000 - 1.64393456668156 - 8.95066649666898E-03
10000 - 1.64483407184806 - 8.99505166503722E-04
100000 - 1.64492406689824 - 8.99950501780378E-05
1000000 - 1.64493306684877 - 8.99995052838776E-06
10000000 - 1.64493396684732 - 8.99998546355363E-07
Pi^2/6 = 1,64493406684822+
Se faccio la stessa cosa per la sequenza dei numeri naturali ottengo:
10 - 2.92896825396825
100 - 5.18737751763962 - 2.25840926367137
1000 - 7.48547086055034 - 2.29809334291072
10000 - 9.78760603604434 - 2.302135175494
100000 - 12.0901461298633 - 2.30254009381894
1000000 - 14.3927267228648 - 2.3025805930015
10000000 - 16.6953113658567 - 2.30258464299193
e vedo che la differenza tra ogni ordine di grandezza del numero dei
termini sommati tende a una costante (circa 2.3) e la qual cosa mi
convince che la somma diverge a infinito.
-----
Ora mi viene di rappresentare le due sequenze con il termine X=int(N^k)
dove con k=2 ho la prima e k=1 ho la seconda. Cosi' con 1<k<2 posso
definire infinite sequenze di numeri interi. Ad es. con k=1.5 ottengo:
1 2 5 8 11 14 18 22 27 31 36 41 46 52 58 64 70 76 82 89 96 103 110 117 125 132 140 148 156 164 172 181 189 198 207 216 225 234 243 252 262 272 281 291 301 311 322 332 343 353 364 374 385 396 407 419 430 441 453 464 476 488 500 512 524 536 548 560 573 585 598 610 623 636 649 662 675 688 702 715 729 742 756 769 783 797 811 825 839 853 868 882 896 911 925 940 955 970 985 1000
Roba da far impazzire OEIS. :-)
Ma la mia domanda e': ci sara' un valore di k limite tra la convergenza
e la divergenza della somma infinita degli inversi e qual e' questo valore?
Cioe' qual e' il valore di k per cui la sequenza diventa solitaria?
[Questo post e' il seguito di "La solitudine dei numeri primi" pubblicato
su it.cultura.filosofia. Pubblico questo su ICF e su it.scienza.matematica]
Elio Fabri
May 8, 2021, 5:54:15 AM5/8/21
to
Livio Zucca ha scritto:
> ...
"sequenza" è semplicemente sbagliato: in italiano si dice
"successione") la cosa è arcinota.
Asintoticamente la somma
sum_{m=1}^n 1/m^k
va come l'integrale
int_1^n dx/x^k = 1/(k-1)[1 - 1/n^(k-1)]
da cui si vede che converge per ogni k>1.
Invece
sum_{m=1}^n 1/m
va come
int_1^n dx/x = log(n)
e quindi diverge.
Questo si vede anche dal tuo calcolo: il misterioso 2.30258... non è
che log(10).
Più esattamente, la differenza
sum_{m=1}^n 1/m - log(n)
ha un limite finito, noto come costante di Eulero-Mascheroni e
solitamente indicato con gamma = 0.57721...
> [Questo post e' il seguito di "La solitudine dei numeri primi"
> pubblicato su it.cultura.filosofia. Pubblico questo su ICF e su
> it.scienza.matematica]
Chissà poi che c'entra icf!
--
Elio Fabri
> ...
> Ma la mia domanda e': ci sara' un valore di k limite tra la
> convergenza e la divergenza della somma infinita degli inversi e
> qual e' questo valore?
>
> Cioe' qual e' il valore di k per cui la sequenza diventa solitaria?
A parte il termine "sequenza solitaria", che a me riesce nuovo (e
> convergenza e la divergenza della somma infinita degli inversi e
> qual e' questo valore?
>
> Cioe' qual e' il valore di k per cui la sequenza diventa solitaria?
"sequenza" è semplicemente sbagliato: in italiano si dice
"successione") la cosa è arcinota.
Asintoticamente la somma
sum_{m=1}^n 1/m^k
va come l'integrale
int_1^n dx/x^k = 1/(k-1)[1 - 1/n^(k-1)]
da cui si vede che converge per ogni k>1.
Invece
sum_{m=1}^n 1/m
va come
int_1^n dx/x = log(n)
e quindi diverge.
Questo si vede anche dal tuo calcolo: il misterioso 2.30258... non è
che log(10).
Più esattamente, la differenza
sum_{m=1}^n 1/m - log(n)
ha un limite finito, noto come costante di Eulero-Mascheroni e
solitamente indicato con gamma = 0.57721...
> [Questo post e' il seguito di "La solitudine dei numeri primi"
> pubblicato su it.cultura.filosofia. Pubblico questo su ICF e su
> it.scienza.matematica]
--
Elio Fabri
Livio Zucca
May 8, 2021, 6:51:37 AM5/8/21
to
Grazie Prof! :-)
El Filibustero
May 8, 2021, 9:30:41 AM5/8/21
to
On Sat, 8 May 2021 02:25:16 -0700 (PDT), Livio Zucca wrote:
>Ma la mia domanda e': ci sara' un valore di k limite tra la convergenza
>e la divergenza della somma infinita degli inversi e qual e' questo valore?
>
>Cioe' qual e' il valore di k per cui la sequenza diventa solitaria?
[non standard mode on]
>Ma la mia domanda e': ci sara' un valore di k limite tra la convergenza
>e la divergenza della somma infinita degli inversi e qual e' questo valore?
>
>Cioe' qual e' il valore di k per cui la sequenza diventa solitaria?
k = 1 + un infinitesimo.
[non standard mode off]
Ciao
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