derivata direzionale e gradiente
radicale 001
sia z = f(x,y) una funzione "tranquilla", e consideriamo le
curve di isolivello sul piano XY.
Ipotizziamo per esempio che la f(x,y) descriva una montagna.
z sia l' altezza in corrispondenza di ogni coppia x,y, e sia
x*,y* un punto di massimo della f ( ).
Sappiamo che il vettore derivata direzionale e' massimo
(cioe', ha massima lunghezza) quando e' collineare col
vettore gradiente, che e' la coppia di derivate parziali
@f/@x ; @f/@y.
Questo significa che se mi muovo in quella direzione,
a parita' di "avanzamento" massimizzo la "salita in
verticale", cioe' l' incremento sulla z.
Ma allora posso anche dire che, dato un incremento
sulla z, se mi muovo sul gradiente /minimizzo/ la
lunghezza del cammino necessario per raggiungere
la quota.
Quant' e' questa lunghezza ?
Visto che la DD e' collineare col gradiente, allora
dovrebbe essere
{ ( @f/@x)^2 + ( @f/@y )^2 }^1/2
Giusto ?
BlueRay
> Contesto :
>
> sia z = f(x,y) una funzione "tranquilla", e consideriamo le
> curve di isolivello sul piano XY.
> Ipotizziamo per esempio che la f(x,y) descriva una montagna.
> z sia l' altezza in corrispondenza di ogni coppia x,y, e sia
> x*,y* un punto di massimo della f ( ).
Relativo o assoluto?
> Sappiamo che il vettore derivata direzionale e' massimo
> (cioe', ha massima lunghezza) quando e' collineare col
> vettore gradiente, che e' la coppia di derivate parziali
> @f/@x ; @f/@y.
> Questo significa che se mi muovo in quella direzione,
> a parita' di "avanzamento" massimizzo la "salita in
> verticale", cioe' l' incremento sulla z.
> Ma allora posso anche dire che, dato un incremento
> sulla z, se mi muovo sul gradiente /minimizzo/ la
> lunghezza del cammino necessario per raggiungere
> la quota.
> Quant' e' questa lunghezza ?
> Visto che la DD e' collineare col gradiente, allora
> dovrebbe essere
> { ( @f/@x)^2 + ( @f/@y )^2 }^1/2
>
> Giusto ?
La derivata direzionale lungo la direzione del versore
v = (v_x,v_y) e' nabla f scalar v =
= (@f/@x,@f/@y).(v_x,v_y)
Se il versore ha la stessa direzione del gradiente significa che
(v_x,v_y) = (@f/@x,@f/@y)/sqrt[(@f/@x)^2 + (@f/@y)^2]
perche' e' un versore e quindi devo dividere per il modulo.
Allora: (@f/@x,@f/@y).(v_x,v_y) =
(@f/@x,@f/@y).(@f/@x,@f/@y)/sqrt[(@f/@x)^2 + (@f/@y)^2] =
= [(@f/@x)^2 + (@f/@y)^2]/sqrt[(@f/@x)^2 + (@f/@y)^2] =
= sqrt[(@f/@x)^2 + (@f/@y)^2]
quindi direi che c'hai preso.
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BlueRay
BlueRay
> Ipotizziamo per esempio che la f(x,y) descriva una montagna.
> z sia l' altezza in corrispondenza di ogni coppia x,y, e sia
> x*,y* un punto di massimo della f ( ).
Pero' non ho capito cosa c'incastra il punto di massimo con il calcolo
dell'incremento di f...
BlueRay
> quindi direi che c'hai preso.
...per quanto riguarda il calcolo della derivata direzionale.
Per avere l'incremento delta(f), al primo ordine, devi moltiplicarla per
l'incremento delta(t) della variabile.
Comunque questo ti fornisce, appunto, l'incremento dell'altezza delta(f)
= delta(z) e non la lunghezza del percorso sulla montagna.
Per trovare quest'ultimo devi fare
sqrt{[delta(f)]^2 + [delta(t)]^2}.
Lascio a te i relativi calcoli.
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BlueRay
radicale 001
Perche' se vado di incremento in incremento MASSIMO dovrei
trovare, da un dato punto di partenza della montagna, il
percorso piu' preve per arrivare in cima.