Unicità della sigma algebra generata

[Tetis]

Data un'algebra A su un insieme X si dice sigma algebra S(A) generata
da questa la più piccola sigma algebra che la contiene (l'algebra A).

Una sigma algebra che contiene esiste (infatti l'insieme delle parti di
X: P(X) è una sigma algebra).

Esistono anche elementi minimali rispetto all'ordinamento per
inclusione, quindi esiste almeno un sigma-algebra che contiene A e non
contiene una sigma algebra più piccola dotata della stessa proprietà.

Anche se mi sembrava ovvio che questa sigma-algebra dovesse essere
unica non mi riesce di scrivere in modo nitido e distinto le basi
logiche di quel che ho in mente e comincio a dubitarne.

Tutto riesce più semplice dimostrando che l'intersezione di due
sigma-algebre è una sigma-algebra.

Basta mettersi a scrivere:

se A1, A2, ... sono elementi comuni di R1 ed R2 allora sono elementi di
R1 e quindi la loro unione numerabile è in R1, ma è anche in R2 quindi
è nell'intersezione, il complementare di un insieme comune di R1 è in
R1 e se l'insieme è anche in R2 il complementare è anche in R2, quindi
è in R1 intersecato R2...

In tal caso ovviamente due elementi minimali devono coincidere dal
momento che la loro intersezione è ancora una sigma-algebra più piccola
o uguale di entrambe e se entrambi gli elementi sono minimali
l'intersezione deve essere uguale ad entrambe.

Questa dimostrazione, molto diretta, è però piuttosto ingombrante, nel
senso che, dal punto di vista fondamentale fa essenzialmente uso
dell'induzione transfinita.

In alternativa l'idea è costruire un elemento minimo. In effetti la
sigma algebra generata debba contenere almeno tutte le unioni
numerabili di elementi distinti di A, dalla definizione generale di
unione di una famiglia di insiemi mi sembra si possa dimostrare
facilmente che le unioni finite di insiemi di questo tipo sono a loro
volta esprimibili come unioni numerabili di elementi distinti di A. E
lo stesso per le unioni numerabili. La sigma-algebra inoltre contiene i
complementari di ciascuno di questi insiemi.

Mi riesce di abbozzare le dimostrazioni di questi due punti parziali
che ho appena indicato, ma non ho testi con cui confrontarmi e rimango
dubbioso, in particolare sulla esplicitazione degli assiomi
insiemistici che sto utilizzando quindi non mi riesce di capire se per
esempio sto usando l'assioma di scelta (mi sembra di no, perché posso
esibire un riordinamento e definire univocamente un nuovo elenco di
elementi distinti dato un elenco numerabile di unioni numerabili di
elementi distinti). Dove potrei trovare una discussione completa?